2024-2025学年河南省信阳市高二上学期11月期中数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省信阳市高二上学期11月期中数学检测试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．经过两点的直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．一组数据的第百分位数是（ ）
A．B．C．D．
3．若双曲线：的虚轴长为8，渐近线方程为，则双曲线C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．3
5．已知点，平面，其中，则点到平面的距离是（ ）
A．B．2C．D．3
6．公差不为的等差数列满足，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
7．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为，则该四棱锥侧面与底面所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知M、N分别是圆与圆上的两个动点，点P是直线上的任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．6D．4
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ）
A．在轴上的截距为B．过点且不垂直x轴
C．若，则或D．若，则
10．已知a，b，c为非零实数，则下列说法正确的是（ ）
A．是a，b，c成等差数列的充要条件
B．是a，b，c成等比数列的充要条件
C．若a，b，c成等比数列，则，，成等比数列
D．若a，b，c成等差数列，则，，成等差数列
11．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，且，下列命题正确的有（ ）
A．直线的斜率
B．若，则
C．若，则
D．存在使得平分
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知等差数列的前项和为，则 .
13．已知，是直线上的两点，若沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离是 .
14．已知椭圆：，过左焦点作直线与圆：相切于点，与椭圆在第一象限的交点为，且，则椭圆离心率为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知双曲线过点且它的两条渐近线方程为与.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线与双曲线右支交于不同两点，求k的取值范围．
16．某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图.
(1)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；
(2)已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差.
17．如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，，．

(1)证明：平面平面；
(2)若为棱中点，求直线与平面所成角的余弦值．
18．已知正项数列的前n项和为，且满足，.
(1)求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，恒成立，求实数的最大值；
19．折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸.
步骤1：设圆心是，在圆内不是圆心处取一点，标记为；
步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过点，此时圆周上与点E重合的点标记为；
步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时与折痕交于点；
步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕和越来越多的交点.
现取半径为4的圆形纸片，定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸.以线段的中点为原点，线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的标准方程；
(2)直线与曲线交于两点，，且平分，
（i）求的中点M到点的最小距离；
（ii）若，求的面积.
答案
1．【正确答案】C
【详解】由已知直线的斜率不存在，即轴，倾斜角为，
故选：C．
2．【正确答案】D
【详解】首先，我们把按顺序排列，得到，
而，故第百分位数是第个数，
则该组数据的第百分位数是，故D正确.
故选：D
3．【正确答案】C
【详解】由题可得解得，所以双曲线方程为，
故选:C.
4．【正确答案】A
【详解】设等比数列的公比为，由题可知：；
又，也即，故.
故选：A.
5．【正确答案】C
【详解】由平面，得是平面的法向量，点在平面内，
，所以点到平面的距离是.
故选：C
6．【正确答案】C
【详解】由题可知，，则，所以，
所以，
当且仅当且时，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
7．【正确答案】C
【详解】如图，正四棱锥中，是底面中心，是中点，平面，
即是棱锥的高，是斜高，是侧棱与底面所成的角，是四棱锥侧面与底面所成的角，
设底面边长为，则，
因为正四棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为，所以，
则，即，所以，
所以，
所以，
所以，即该四棱锥侧面与底面所成角的余弦值为.
故选：C．
8．【正确答案】D
求出圆关于直线对称圆的方程，N点关于直线的对称点在圆上，， ，而要取最小，则三点共线即可．的最小值可通过求解．
【详解】
圆关于直线对称的曲线
N点关于直线的对称点在圆上，
则有，故
当M，P，三点共线时，距离和最小．
从而转化成求M，两点距离的最小值．
而，
故选：D
9．【正确答案】ABD
【详解】对于选项A：因为直线，
令，解得，
所以在轴上的截距为，故A正确；
对于选项B：因为直线的斜率，
即斜率存在，直线不垂直x轴，
且，即直线过点，故B正确；
对于选项C：若，则直线、均为，
即两直线重合，不平行，故C错误；
对于选项D：若，则，解得，故D正确；
故选：ABD.
10．【正确答案】AC
【分析】根据等差中项与等比中项对选项一一验证即可得出答案.
