2024-2025学年广西南宁市高二上学期第三次月考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年广西南宁市高二上学期第三次月考数学检测试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设，则在复平面内对应点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．在等比数列中，若，，，则公比等于（ ）
A．B．C．D．或
3．设非零向量，满足，则
A．⊥B．
C．∥D．
4．等差数列中，已知，则该数列的前9项和为（ ）
A．54B．63C．66D．72
5．已知，是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
6．为弘扬新时代的中国女排精神，甲、乙两个女排校队举行一场友谊赛，采用五局三胜制（即某队先赢三局即获胜，比赛随即结束），若甲队以赢得比赛，则甲队输掉的两局恰好相邻的概率是（）
A．B．C．D．
7．直线被圆截得的弦长为，则（ ）
A．B．C．D．
8．设椭圆和双曲线的公共焦点为，，是两曲线的一个公共点，.记椭圆与双曲线的离心率分别为与，则点到中心距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．设是等比数列，与分别是它们的前项的和与积，则下列说法正确的有（）
A．是等比数列
B．若，其中，，则
C．若，，则有最大值
D．若，，则是等比数列
10．对于，下列正确的有（ ）
A．若，则关于直线对称
B．若，则关于点中心对称
C．若在上有且仅有4个根，则
D．若在上单调，则
11．已知抛物线，过点的直线依次交抛物线于，两点，为抛物线的焦点，记，，，（为轴），直线的斜率为，则下列说法正确的是（ ）
A．恒成立B．若与抛物线相切，则
C．时，D．存在直线，使得
三、填空题（本大题共3小题）
12．若是奇函数，则 .
13．若数列对任意正整数，有（其中，为常数，且），则称数列是以为周期，以为周期公比的“类周期性等比数列”.若“类周期性等比数列”的前3项为1，1，2，周期为3，周期公比为2，则数列的前13项和为 .
14．长方体中，，.点，分别是，的中点，记面为，直线，则直线与所成角的余弦值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，外接圆半径为2，的角平分线与交于点.求的长.
16．如图，四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.
(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值；
(3)点在上，且.判断，，，四点是否共面，说明理由.
17．某校杰出校友为回报母校，设立了教育基金，有A和B两种方案.方案A是在每年校庆日这天向基金账户存入100万元.当天举办仪式奖励优秀的教师和品学兼优的学生共计40万元，剩余资金用于投资，预计可实现10%的年收益.方案B是今年校庆日一次性给基金账户存入1000万元，校庆日奖励为第一年奖40万，每年增加10万，余下资金同样进行年化10%收益的投资.设表示第年校庆后基金账户上的资金数（万元）.
(1)对于A、B两种方案，分别写出，及与的递推关系；
(2)按两种方案基金连续运作10年后，求基金账户上资金数额.（精确到万，参考数据：，）
18．已知数列满足，，设.
(1)写出，，并证明是一个等比数列：
(2)求数列的通项公式；
(3)是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
19．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右焦点分别为和，焦距为2.动点在椭圆上，当线段的中垂线经过时，有.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，过原点作的两条切线，分别与椭圆交于点和点，直线的斜率分别记为.当点在椭圆上运动时，
①证明：恒为定值，并求出这个值；
②求四边形面积的最大值.
答案
1．【正确答案】A
【详解】因，则，其在复平面内对应的点为，在第一象限.
故选：A
2．【正确答案】C
【详解】数列是等比数列，
故选：C.
3．【正确答案】A
【详解】
由平方得，即，则，故选A.
本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.
4．【正确答案】A
【详解】由等差数列的性质可知，有，
故前9项的和为.
故选：A.
5．【正确答案】D
利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断.
【详解】解：选项A中直线，还可能相交或异面，
选项B中，还可能异面，
选项C，由条件可得或．
故选：D.
本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.
6．【正确答案】C
【详解】若甲队以3:2赢得比赛,则五局的比赛的结果为:
甲甲乙乙甲，（表示第一局甲胜，第二局甲胜,第三局乙胜,第四局乙胜,第五局甲胜,以下类同）
甲乙甲乙甲，甲乙乙甲甲，乙甲甲乙甲，乙甲乙甲甲，乙乙甲甲甲，共6种结果，
其中甲队输掉的两局恰好相邻的结果有3种,
甲队输掉的两局恰好相邻的概率是.
