2024-2025学年江西省赣州市大余县高二上学期12月联考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年江西省赣州市大余县高二上学期12月联考数学检测试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3＝15，且＝，则a2＝（ ）
A．2B．
C．3D．
2．已知函数，若数列满足，则（ ）
A．1B．2C．4D．
3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，若{an}是“斐波那契数列”，则的值为（ ）.
A．B．1C．D．2
4．已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数t的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
5．数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
6．定义：如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．（0，1）D．
8．设直线与函数的图象交于点，与直线交于点．则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．与均为的最大值
10．已知正项数列的前项和为，若对于任意的，，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若该数列的前三项依次为，，，则
D．数列为递减的等差数列
11．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值
B．有两个不同的零点
C．
D．若在(0,+∞)上恒成立，则
12．已知等比数列首项，公比为，前项和为，前项积为，函数，若，则（ ）
A．为单调递增的等差数列B．
C．为单调递增的等比数列D．使得成立的的最大值为6
三、填空题（本大题共4小题）
13．设数列的前项和为，且，，则 .
14．朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则 ．
15．已知是，的等差中项，是，的等比中项，则 .
16．已知函数在R数上单调递增，且，则的最小值为
，的最小值为 .
四、解答题（本大题共6小题）
17．设数列的前n项和为，从条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列的前n项和为，，________．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n和．
18．已知为等差数列，为等比数列，.
（1）求和的通项公式；
（2）对任意的正整数，设，求数列的前项和.
19．已知函数()．
（1）若函数有两个极值点，求的取值范围；
（2）证明：当时，．
20．已知数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2）求证.
21．设函数
（1）若函数在上递增，在上递减，求实数的值.
（2）讨论在上的单调性；
（3）若方程有两个不等实数根，求实数的取值范围，并证明.
22．已知函数，其中.
（1）讨论的单调性.
（2）是否存在，对任意，总存在，使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
答案
1．【正确答案】C
【详解】∵
∵＝，即，则
∵a1a2a3＝15，
∴＝，
∴a2＝3.
故选：C.
2．【正确答案】C
【详解】由题意，函数，且数列满足，
所以，，
，，
，，
所以数列的周期为4，所以.
故选：C.
3．【正确答案】B
由已知数列的特点依次求出，，，的值，发现这些数依次为，进而可求出答案
【详解】由题设可知，斐波那契数列{an}为：
其特点为：前两个数为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，由此可知：
，
，
，
，
，
则
.
故选：B.
4．【正确答案】C
先求出的通项，再利用裂项相消法可求，结合不等式的性质可求实数t的最小值.
【详解】时，，
因为，
所以时，，
两式相减得到，故时不适合此式，
所以，
当时，，
当时，，
所以；所以t的最小值；
故选：C.
5．【正确答案】C
【详解】由题知：设，
则，
所以.
又因为，
所以，，，，，
即，解得.
因为，所以，
又因为，所以，即.
故选：C
6．【正确答案】A
【详解】，
∵函数是区间上的双中值函数，
∴区间上存在 ，
满足
∴方程在区间有两个不相等的解，
令，
则，
解得
∴实数的取值范围是.
故选:A．
7．【正确答案】B
【详解】的导数为的导数为设与曲线相切的切点为与曲线相切的切点为(s，t)，则有公共切线斜率为又，即有，即为，即有则有
即为令则，
当时，递减，当时，递增，即有处取得极大值，也为最大值，且为由恰好存在两条公切线，即s有两解，可得a的取值范围是，
故选:B
8．【正确答案】A
【详解】由题意得，，则．
设函数，，则，
易知在上单调递减，在上单调递增，所以，
又，，所以的值域为，故的取值范围是．
故选：A.
9．【正确答案】BD
【分析】结合等比数列的性质依次分析选项即可.
【详解】由题意知，
：由得，由得，
所以，又，所以，故错误；
：由得，故正确；
：因为是各项为正数的等比数列，，
有
所以，
所以，故错误；
：，
则与均为的最大值，故正确.
故选：
10．【正确答案】AC
令，则，根据，可判定A正确；由，可判定B错误；根据等差数列的性质，可判定C正确；，根据，可判定D错误.
【详解】令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A正确；
由，所以，故B错误；根据等差数列的性质，可得，所以，，
故，故C正确；
由，因为，所以是递增的等差数列，故D错误.
故选：AC.
1、作差比较法：根据的符号，判断数列是递增数列、递减数列或是常数列；
2、作商比较法：根据或与1的大小关系，进行判定；
3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.
