2024-2025学年河南省南阳市高二上学期11月期中数学质量评估试题（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省南阳市高二上学期11月期中数学质量评估试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．下列椭圆的形状更接近于圆的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知点与关于直线对称，则的值分别为（ ）
A．1，3B．，C．-2，0D．，
4．已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，点在C上，且，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．双曲线：的左右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（ ）
A．7B．9C．1或9D．3或7
6．椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦的中点坐标为（ ）
A．B．C．−1,1D．
7．已知P为抛物线上的一点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的左右焦点分别为，且，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．以下四个命题为真命题的是（ ）
A．若、、三点共线，则m的值为2
B．直线的倾斜角的范围是
C．已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是
D．直线与直线平行，则
10．已知，直线：过定点A，：过定点B，与交于点M，则下列结论正确的是（ ）
A．B．点M的轨迹方程是
C．的最大值是25D．的最大值为
11．曲线C是平面内与两个定点，的距离的积等于3的点P的轨迹，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C关于坐标轴对称B．点P到原点距离的最大值为2
C．周长的最小值为D．点P到y轴距离的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 .
13．已知，，，若平面内满足到直线：的距离为1的点P恰有3个，则 .
14．已知P，Q分别在直线：与直线：上，且，点，，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知抛物线，焦点为.
(1)求的坐标及抛物线的准线方程；
(2)已知点是抛物线上的一个动点，定点，则当点在抛物线C上移动时，求的最小值.
16．已知点P是直线：与直线：的交点.
(1)求过点P且在两坐标轴上截距相等的直线方程；
(2)设Q为圆E：上的一个动点，求中点M的轨迹方程.
17．已知椭圆C：的左焦点为F，若C的焦距为且经过点，过点F的直线交椭圆于P，Q两点.
(1)求椭圆方程；
(2)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
18．已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为1，A，B分别是C的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线，的斜率之积为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知过点的直线：，交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B）.
①求m的取值范围；
②若，其中O为坐标原点，求直线的方程.
19．通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫作把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P.
(1)已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P的坐标：
(2)已知二次方程的图象是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C，
（i）求斜椭圆C的离心率；
（ⅱ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M，N，过原点O作直线与直线垂直，直线交斜椭圆C于点G，H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.
答案
1．【正确答案】A
【详解】设直线的倾斜角为，
若向量是直线的一个方向向量，
则直线的斜率为，
因为，所以.
故选：A.
2．【正确答案】D
【详解】对于A，，，则，所以；
对于B，，，则，所以；
对于C，，，则，所以；
对于D，，，则，所以.
因为，
所以椭圆的形状更接近于圆.
故选：D.
3．【正确答案】B
点关于直线对称，则利用垂直关系，以及线段的中点在直线上，列式求解.
【详解】，若点与关于直线对称，
则直线与直线垂直，直线的斜率是，
所以，得.
线段的中点在直线上，则，得
故选:B
4．【正确答案】B
【详解】由抛物线的定义，可知，又，，
则，即，
由点在C上，得，结合，解得.
所以C的方程为.
故选：B.
5．【正确答案】B
【详解】由，可得，则.
又因在双曲线，则由双曲线定义，有，可得.
故选：B
6．【正确答案】A
【详解】设，则其中点坐标为，
则，两式相减可得，
即，
因为A，B关于直线对称，则，
又，所以，
即，所以，
且点在直线上，则，
解得，所以.
故选：A
7．【正确答案】B
【详解】由圆的方程，则圆心，半径，结合题意作图如下：
由与圆相切，则，且，
设Px,y，则，可得，
的最小值为，的最大值为.
故选：B.
8．【正确答案】D
【详解】设双曲线的半焦距为，则，
由对称性，不妨令与平行的渐近线为，
则直线方程为：，即，
设的内切圆与三边相切的切点分别为，，，
如图所示，

则，
即，而轴，圆半径为，则，
点到直线的距离：，整理得，
且，解得，
又因为，可得，
所以双曲线的离心率，
故选：D.
9．【正确答案】BCD
【详解】对于A，取，，由题意可得，解得，故A错误；
对于B，由直线方程，则斜率，
由，则，设直线的倾斜角为，则，
由，解得，故B正确；
对于C，设，由题意可作图如下：
直线的斜率，直线的斜率，
由图可知直线绕点按逆时针旋转到直线，则，解得，故C正确；
对于D，由题意可得，则，，解得a=2或，
当a=2时，，不合题意；当a=−1时，，符合题意，故D正确.
故选：BCD.
10．【正确答案】AB
【详解】对A,,所以，故A正确；
对于B，直线：可化为，所以定点为，
直线：可化为，定点为，
因为，所以，设Mx,y，则，
所以，
化简可得，故B正确；
对于C，根据选项B可得，
所以，当且仅当时，等号成立，
此时的最大值是，故C错误；
对于D，设，则，
所以，
即的最大值为，故D错误；
故选：AB.
