2024-2025学年广西壮族自治区柳州市高二上学期12月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年广西壮族自治区柳州市高二上学期12月月考数学检测试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．设为等差数列的前项和，已知，则的值为（ ）
A．64B．14C．10D．3
4．如图，用四种不同颜色给矩形A、B、C、D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）

A．12种B．24种C．48种D．72种
5．已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．对于，恒成立，则正数的范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．记数列的前n项和为，且，则（ ）
A．B．数列是公差为1的等差数列
C．数列的前n项和为D．数列的前2023项和为
10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取一个球.事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是8”，事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．与互斥B．与互斥C．与相互独立D．与相互独立
11．定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．，
B．的值是19
C．函数有三个零点
D．过只可以作两条直线与图象相切
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量满足与的夹角为，则 ．
13．高为8的正四棱锥的顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的表面积为 ．
14．甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中，投掷n次骰子后（），记球在甲手中的概率为，则 ； ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数.
(1)当时，求的图象在点处的切线方程；
(2)若，时，求实数a的取值范围.
16．如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M是AD的中点，N是AB的中点．
(1)求证：平面ADE；
(2)求直线CM与平面DEN所成角的正弦值．
17．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数；
(2)求样本成绩的众数，中位数和平均数；
(3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差.
18．在中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足．
(1)求角B；
(2)若，求面积的最大值；
(3)求的取值范围．
19．极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点Px0,y0（不是坐标原点）对应的极线为.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合，对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线，，的斜率分别为，，（，，均存在）.
(1)求极线的方程；
(2)求证：；
(3)已知过点且斜率为2的直线与椭圆交于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.
答案
1．【正确答案】C
【详解】因为，所以．
故选：C.
2．【正确答案】D
【详解】因为，则，
因此，复数的共轭复数在复平面对应的点位于第四象限.
故选：D.
3．【正确答案】C
【详解】由等差数列前项和公式，可知：，
所以，
由等差数列的性质“当时，”可知：，
所以.
故选：C.
4．【正确答案】C
【详解】先A区域，再涂B，涂C，涂D，根据分步乘法计数原理共有种涂法.
故选：C.
5．【正确答案】A
【分析】由题意可证直线l恒过的定点在圆内，当时直线l被圆C截得的弦长最小，结合勾股定理计算即可求解.
【详解】直线l：，
令，解得，所以直线l恒过定点，
圆C：的圆心为，半径为，
且，即P在圆内，
当时，圆心C到直线l的距离最大为，
此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为．
故选A．
6．【正确答案】C
【详解】因为函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
7．【正确答案】D
【分析】利用等腰三角形的性质、双曲线的定义结合余弦定理计算即可.
【详解】由题意可知线段的中点为，且满足，则，
故为等腰三角形，
又，则为正三角形，
根据双曲线定义知，
设，则，
在中，由余弦定理知，
故选D.
8．【正确答案】B
【详解】由恒成立可得，即恒成立，
由，可得恒成立，
令，则，
由知，函数单调递增，
所以恒成立，
则恒成立，即恒成立，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，，
所以只需，即.
故选：B
9．【正确答案】ACD
【详解】数列的前n项和，当时，，
而满足上式，因此，
对于A，，A正确；
对于B，，则数列是公差为的等差数列，B错误；
对于C，，数列的前n项和
，C正确；
对于D，，
则数列的前2023项和为，D正确.
故选：ACD
10．【正确答案】ABD
【详解】依题意从中有放回地随机取两次球，则可能结果有：
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共个结果.
事件包含的基本事件有：，，，，，共个；
事件包含的基本事件有：，，，，，共个；
事件包含的基本事件有：共个；
事件包含的基本事件有：，，，，，共个；
对于A：显然事件与事件不可能同时发生，所以与互斥，故A正确；
对于B：事件与事件不可能同时发生，所以与互斥，故B正确；
对于C：因为，，，
所以与不独立，故C错误；
对于D：因为，，，
所以与相互独立，故D正确.
故选：ABD
11．【正确答案】ABD
【详解】对于A，因为，
所以，
所以，
由题意可得，即，
解得，故A正确；
对于B，因为的对称中心为，
所以，
设，
仿写得到，
两式相加得到，
所以，故B正确；
对于C，由A可得，
所以，
令，解得或2，
所以，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
又，，
且，
所以有一个零点，故C错误；
对于D，设切点为，
则切线方程为，
又切线过点，
所以，
化简可得，即，
解得或，
即满足题意的切点只有两个，所以满足题意的切线只有2条，故D正确；
故选：ABD.
12．【正确答案】
【详解】，
故答案为:
13．【正确答案】128
【详解】如图所示，设在底面的投影为，易知正四棱锥的外接球球心在上，
因为正四棱锥的高为8，外接球的半径为5，
所以，，
所以，，
则，
故中，边的高为，
所以该正四棱锥的侧面积为，
故该正四棱锥的表面积为．
故128．
14．【正确答案】
【分析】结合相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，结合题意，利用列举法和分类讨论，即可求解.
【详解】由题意，当投掷3次骰子后，球在甲手中，共有4中情况：
①：甲甲甲甲，其概率为
②：甲甲乙甲，其概率为
③：甲乙甲甲，其概率为
④：甲乙丙甲，其概率为
所以投掷3次后，球在甲手中的概率为.
记当投掷次骰子后，球在甲手中的概率为，
再三次投掷后，即投掷次，球仍在甲手中的概率为，
则，即，即
又因为，
当时，；当时，；
当时，，
所以.
故；.
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1），，
，，
所以的图象在点1,f1处的切线方程为，即.
（2），则，
当时，f'x>0，即在0,+∞上单调递增.
当时，，与题意不符.
当时，时，f'x>0，在上单调递增；
时，f'x