2024-2025学年江苏省南京市高二上学期12月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省南京市高二上学期12月月考数学检测试题（含解析），共14页。试卷主要包含了过点A，若圆C1，若双曲线C1，点P为x轴上的点，A，已知过点A，若直线l，下列求导运算中正确的是，已知圆M等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共8小题，每题5分）
1．过点A（2，3）且与直线l：2x﹣4y+7＝0平行的直线方程是（ ）
A．x﹣2y+4＝0B．2x+y﹣7＝0C．2x﹣y﹣1＝0D．x+2y﹣8＝0
2．若圆C1：x2+y2＝4与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9则圆C1与圆C2的位置关系为（ ）
A．外离B．外切C．内切D．内含
3．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若公差d＝2，则2S3﹣3S2＝（ ）
A．﹣6B．2C．4D．6
4．若双曲线C1：＝1与双曲线C2：＝1的渐近线相同，则双曲线C1的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．点P为x轴上的点，A（﹣1，2），B（0，3），以A，B，P为顶点的三角形的面积为，则点P的坐标为（ ）
A．（4，0）或（10，0）B．（4，0）或（﹣10，0）
C．（﹣4，0）或（10，0）D．（﹣4，0）或（11，0）
6．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1相交于M，N两点．则为（ ）
A．3B．5C．7D．与k有关
7．若直线l：y＝x+b与曲线y＝有两个交点，则实数b的取值范围是（ ）
A．{b|﹣2＜b＜2}B．{b|2＜b＜2}
C．{b|2≤b＜2}D．{b|b＝±2}
8．过点且与曲线y＝x2ex相切的切线斜率不可能为（ ）
A．0B．8e2C．D．1
二．多选题（共3小题，每题6分）
9．下列求导运算中正确的是（ ）
A．'＝1﹣B．（3lnx）'＝
C．'＝D．（x2csx）'＝﹣2xsinx
10．已知圆M：（x+2）2+y2＝2，直线l：x+y﹣2＝0，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别与圆M切于点A，B．则下列说法正确的是（ ）
A．四边形PAMB的面积最小值为
B．|PA|最短时，弦AB长为
C．|PA|最短时，弦AB直线方程为x+y﹣1＝0
D．直线AB过定点（﹣，）
11．在数列{an}中，其前n项和是Sn，则下列正确的是（ ）
A．若Sn＝n2+1，则an＝2n﹣1
B．若a1＝2，an+1＝an+n+1，则an＝（n2+n+2）
C．若a1＝2，nan+1＝（n+1）an，则an＝2n
D．若an＝，则S4＝
三．填空题（共3小题，每题5分）
12．在直线l：2x﹣y+1＝0上一点P到点A（﹣3，0），B（1，4）两点距离之和最小，则点P的坐标为 ．
13．写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列 {an} 的通项公式：an＝ ．
（1）数列{an}不单调；
（2）数列{|an|}单调递增；
（3）{an}是无穷等比数列．
14．过点P（2，0）的动直线l与圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+5＝0交于P1，P2两点，过点P1，P2分别作圆C的切线l1，l2，若l1与l2交于点M，则CM的最小值 ．
四．解答题（共5小题，共77分）
15．已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，0），B（0，2），C（2，﹣2），求：
（1）AB边中线所在的直线方程；
（2）△ABC的外接圆的方程．
16．已知a为实数，函数．
（1）若f'（1）＝0，求实数a的值；
（2）若a＝3时，求函数f（x）在x＝4处的切线方程．
17．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点A（2，﹣4），
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线l的方程；
（Ⅱ）若点B（0，2），求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．
18．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，+an＝2Sn+2，数列{bn}满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项和Tn．