11．【正确答案】ABC
【详解】设，由题意可得，
整理可得曲线，
设，则，
对于A，任意取曲线的点，即，
点关于轴的对称点为，，
显然成立，所以曲线关于轴对称，同理可得曲线关于轴对称，故A正确；
对于B，由是与的中点，则，
，
当共线时，取得最大值，，且，取得最大值，
所以取得最大值，故B正确；
对于C，的周长为，
当且仅当，等号成立，故C正确；
对于D，在中，由余弦定理可得，
当且仅当时，等号成立，取得最大值，
所以的面积取得最大值，
点到轴的距离取得最大值，故D错误.
故选：ABC.
12．【正确答案】
【分析】根据焦点在x轴上的椭圆方程的特征得到不等式，求出实数k的取值范围.
【详解】，解得，
故实数k的取值范围是.
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】设，由，得，
整理得，，即点P的轨迹是圆，圆心在原点，半径为2.
由题意，该圆上恰有3个点到直线的距离为1，
则圆心到直线的距离为1，
即，解得.
故答案为.
14．【正确答案】/
【详解】因为，，
所以直线与间的距离为，又，故，
过作直线垂直于，如图，
则可设直线的方程为，代入，得，则，
所以直线的方程，
将沿着直线往上平移个单位到点，设，
则，解得或（舍去），则，
连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ，
有，即四边形为平行四边形，
则，即有，
显然是直线上的点与点距离和的最小值，
因此的最小值，即的最小值，
因为，，所以，
所以的最小值为.
故答案为.
15．【正确答案】(1)，准线方程为.
(2)3
【详解】（1）将抛物线：化为标准方程得，，
其焦点坐标为0,1，准线方程为.
（2）由抛物线的定义知，点P到焦点的距离即为点P到准线的距离，
为点P到定点的距离与点P到准线的距离之和，
要使得最小，
则点P，A在一条垂直于准线的直线上，
故最小值即为点到准线的距离为3，
所以，的最小值为3.
16．【正确答案】(1)或.
(2).
【详解】（1）联立方程组，解得，所以点P的坐标为.
若直线的截距为0，即直线经过原点，则直线方程为，即；
若直线的截距不为0，设直线方程为，
将点代入，得，此时直线方程为，
所以，过点P且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或.
（2）设点，点，
由点M是线段的中点可得，解得，
由于点在圆：上，
所以，化简得，
所以点M的轨迹方程为.
17．【正确答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）由题意，，即，则①；
又点在椭圆C上，故②，
联立①②解方程组得，，，
所以椭圆C的方程为.
（2）假设存在点，使得恒成立，
易知点，设点Px1,y1，Qx2,y2，
设直线的方程为：，
联立方程组得，，
则由根与系数的关系得，，，（*）
若满足，则，即，
整理得，，
又，，代入上式得，，
整理得，，
将（*）式代入得，，
又，解得，
故存在点使得恒成立.
18．【正确答案】(1).
(2)①或；②或.
【详解】（1）
设双曲线的一个焦点为，渐近线方程为，即，
根据题意，，双曲线的方程为.
设点Px0,y0，则，于是，
由，得，，
根据题意，，
解得，
所以双曲线C的方程为.
（2）（i）设点，，联立方程组得，
，
易知恒成立，
由根与系数的关系，，.
因为直线与双曲线左右两支相交，所以m需满足
，解得或.
（ii）由图易知，，
则
，
所以，解得或，
由（i）知，得，直线的方程为，
即或.
19．【正确答案】(1)；
(2)（i）；（ⅱ）是，2.
【分析】（1）借助所给定义计算即可得；
（2）（i）计算出该斜椭圆的长轴长与焦距，结合离心率定义计算即可得；
（ⅱ）法一：设出直线，，联立斜椭圆方程可得与交点横坐标有关韦达定理，结合弦长公式即可表示出，计算即可得；
法二：将所有点、直线与曲线都绕原点O顺时针旋转后，再设出直线，旋转后方程，联立标准方程可得与交点纵坐标有关韦达定理，结合弦长公式即可表示出，计算即可得.
【详解】（1）由已知可得，则，
设，则，
所以，，即点P的坐标为；
（2）（i）由与交点为和，则，
由与交点为和，
则，所以，；
（ⅱ）法一：设直线：，，，
与斜椭圆联立：，
有，
∵，，
∴
，
设直线：，代入斜椭圆，
有，
∴，∴，
故.
法二：将椭圆顺时针旋转，由（i）可得椭圆方程为，
点Q旋转后的坐标为，
当直线旋转后斜率不存在时，，，，
当直线旋转后斜率存在时，设直线旋转后为，
旋转后，，
与椭圆方程联立，即，
可得，
，，
，
设直线旋转后为，代入椭圆方程中，
有，，
.
综上所述，.
【关键点拨】本题关键点在于对旋转后的方程的理解与运用，最后一问可直接在旋转后的斜椭圆上计算，也可在标准椭圆下计算，其旋转前后的线段长度不变.