2024-2025学年天津市静海一中高二（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年天津市静海一中高二（上）月考数学试卷（12月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在数列{an}中，已知a1=2，an=an−1+n(n≥2,n∈N∗)，则a4等于( )
A. 4B. 11C. 10D. 8
2.抛物线y=−3x2的焦点坐标是( )
A. (34,0)B. (−34,0)C. (0,−112)D. (0,112)
3.以点(3,−2)为圆心，且与直线3x−y−1=0相切的圆的方程是( )
A. (x−3)2+(y+2)2=1B. (x+3)2+(y−2)2=1
C. (x+3)2+(y−2)2=10D. (x−3)2+(y+2)2=10
4.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C上一点，且∠F1PF2=π3，|PF2|=3|PF1|，则C的渐近线方程为( )
A. y=±2 33xB. y=± 33xC. y=± 3xD. y=± 32x
5.已知函数fx=−x2−2ax−a,x0,b>0)，过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为( )
A. x24−y24=1B. x2−y24=1C. x24−y2=1D. x2−y2=1
7.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若|AF|=3|BF|，AB的中点到y轴的距离为52，则p的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
8.在1和11之间插入m个数，使得这m+2个数成等差数列.若这m个数中第1个为a，第m个为b，则1a+25b的最小值是( )
A. 54B. 2C. 3D. 94
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
9.已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn=n2+2n+2，则{an}的通项公式为______．
10.已知圆C1：x2+y2=4与圆C2：x2+y2−8x+6y+m=0外切，此时直线l：x+y=0被圆C2所截的弦长______．
11.已知棱长为1的正方体ABCD−EFGH，若点P在正方体内部且满足AP=34AB+12AD+23AE，则点P到AB的距离为______．
12.已知抛物线x2=−2py(p>0)的焦点为F，以点F为圆心的圆与直线2x−y+3=0相切于点A(−2,−1)，则p= ．
13.一条倾斜角为π4的直线经过抛物线x2=4y的焦点，且该直线与圆x2+y2+2y−3=0相交于A，B两点，则|AB|= ______．
14.设公差d≠0的等差数列{an}中，满足a52=a3a8，则a1+a3+a5a1+a4+a7的值为______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知数列{an}和{bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2，数列{cn}满足cn=an+2bn．
(1)数列{cn}是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．
(2)若{an}的公差为−2，{bn}的公差为−3，a1=5，b1=8，求数列{cn}的通项公式．
16.(本小题12分)
如图，PD垂直于梯形ABCD所在平面，∠ADC=∠BAD=90°，F为线段PA上一点，PD= 2,AB=AD=12CD=1，四边形PDCE为矩形．
(1)若F是PA的中点，求证：AC//平面DEF；
(2)求直线AE与平面BCP所成角的正弦值；
(3)若点F到平面BCP的距离为16，求PF的长．
17.(本小题12分)
已知椭圆C的两个焦点分别为F1(− 3,0)，F2( 3,0)，且椭圆C过点P(1, 32)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若与直线OP平行的直线交椭圆C于A，B两点，当OA⊥OB时，求△AOB的面积．
18.(本小题12分)
求通项公式
(1)数列−23,49,−627,881⋯求通项公式；
(2)在数列{an}中，a1=3，且点Pn(an,an+1)(n∈N∗)在直线x−y+1=0上，求数列{an}的通项公式；
(3)数列{bn}(bn>0)的首项为1，且前n项和Sn满足Sn−Sn−1= Sn+ Sn−1(n≥2)，求数列{bn}的通项公式；
(4)数列{an}满足a1=2，an+an+1=4n+2，求数列{an}的通项公式．
19.(本小题12分)