【详解】对于选项A：根据等差中项即可得出是a，b，c成等差数列的充要条件，故A正确；
对于选项B：，即，又a，b，c为非零实数，所以根据等比中项即可证明a，b，c成等比数列，
a，b，c成等比数列，只能证明，即是a，b，c成等比数列的充分不必要条件，故B错误；
对于选项C：若a，b，c成等比数列，则，则，则，，成等比数列，故C正确；
对于选项D：若a，b，c成等差数列，则，无法得到，故D错误；
故选：AC.
11．【正确答案】ACD
【分析】A选项，由判别式可判断选项正误；B选项，由抛物线定义结合可判断选项正误；C选项，如图，过A，B作准线垂线，垂足为，由抛物线定义结合可判断选项正误；D选项，方法1，通过证明，可得，即可得坐标，后由抛物线定义可求得；方法2，设 关于轴的对称点为，通过说明三点共线，可得，后同方法1；方法3，由角平分线定理结合抛物线定义可得，后同方法1；方法4，利用结合，可得，即可得，后同方法1.
【详解】由题可得，.设方程为：，，将直线与抛物线方程联立：，消去x得.
由题：，又由韦达定理知.
A选项，由题可得或，则，故A正确；
B选项，由抛物线定义可知：，
则，
得.故B错误；
C选项，如图，过A，B作准线垂线，垂足为，因，则，
又，则.故C正确.
选项D，方法1：如图，过作x轴垂线，垂足为N，M.
则，
又所以.
注意到：，
则.
则，即存在满足题意，故D正确；
方法2：设 关于轴的对称点为，则.注意到：
，则三点共线，
所以，其余同方法1；
方法3：若平分，则由角平分线定理可得，
所以，又，.
即，下同方法1；
方法4：只需，即，
注意到，，则
，解得或3（舍去），后同方法1.
故选：ACD
关键点睛：应难以直接用坐标表示角度，故角平分线条件常通过角平分线定理，相似，三角函数等转化为与长度，特殊角度相关的条件.
12．【正确答案】16
【详解】因为数列为等差数列，所以.
所以.
故16
13．【正确答案】
【详解】过点作轴，点轴，如下图所示：
则，且，，，且
，所以.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】设椭圆右焦点为，连接，如下图所示：
由圆：可知圆心，半径；
显然，且，
因此可得，所以，可得；
即可得，又易知；
由余弦定理可得，
解得，
再由椭圆定义可得，即，
因此离心率.
故
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为与,
故设双曲线方程为：，
因为双曲线过，故即，故双曲线方程为.
（2）由可得，
因为直线与双曲线右支交于不同两点，
所以，故.
16．【正确答案】(1)
(2)平均数为，方差为.
【详解】（1）前4组的频率之和为，
前5组的频率之和为，
第分位数落在第5组，设为x，则，解得.
“防溺水达人”的成绩至少为分.
（2））的频率为，）的频率为，
所以的频率与的频率之比为
的频率与的频率之比为
设内的平均成绩和方差分别为，
依题意有，解得
，解得，
所以内的平均成绩为，方差为.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）取中点，连结，，，
由题意，在中，，，
所以为等边三角形，所以，
因为底面是以为斜边的等腰直角三角形，所以，
所以，为二面角的平面角，
在中，，，，
所以，
可得，所以，
所以，平面平面．
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，
则，B1,0,0，，，．
所以，，
由于为棱中点，故，
所以，，
设平面的法向量为，
所以，令，，
设直线与平面所成角为，则
，
所以，
所以，直线与平面所成角的余弦值为．

18．【正确答案】(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）由可得，
相减可得，
因此，
由于为正项数列，所以，因此，
故，
故数列为等差数列，且公差为2，
又，所以，
故
（2），故，
由可得，化简可得，
因此，
记，则
，
当时，，故，而，
当时，，
，故，
故为数列的最小项，故，
故的最大值为
19．【正确答案】(1)
(2)（i）；（ii）3
【详解】（1）以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，
设Px,y为椭圆上一点，由题意可知且，
椭圆以为左右焦点，长轴长，
焦距，
椭圆的标准方程为.
（2）
（i）设，
联立得，
，
，
中点点的轨迹为，
中点M到点的最小距离即为点到直线的距离.
（ii），设，
解得（舍）或，
不妨设斜率为正，则，直线方程为，由对称性知，
由（i）知，直线斜率为，所以直线的方程为，即.
联立方程组得，
.