2024-2025学年福建省泉州市高二上学期期中数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省泉州市高二上学期期中数学检测试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．若椭圆的离心率为，则的值为（ ）
A．B．2C．或2D．或
3．设为实数，已知直线，若，则（ ）
A．6B．C．6或D．或3
4．已知空间向量，若向量共面，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
5．平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，则线段的长为（ ）
A．5B．C．D．
6．若圆上恰好有两点到点的距离为3，则整数的取值个数共有（ ）
A．2个B．4个C．6个D．8个
7．已知为坐标原点，过点的直线分别与轴、轴交于两点，使的面积为的直线恰有3条，则为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是上的一点，的内切圆圆心为，当时，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为和，点为椭圆上的任意点，下列说法正确的有（ ）
A．
B．的最大值为25
C．的最小值为9
D．若，则的面积为
10．已知圆，直线过点，且交圆于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若圆关于直线对称，则
B．的最小值为
C．若的方程是，则圆上仅有3个点到直线的距离为3
D．圆在两点处的切线的交点轨迹方程为
11．如图，在矩形中，是的中点，将沿着直线翻折得到.记二面角的平面角为，当的值在区间0,π范围内变化时，下列说法正确的有（ ）
A．存在，使得
B．存在，使得
C．若四棱锥的体积最大时，点到平面的距离为
D．若直线与所成的角为，则
三、填空题
12．原点到动直线距离的最大值为 .
13．已知椭圆的右焦点关于直线对称的点在椭圆上，则椭圆的离心率为 ．
14．若为平面上两个定点，则满足为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点的轨迹是圆.将此性质类比到空间中，解决下列问题：已知点为空间中四个定点，，且两两的夹角都是，若动点满足，动点满足，则的最小值是 .
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，平面，，，且．
(1)求直线与直线所成角的大小；
(2)求直线PD与平面PAC所成角的正弦值．
16．已知圆.
(1)若直线与圆相交，求实数的取值范围；
(2)若点为轴上一点，过点作圆的切线，切点分别为和.
①求四边形面积的最小值；
②当点横坐标为4时，求直线的方程.
17．已知椭圆上的左焦点为，点为椭圆上一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程.
18．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是的中点，点在棱上，且.

(1)若平面平面，证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值.
19．已知点为坐标原点，为椭圆上任一点，直线与椭圆相交于两点.
(1)求点到点距离的最小值；
(2)求面积的最大值；
(3)当，直线斜率为1，且点在直线的上方时，的内心是否在定直线上？若是，求出该定直线，不是，请说明理由.
答案：
1．D
【详解】由题意，直线，可得直线的斜率，
即，又∵，所以，
故选．
2．D
【详解】当，即焦点在轴上，则,
故，解之可得，
当，即焦点在轴上，，
，解之可得，
综上可得的值为或.
故选：D
3．A
【详解】因为，所以，解得：或.
当时，，平行；
当时，，可判断此时重合，舍去.
故选：A
4．A
【详解】显然不共线，故可设，即，
从而，，，故.
故选：A.
5．C
【详解】因为，
所以
，
所以，即线段的长为.
故选：C
6．B
【详解】命题等价于到的距离属于，即，从而.
故的所有可能取值为，共个.
故选：B.
7．B
【详解】由题意直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，
令，得；令，得，则，
所以的面积为，
当时，有，
当时，得，解得；
当时，得，此方程无解，
所以满足条件的直线有2条，故A错误；
当时，有，
当时，得，解得；
当时，得，解得，
所以满足条件的直线有3条，故B正确；
当时，有，
当时，得，解得；
当时，得，解得，
所以满足条件的直线有4条，故C错误；
当时，有，
当时，得，解得；
当时，得，解得，
所以满足条件的直线有4条，故D错误.
故选：B.
8．C
【详解】依题意，，设椭圆的半焦距为，点，
令的内切圆切的切点分别为，
，
联立解得，则，消去得：，
所以椭圆的离心率.
故选：C
9．AB
【详解】设Px,y，则，.
对于A，有，
，故A正确；
对于B，有，
且当时等号成立，所以的最大值为，故B正确；
对于C，有
，故C错误；
对于D，此时
，所以.
从而，故D错误.
故选：AB.
10．ABD
【详解】由题意可得，圆心，半径，
对于A，若圆关于直线对称，则直线过圆心，此时，故A正确；
对于B，易知当时，PQ最小，且，
此时，故B正确；
对于C，若的方程是，则圆心到直线的距离，
所以圆上仅有2个点到直线的距离为3，故C错误；