19．已知椭圆和双曲线，过椭圆C1左焦点F且斜率为k的直线交椭圆于A，B两点．设P是椭圆的右顶点，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，直线PA，PB与双曲线C2的另一个交点分别为M，N．
（1）求k1k2的值；
（2）求证：直线MN过定点．
答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．过点A（2，3）且与直线l：2x﹣4y+7＝0平行的直线方程是（ ）
A．x﹣2y+4＝0B．2x+y﹣7＝0C．2x﹣y﹣1＝0D．x+2y﹣8＝0
解：设过点A（2，3）且与直线l：2x﹣4y+7＝0平行的直线方程是2x﹣4y+C＝0（C≠7），
将点A的坐标代入直线的方程2x﹣4y+C＝0得2×2﹣4×3+C＝0，解得C＝8，
故所求直线方程为2x﹣4y+8＝0，即x﹣2y+4＝0．
故选：A．
2．若圆C1：x2+y2＝4与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9则圆C1与圆C2的位置关系为（ ）
A．外离B．外切C．内切D．内含
解：由已知得圆C1的圆心为（0，0），半径为2，圆C2的圆心为（3，4），半径为3，
圆C1和C2圆心的距离，两圆的半径之和为2+3＝5，
即两圆圆心的距离等于两圆半径之和，此时两圆外切．
故选：B．
3．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若公差d＝2，则2S3﹣3S2＝（ ）
A．﹣6B．2C．4D．6
解：因为Sn为等差数列{an}的前n项和，公差d＝2，
所以．
故选：D．
4．若双曲线C1：＝1与双曲线C2：＝1的渐近线相同，则双曲线C1的离心率为（ ）
A．B．C．D．
解：双曲线C2：＝1的渐近线：y＝±x，
所以双曲线C1：＝1的渐近线：y＝±x，
可得＝x，∴a＝2，c＝＝，
所以双曲线C1的离心率为：e＝＝．
故选：A．
5．点P为x轴上的点，A（﹣1，2），B（0，3），以A，B，P为顶点的三角形的面积为，则点P的坐标为（ ）
A．（4，0）或（10，0）B．（4，0）或（﹣10，0）
C．（﹣4，0）或（10，0）D．（﹣4，0）或（11，0）
解：设点P（x，0），由点A（﹣1，2），B（0，3），
可知直线AB的方程为x﹣y+3＝0，
所以点P到直线x﹣y+3＝0的距离d＝，
|AB|＝＝，
因为以A，B，P为顶点的三角形的面积为，
所以，
整理得，解得x＝4或﹣10．
故P（4，0）或（﹣10，0）．
故选：B．
6．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1相交于M，N两点．则为（ ）
A．3B．5C．7D．与k有关
解：依题意，设过点A（0，1）且斜率为k的直线l的方程为y＝kx+1，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，消去y，得：（1+k2）x2﹣（4k+4）x+7＝0，
此时Δ＝（4k+4）2﹣28（1+k2）＝﹣12k2+32k﹣12＞0，显然有解，
故，，
所以＝．
故选：C．
7．若直线l：y＝x+b与曲线y＝有两个交点，则实数b的取值范围是（ ）
A．{b|﹣2＜b＜2}B．{b|2＜b＜2}
C．{b|2≤b＜2}D．{b|b＝±2}
解：曲线y＝表示以原点为圆心，2为半径的圆，在x轴上边的部分，
如图所示，当直线与半圆相切时，b＝2，
∴直线y＝x+b与曲线y＝有两个交点，实数b的取值范围是[2，2）．
故选：C．
8．过点且与曲线y＝x2ex相切的切线斜率不可能为（ ）
A．0B．8e2C．D．1
解：由y＝x2ex，得y′＝2xex+x2ex＝（x2+2x）ex，
设切点为（），则，
可得过切点的切线方程为，
把点代入并整理得：，
解得x0＝0或x0＝2或，
当x0＝0时，y′＝0；当x0＝2时，y′＝8e2；当时，y．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．下列求导运算中正确的是（ ）
A．'＝1﹣B．（3lnx）'＝
C．'＝D．（x2csx）'＝﹣2xsinx
解：根据函数的求导公式可得，（x+）′＝1﹣，A正确；
（3lnx）′＝，B正确；
（）′＝＝，C错误；
（x2csx）′＝2xcsx﹣x2sinx，D错误．
故选：AB．
（多选）10．已知圆M：（x+2）2+y2＝2，直线l：x+y﹣2＝0，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别与圆M切于点A，B．则下列说法正确的是（ ）
A．四边形PAMB的面积最小值为