已知A，B分别为椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)在x轴正半轴，y轴正半轴上的顶点，原点O到直线AB的距离为2 217，且|AB|= 7．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)直线l：y=kx+m与圆x2+y2=2相切，并与椭圆C交于M，N两点，若|MN|=12 27，求k的值．
参考答案
1.B
2.C
3.D
4.D
5.A
6.D
7.B
8.C
9.an=5,n=12n+1,n≥2
10. 34
11.56
12.4
13.2 2
14.45
15.解：(1)数列{cn}是等差数列，理由如下：
因为数列{an}，{bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2，且cn=an+2bn，
由等差数列的定义，可得an+1−an=d1，bn+1−bn=d2，
所以cn+1−cn=an+1+2bn+1−(an+2bn)
=(an+1−an)+2(bn+1−bn)
=d1+2d2为常数，
所以数列{cn}是以d1+2d2为公差的等差数列；
(2)因为a1=5，b1=8，
所以c1=a1+2b1=5+2×8=21，
由(1)可知数列{cn}是等差数列，且公差为d1+2d2，
因为{an}的公差为−2，{bn}的公差为−3，
所以数列{cn}的公差d=−2+2×(−3)=−8，
则cn=c1+(n−1)d=21−8(n−1)=29−8n．
16.解：(1)证明：设CP∩DE=G，连接FG，
∵四边形PDCE为矩形，
∴G为PC中点，
又F为PA中点，
∴AC/​/FG，
又FG⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，
∴AC//平面DEF．
(2)以D为坐标原点，DA,DC,DP正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系：

则A(1,0,0)B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0, 2),E(0,2, 2)，
∴BC=(−1,1,0),CP=(0,−2, 2)，AE=(−1,2, 2)，
设平面BCP的法向量n=(x,y,z)，
∴BC⋅n=−x+y=0CP⋅n=−2y+ 2z=0，
令y=1，解得：x=1,z= 2，
∴n=(1,1, 2)，
设直线AE与平面BCP所成角为θ，
∴sinθ=|cs|=|AE⋅n|AE||n||=|(−1,2, 2)⋅(1,1, 2) (−1)2+22+( 2)2⋅ 12+12+( 2)2|=3 714，
则直线AE与平面BCP所成角正弦值为3 714．
(3)PA=(1,0,− 2)，
设PF=λPA=(λ,0,− 2λ),λ∈[0,1]，
由平面BCP的法向量n=(1,1, 2)，
点F到平面BCP的距离d=|PF⋅n||n|=|λ|2=16，
解得λ=13，
∴|PF|=13|PA|= 33．
17.解：(1)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
由题意可得a2−b2=31a2+34b2=1，解得a2=4b2=1,
故椭圆C的方程为x24+y2=1．
(2)直线OP的方程为y= 32x，
设直线AB方程为y= 32x+m，A(x1,y1)，B(x2,y2).
将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得x2+ 3mx+m2−1=0，
由△=3m2−4(m2−1)>0，得m20，所以 Sn− Sn−1=1(n≥2)，
又 S1=1，所以数列{ Sn}是首项为1，公差为1的等差数列．
所以 Sn=1+(n−1)×1=n，即Sn=n2；
当n≥2时，bn=Sn−Sn−1=n2−(n−1)2=2n−1，
当n=1时，b1=1符合上式，所以bn=2n−1；
(4)因为an+an+1=4n+2，所以an+1+an+2=4(n+1)+2，
两式相减得：an+2−an=4，即数列{an}的奇数项和偶数项都是以4为公差的等差数列，
由a1=2和a1+a2=6，得a2=4，
所以a2n−1=2+4(n−1)=4n−2=2(2n−1)，a2n=4+4(n−1)=4n=2×2n，
所以an=2n．
19.解：(1)由椭圆的方程可得A(b,0)，B(0,a)，所以|AB|= a2+b2，直线AB的方程为：ax+by−ab=0
所以原点O到直线AB的距离为：d=ab a2+b2，
由题意可得ab a2+b2=2 217，①，
a2+b2= 7②，
由①②可得a2=4，b2=3，c2=a2−b2=1，
所以离心率e=ca=12；
(2)由(1)可得椭圆的方程为：y24+x23=1，
由直线l与圆相切可得|m| 1+k2= 2，即m2=2+2k2①，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立直线与椭圆的方程：y=kx+my24+x23=1，
整理可得：(4+3k2)x2+6kmx+3m2−12=0，
△=36k2m2−4(4+3k2)(3m2−12)>0，即m2