对于D，设Mx,y，，且，，
则，，，，
所以，
化简可得①，
，
化简可得②，
①②可得，
且在圆上，
满足，即，
因此可得，故D正确；
故选：ABD
11．ACD
【详解】A选项，连接，取的中点，的中点，
连接，则，
故即为二面角的平面角，即，
当时，平面，
因为平面，所以，
因为矩形ABCD中，，，M是AD的中点，
所以，故为等腰直角三角形，
故，，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
存在，使得，A正确；
B选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，垂直于此平面的直线为轴，
建立空间直角坐标系，则，
当时，，
此时，
，
故，
故不存在，使得，B错误；
C选项，当时，平面，此时四棱锥的体积最大，
此时，设平面的法向量为，
则，
解得，令，则，故，
故点到平面的距离，C正确；
D选项，，
故
，D正确.
故选：ACD.
12．
【详解】设原点到直线的距离为，则.
当时，.
所以原点到直线的距离的最大值为2.
故2.
13．
【详解】如图所示，点F关于直线的对称点为P ，交于直线于点M，
直线的斜率为，即△MOF是一个的直角三角形，
因为原点O为FF'的中点，且M为FP的中点，
所以OM为△PF'F的中位线，
所以，△PF'F也是一个直角三角形，且，
从而，又.
可得，
又因为|FF'|＝2c，
所以|PF|2+|PF'|2＝|FF'|2，
所以，
故离心率为．
故答案为
14．
【详解】设AB的中点为，一方面，有.
所以.
另一方面，有
.
所以，故，即.
这就得到.
当，时，代入即可验证满足条件，且.
所以的最小值是.
故答案为.
15．(1)
(2)
【详解】（1）由于平面，平面，所以，
由于，所以两两相互垂直.
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，
，设直线与直线所成角为，
则，
由于，所以.
（2），，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设直线PD与平面PAC所成角为，
则.
16．(1)
(2)①；②
【详解】（1）命题等价于到直线的距离小于，
即，解得的取值范围是.
（2）①易知，
所以，
等号对成立，故最小值是；
②因为，所以四点共圆，圆心为的中点，
因为，所以圆的半径为，
方程为，即，
直线AB为两圆公共弦所在直线方程，两圆方程相减整理得直线AB的方程为.
17．(1)
(2)
【详解】（1）设右焦点，则，得，
又，故，故椭圆的方程为.
（2）①当直线垂直于轴时，显然不符合题意；
②当直线不垂直于轴时，设直线的斜率为，则直线的方程为，设Ax1,y1,Bx2,y2，
联立方程
则
得
，
故直线的方程为，即.
18．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为四边形正方形，所以.
因为平面平面，所以平面.
又因为平面，平面平面，所以.
因为平面平面，所以平面.
（2）因为四边形是正方形，所以.
又因为平面，所以平面.
因为，所以平面，
因为平面，所以，.
由，得.
所以.
以A为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
点到平面的距离为，

点到平面的距离为.
则，
设，则，
设平面的法向量为，
则，取，可得.
设平面的法向量为，
则，取，可得.
设平面与平面的夹角为，
则令，
则
.
当时，取得最小值，最小值为，
所以的最大值为，此时，.
故平面与平面的夹角的余弦值的最大值为.
19．(1)
(2)
(3)是，
【详解】（1）依题意可得得，
故
由于，故当时，，
即求点到点距离的最小值为.
（2）①当直线垂直于轴时，设直线代入椭圆得，
故面积，
当时，面积最大值为；
②当直线不垂直于轴时，设直线，
由得，
弦长
又直线即，原点到直线的距离，
故面积
（当且仅当取等号）
由①②得面积最大值为.
.
（3）当，直线斜率时，直线，
由（2）得两根为，
则，
设直线的斜率为，直线的斜率为，
则
，
即,
故直线为的内角平分线，故的内心在定直线上.