B．|PA|最短时，弦AB长为
C．|PA|最短时，弦AB直线方程为x+y﹣1＝0
D．直线AB过定点（﹣，）
解：A选项，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，
即S四边形PAMB＝S△MPA+S△MPB，
又因切线长定理可知，即S四边形PAMB＝S△MPA+S△MPB＝••（|PA|+|PB|）＝|PA|，
∴当|AP|最短时，四边形面积最小．
又∵|MP|与|AP|及半径R构成直角三角形，
∴|MP|最短时，|AP|最短，
即MP＝d＝＝2，
∴|AP|＝＝，
∴S四边形PAMB＝×＝2，故A正确．
由上述可知，MP⊥l时，|PA|最短，
由等面积法可知，S四边形PAMB＝|MP||AB|．
得|AB|＝，故B正确．
∵MP⊥AB，MP⊥l，kl＝﹣1，
∴kAB＝﹣1，
可设AB的直线方程为x+y+m＝0，
由半弦长、半径、弦心距构成直角三角形可知，弦心距＝＝，
∴圆心M（﹣2，0）到直线AB的距离d＝＝，
解得m＝1，m＝3（舍去）
即直线AB的方程为x+y+1＝0．故C错误．
设圆上一点A为（xA，yA），B（xB，yB），P（xP，yP），
∴＝（xA+2，yA），＝（xB+2，yB），＝（xA﹣xP，yA﹣yP），
易知•＝0⇒（xA+2）（xA﹣xP）+yA（yA﹣yP）＝0⇒（xP+2）（xA+2）+yP•yA＝2，
同理•＝0⇒（xP+2）（xB+2）+yP•yB＝2，
∴AB：（x+2）（xP+2）+y•yP＝2．
∵yP＝﹣xP+2，
∴原式＝（x+2）（xP+2）+y（2﹣xP）＝2，
将（﹣，）代入得•（xP+2）+（2﹣xP）＝2等号成立，
故直线AB过定点为（﹣，），故D正确．
故选：ABD．
（多选）11．在数列{an}中，其前n项和是Sn，则下列正确的是（ ）
A．若Sn＝n2+1，则an＝2n﹣1
B．若a1＝2，an+1＝an+n+1，则an＝（n2+n+2）
C．若a1＝2，nan+1＝（n+1）an，则an＝2n
D．若an＝，则S4＝
解：对于A，若Sn＝n2+1，则a1＝2，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，
验证a1＝2不适合上式，∴，故A错误；
对于B，若a1＝2，an+1＝an+n+1，则an+1﹣an＝n+1，∴an﹣an﹣1＝n（n≥2），
则an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣+（a2﹣a1）+a1
＝n+（n﹣1）+（n﹣2）+...+2+2＝（n≥2），验证a1＝2成立，
∴an＝（n2+n+2），故B正确；
对于C，若a1＝2，nan+1＝（n+1）an，则，∴（n≥2），
则an＝＝（n≥2），验证a1＝2成立，
an＝2n，故C正确；
对于D，若an＝＝，
则S4＝a1+a2+a3+a4＝
＝，故D正确．
故选：BCD．
三．填空题（共3小题）
12．在直线l：2x﹣y+1＝0上一点P到点A（﹣3，0），B（1，4）两点距离之和最小，则点P的坐标为 （1，3） ．
解：点A（﹣3，0）关于直线l：2x﹣y+1＝0的对称点的坐标设C（a，b），
故点A和C的中点坐标（）满足，且，
故，
故，解得，
故C（1，﹣2）．
故直线BC的方程为x＝1．
所以点P的坐标满足，解得．
故P（1，3）．
故（1，3）．
13．写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列 {an} 的通项公式：an＝ （﹣2）n（答案不唯一） ．
（1）数列{an}不单调；
（2）数列{|an|}单调递增；
（3）{an}是无穷等比数列．
解：∵数列为不单调的无穷等比数列，∴数列{an}的公比为负值，
而数列{|an|}单调递增，则首项为正，公比绝对值在（1，+∞）上，
则数列{an}的通项公式可以为an＝（﹣2）n．
故（﹣2）n（答案不唯一）．
14．过点P（2，0）的动直线l与圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+5＝0交于P1，P2两点，过点P1，P2分别作圆C的切线l1，l2，若l1与l2交于点M，则CM的最小值 ．
解：设M（x0，y0），圆C的圆心C（3，1），
则MC为直径的圆C1的方程为（x﹣x0）（x﹣3）+（y﹣y0）（y﹣1）＝0，
即x2+y2﹣（x0+3）x﹣（y0+1）y+3x0+y0＝0，
由平面几何的知识知直线P1P2的方程为圆C与圆C1的公共弦所在直线方程，
从而把圆C、圆C1的方程相减得直线P1P2的方程为（x0﹣3）x+（y0﹣1）y+5﹣3x0﹣y0＝0，
∵P（2，0）在直线P1P2上，代入得x0+y0+1＝0
∴点M在直线x+y+1＝0上，
则CM的最小值为圆心C到直线x+y+1＝0的距离，∴d＝＝
