2024-2025学年天津市河北区高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年天津市河北区高二（上）期中数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线 3x+y=0的倾斜角为( )
A. π3B. π6C. 5π6D. 2π3
2.空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，OM=23OA，点N为BC的中点，则MN=( )
A. 12a−23b+12c
B. −23a+12b+12c
C. 12a+12b−12c
D. 23a+23b−12c
3.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，焦距为2 3，则该椭圆的离心率为( )
A. 12B. 23C. 32D. 63
4.过A(6,0)和B(0,−8)两点的面积最小的圆的标准方程为( )
A. (x−3)2+(y+4)2=10B. (x+3)2+(y−4)2=100
C. (x−3)2+(y+4)2=25D. (x+3)2+(y−4)2=25
5.已知P(4,5)与Q(−2,7)关于直线l对称，则下列说法中错误的是( )
A. 直线l过P，Q的中点B. 直线PQ的斜率为13
C. 直线l的斜率为3D. 直线l的一个方向向量的坐标是(1,3)
6.已知过原点的直线l与圆C：(x−2)2+y2=1相交，则直线l的斜率的取值范围为( )
A. (− 3, 3)B. [− 33, 33]C. (− 33, 33)D. (− 2, 2)
7.已知{a,b,c}是空间的一个基底，{a+b,a−b,c}是空间的另一个基底，一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3)，则向量p在基底{a+b,a−b,c}下的坐标是( )
A. (4,0,3)B. (3,1,3)C. (1,2,3)D. (2,1,3)
8.从直线x−y+2=0上的点向圆x2+y2−4x−4y+7=0引切线，则切线长的最小值为( )
A. 22B. 1C. 24D. 22−1
9.平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=5，∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长为( )
A. 10
B. 61
C. 70
D. 85
10.已知P是椭圆x216+y212=1上一动点，Q是圆(x+2)2+y2=1上一动点，点M(5,4)，则|PQ|−|PM|的最大值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.已知点B是点A(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影，则|OB|=______．
12.已知点A(3,3a+3)与点B(a,3)之间的距离为5，则实数a的值为______．
13.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=1，点M为线段B1D1的中点，则直线DM与直线BC所成角的余弦值为______．
14.已知圆C1：x2+y2=4和圆C2：x2+y2−2x+2y=0，则两圆公共弦所在直线的方程为______；公共弦长______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知椭圆C的焦点为F1(−2,0)，F2(2,0)，过点F2的直线与椭圆交于A，B两点，若|AF2|=2|BF2|，|AB|=|BF1|，则C的方程为______．
16.(本小题12分)
在△ABC中，A(1,1)，B(4,2)，C(5,5)．
(Ⅰ)求点A到直线BC的距离；
(Ⅱ)求线段AC垂直平分线所在的直线方程；
(Ⅲ)求过点B且在x轴和y轴截距相等的直线的方程．
17.(本小题12分)
已知直线l1：x+y−1=0与圆C：x2+y2−2ax−2y=0(a>0)交于A，B两点，且∠CAB=30°．
(Ⅰ)求实数a的值；
(Ⅱ)若点P为直线l2：x+y+2=0上的动点，求△PAB的面积．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PD=2,AD=1,PD⊥DA,PD⊥DC，底面ABCD为正方形，M,N分别为AD,PD的中点．
(1)求证：PA//平面MNC；
(2)求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；
(3)求点B到平面MNC的距离．
19.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，且AF1⋅AF2=0，动直线l与椭圆交于P，Q两点；当直线l过焦点且与x轴垂直时，|PQ|=2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l过点E(1,0)，椭圆的左顶点为B，当△BPQ面积为 10时，求直线l的斜率k．
参考答案
1.D
2.B
3.C
4.C
5.B
6.B
7.B
8.B
9.D
10.B
11.5
12.−1或58
13. 33
14.x−y−2=0 2 2
15.x212+y28=1
16.解：(Ⅰ)因为A(1,1)，B(4,2)，C(5,5)，
由题可知直线BC的斜率为kBC=2−54−5=3，
所以直线BC的方程为y−5=3(x−5)，即3x−y−10=0；
由点到直线距离公式可得点A到BC的距离d=|3−1−10| 32+(−1)2=4 105，
即点A到直线BC的距离为4 105；
(Ⅱ)易知AC=(4,4)，且过AC的中点(3,3)，
可得该直线的点法式方程为4(x−3)+4(y−3)=0，
即x+y−6=0；
(Ⅲ)当在x轴和y轴截距都为0时，此时直线过B(4,2)，O(0,0)，
此时直线方程为x−2y=0；
当在x轴和y轴截距不为0时，因为直线在x，y轴的截距相等，
可得直线方程为x+y=a，将点B(4,2)代入可得4+2=a，可得a=6，
此时直线方程为：x+y−6=0；
综上可知，过点B且在x轴和y轴截距相等的直线方程为x−2y=0或x+y−6=0．
17.解：(Ⅰ)将圆C：x2+y2−2ax−2y=0(a>0)可化为(x−a)2+(y−1)2=a2+1，
所以其圆心C(a,1)，半径r= a2+1，
作CD⊥AB于点D，
由垂径定理可得D为AB的中点，
由∠CAB=30°可得CD=12AC=12r，
又CD=|a| 1+1=|a| 2= a2+12，
解得a=1；
(Ⅱ)由(1)可知CD= 22，
所以AB=2 3×CD= 6，
又直线l2：x+y+2=0与直线l1：x+y−1=0平行，
所以点P到AB的距离为d=|2+1| 1+1=3 22，
因此S=12AB⋅d=12× 6×3 22=3 32，
即△PAB的面积为3 32．
18.解：(1)证明：∵M，N分别为AD，PD的中点，
∴PA//MN，又PA⊄平面MNC，MN⊂平面MNC，
∴PA//平面MNC；
(2)由已知可得DA，DC，DP两两垂直，
如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，因为AD=1，
则B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2),M(12,0,0),N(0,0,1)，
所以PB=(1,1,−2),NC=(0,1,−1),MN=(−12,0,1)，
设平面MNC的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅MN=−12x+z=0n⋅NC=y−z=0，可取n=(2,1,1)，
设直线PB与平面MNC所成角为α，则sin α=|cs|=n·PBn·PB=16；
(3)由(2)，得BC=−1,0,0，
因为平面MNC的法向量n=(2,1,1)，
所以点B到平面MNC的距离d=n⋅BCn=−1×2+1×0+1×0 4+1+1= 63．


19.解：(1)易知椭圆C的上顶点A(0,b)，左，右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，
所以AF1=(−c,−b)，AF2=(c,−b)，
因为AF1⋅AF2=0，
所以AF1⋅AF2=−c2+(−b)2=0，
即b2=c2，
又a2−b2=c2，
所以a= 2b，①
因为当直线l过焦点且与x轴垂直时，|PQ|=2，
所以2b2a=2，②
联立①②，
解得a=2，b= 2，
则椭圆方程为x24+y22=1；
(2)不妨设直线l的方程为x=my+1，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立x24+y22=1x=my+1，消去x并整理得(m2+2)y2+2my−3=0，
由韦达定理得y1+y2=−2mm2+2，y1y2=−3m2+2，
则S△F1PQ=12|EB|⋅|y1−y2|=12×3× (−2mm2+2)2−4×−3m2+2= 10，
解得m=±1，
故直线的斜率为±1．