故选:C.
7．【正确答案】D
【详解】由题可得圆圆心为，半径为2，
设到距离为d，因直线被圆所截弦长为，
则，
则.
故选：D
8．【正确答案】A
【详解】设椭圆方程为 ，双曲线方程为 ，焦距为2c ,
根据焦点三角形的面积公式可得即 ，
又 ，，
，，即 ，
因为点到中心距离为，
又因为，
当且仅当且 ，即，时等号成立，
所以.
故选：A.
9．【正确答案】BCD
【详解】对于选项A，当时，数列是常数列，不满足等比数列的定义，故A错；
对于选项B，，所以，故B正确；
对于选项C，，
由于有最小值，且，所以有最大值，故有最大值，故C正确；
对于D，由C可知，所以，
因为（常数），所以数列是等比数列，故D正确.
故选：BCD.
10．【正确答案】ACD
【详解】对于AB，若，则，
令，得，，所以关于直线对称，故A正确；
令，得，，所以关于，中心对称，故B错误；
对于CD，当时，，
若在上有且仅有4个根，所以，解得，故C正确；
若在上单调，则，解得，故D正确；
故选：ACD.
11．【正确答案】ABD
【详解】显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，而，
由消去得，，
对于B，由，解得，则，即与抛物线相切时，，B正确；
当时，，设，则，
直线的斜率分别为

对于A，，A正确；
对于C，，
解得，则，C错误；
对于D，
，，
则，
若，则，解得，即存在直线，使得，D正确.
故选：ABD
12．【正确答案】1
【详解】定义域为，又是奇函数，所以，解得；
当时，，，故是奇函数.
故1.
13．【正确答案】
【详解】由题意得数列的前13项和为，
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】延长EF，交于G点，
因，则G，又，
则，则与交点为P.
连接BP，因，则直线与所成角等于（该角为锐角）.
因点，分别是，的中点，则.
又，则.
又由题可得，则.
则.
故
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以,
即,即,
因为，所以.
（2）.
所以，从而，
所以，
因为外接圆半径为，所以外接圆直径为，
由正弦定理得，
所以
因为的角平分线为，所以，所以
在中，由正弦定理得，即，解得
16．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)共面，理由见解析
【详解】（1）因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面，因为平面，
所以.
（2）过作AD的垂线交于点，因为平面，所以，
如图建立空间直角坐标系，
则,，
因为为的中点，所以，
所以,，
所以，
设平面的法向量为n=x,y,z，
则即，
令,则，于是，
又因为平面的法向量为，
所以，
由题知，二面角为锐二面角，所以其余弦值为.
（3），，，四点共面，理由如下：
因为点在上，且，，
所以，
由（2）知平面的法向量，
所以，
又因为点平面，所以直线在平面内，
所以，，，四点共面.
17．【正确答案】(1)方案A：；方案B.
(2)方案A：万元；方案B：万元.
【详解】（1）方案A：，，
由题意得，.
方案B：，，
由题意得，第年发放的奖金为，
故.
（2）方案A：∵，
∴设，即，故，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，
∴，解得.
方案B：∵，
∴设，即，
由得，，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，
∴，解得.
综上，按方案A连续运作10年后，基金账户上资金数额约为万元；按方案B连续运作10年后，基金账户上资金数额约为万元.
18．【正确答案】(1)，证明见解析；
(2)，；
(3)不存在，理由见解析.
【详解】（1）由题.
注意到，因为奇数，则，
因为偶数，则，
则为以为首项，公比为2的等比数列；
（2）由（1）可知，
当为奇数时，，故
当为偶数时，，
综上，，；
（3）由（2），，，.
若，，成等比数列，则
等式左边为奇数，右边为偶数，故该等式不成立，
则不存在正整数使，，成等比数列.
19．【正确答案】(1)
(2)①证明见解析，；②1
【详解】（1）取的中点记为，连结.
在中，，所以，
则，
即，所以椭圆方程为
（2）①直线与相切，则；
直线与相切，同理有；
则是关于的方程的两根，
由韦达定理知
（注：上式中，先由消去的，再代入）
②由①问知，如图，设，
由，
同理可得，
.
，
，
当，时，.