故
四．解答题（共5小题）
15．已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，0），B（0，2），C（2，﹣2），求：
（1）AB边中线所在的直线方程；
（2）△ABC的外接圆的方程．
解：（1）由A（﹣4，0），B（0，2），可得AB中点M的坐标为（﹣2，1），
所以AB边中线所在直线的方程为＝，
即3x+4y+2＝0；
（2）设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
由，解之可得，
故△ABC的外接圆的方程为x2+y2+2x+2y﹣8＝0．
16．已知a为实数，函数．
（1）若f'（1）＝0，求实数a的值；
（2）若a＝3时，求函数f（x）在x＝4处的切线方程．
解：（1）函数f（x）＝（x﹣a），定义域为[0，+∞），f′（x）＝＝，
因为f'（1）＝0，故 ＝0，解得a＝3；
（2）因为a＝3，
所以f（x）＝（x﹣3），f′（x）＝，则f（4）＝2，f′（4）＝，
故函数f（x）在x＝4处的切线方程为y＝（x﹣4），即9x﹣4y﹣36﹣0．
17．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点A（2，﹣4），
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线l的方程；
（Ⅱ）若点B（0，2），求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．
解：（ I）由题抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点A（2，﹣4），16＝4p，解得p＝4，
抛物线C的方程为y2＝8x，其准线l方程为x＝﹣2； …（4分）
（Ⅱ）由题，①当直线l的斜率不存在时，y轴符合题意，其方程为x＝0；
②如果直线l的斜率为0，y＝2符合题意；
③如果直线l的斜率存在且不为0，则设直线l的方程为y＝kx+2，
由得ky2﹣8y+16＝0，
由Δ＝64﹣64k＝0得k＝1，故直线l的方程为y＝x+2，即x﹣y+2＝0，
因此，直线l的方程为x＝0或y＝2或x﹣y+2＝0．（用其他方法解答的请酌情给分） …（12分）
18．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，+an＝2Sn+2，数列{bn}满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项和Tn．
解：（1）由题意，当n＝1时，＝2a1+2，
化简整理，得﹣a1﹣2＝0，
解得a1＝﹣1（舍去），或a1＝2，
当n≥2时，由+an＝2Sn+2，
可得，
两式相减，可得+an﹣﹣an﹣1＝2an，
化简整理，得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）＝0，
∵an＞0，n∈N*，
∴an+an﹣1＞0，
∴an﹣an﹣1﹣1＝0，即an﹣an﹣1＝1，
∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，
∴an＝2+（n﹣1）×1＝n+1，n∈N*．
（2）由（1），可得，
则Tn＝b1+b2+…+bn＝2×32+3×33+4×34+⋯+（n+1）×3n+1，
，
两式相减，
可得，
＝18+﹣（n+1）×3n+2，
＝，
∴．
19．已知椭圆和双曲线，过椭圆C1左焦点F且斜率为k的直线交椭圆于A，B两点．设P是椭圆的右顶点，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，直线PA，PB与双曲线C2的另一个交点分别为M，N．
（1）求k1k2的值；
（2）求证：直线MN过定点．
解：（1）易知F（﹣1，0），
不妨设直线AB方程为y＝k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y并整理得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，
此时Δ＞0，
由韦达定理得，，
所以；
（2）证明：不妨设直线MN：y＝mx+n，M（x3，y3），N（x4，y4），
联立，消去y并整理得（3﹣4m2）x2﹣8mnx﹣4n2﹣12＝0，
由韦达定理得，，
由（1）知，
整理得8m2+2mn﹣n2＝0，
即（4m﹣n）（2m+n）＝0，
解得n＝4m或n＝﹣2m
所以直线MN的方程为y＝mx+4m或y＝mx﹣2m，
则直线MN过定点（﹣4，0）或（2，0）（舍）．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
A
B
C
C
D