11．【正确答案】ACD
【详解】对于选项A：函数定义域为(0,+∞)，，令可得，
令可得，所以在单调递增，在单调递减，
所以在时取得极大值，故选项A正确
对于选项B：令，可得，因此只有一个零点，故选项B不正确；
对于选项C：显然，在单调递减，
可得，因为，
即，故选项C正确；
对于选项D：由题意知：在(0,+∞)上恒成立，
令则 ，因为
易知当时.，当时，，所以在时取得极大值也是最大值，所以，
所以在上恒成立，则，故选项D正确.
故选：ACD.
12．【正确答案】BCD
【分析】
令，利用可得，，B正确；由可得A错误；由可得C正确；由，，可推出，可得D正确.
【详解】
令，则，
，，
因为是等比数列，所以，即，，，B正确；
，是公差为的递减等差数列，A错误；
，是首项为，公比为的递增等比数列，C正确；
，，，
时，，时，，时，，，时，，又，，所以使得成立的的最大值为6，D正确.
故选：BCD
关键点点睛：利用等比数列的性质、通项公式、求和公式、数列的单调性求解是解题关键.
13．【正确答案】1189
【详解】解：因为，
所以，
所以，
由，可得
所以，
所以
，
故1189
14．【正确答案】
【详解】将每个音的频率看作等比数列，利用等比数列知识可求得结果.
【详解】由题知：一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等，
可以将每个音的频率看作等比数列，一共13项，且，
最后一个音是最初那个音的频率的2倍，
，，
，
．
故
关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键.
15．【正确答案】
由题意得，，消去，可得，化简得，得，则有
【详解】由题设可知：
由是，的等差中项，则①，
是，的等比中项，则②，
则有①②可知：③，
，，
则将③式变形得：，
即，
则.
故答案为.
16．【正确答案】；
【分析】
根据条件分析出，根据函数的单调性分析出的最小值.将待求式子变形为关于的式子，利用基本不等式以及函数单调性求解出的最小值.
【详解】
解：因为在R上单调递增，则，
所以，所以，又因为，所以，则，
又因为，，
令函数，在恒成立，
在上单调递减，
所以，所以的最小值为，取等号时，
所以，又因为，取等号时，
且函数，，
在上递增，所以，
所以的最小值为，取等号时；
故 ；.
易错点睛：利用基本不等式求解最值时，一定要注意取等号的条件是否能满足，若不满足则无法直接使用基本不等式，转而利用对勾函数单调性分析更方便.
17．【正确答案】任选三条件之一，都有（1）；（2）．
【详解】选条件①时，
（1）时，整理得，所以.
（2）由（1）得：，
设，其前项和为，
所以 ①，
②，
①②得：，
故，
所以.
选条件②时，
（1）由于，所以①，当时，②，
①②得：，
，整理得，所以.
（2）由（1）得：，
设，其前项和为，
所以 ①，
②，
①②得：，
故，
所以.
选条件③时，
由于， ①
②
①②时，，整理得（常数），
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
所以.
（2）由（1）得：，
设，其前项和为，
所以①，
②，
①②得：，
故，
所以.
18．【正确答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.，，，分别利用“ ”法和“ ”法求解.
（2）由（1）知当n为奇数时，，当n为偶数时，，然后分别利用裂项相消法和错位相减法求和，然后相加即可.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.
因为，，
所以，
解得d=1.
所以的通项公式为.
由，
又q≠0，得，
解得q=2，
所以的通项公式为.
（2）当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
对任意的正整数n，有，
①
由①得 ②
由①②得，
，
，
所以.
所以.
所以数列的前2n项和为.
本题主要考查等差数列、等比数列通项公式的求法，分组求和、裂项相消法和错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于较难题.
19．【正确答案】（1）；（2）证明见解析．
（1）由题意转化为有两个变号零点，再参变分离后得，利用图象求的取值范围；（2）首先构造函数()，求函数的二次导数，分析函数的单调性，并求函数的最值，并证明不等式.
【详解】（1）的定义域为，，
若函数有两个极值点，则有两个变号零点，
等同于，
即水平直线与曲线有两个交点(不是的切线)，
令，的定义域为，则，令，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递减，
则为的极大值，也为最大值，
当时，，
当时，，
当时，且为正数，
则的图像如图所示，则此时；
（2）证明：令()，则只需证明当时恒成立即可，
则，令，
则，
当时，，，，
则，则在时单调递增，
又，
∴时，，则在时单调递增，
∴当时，即当时，．
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
其中一种重要的技巧就是找到函数在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的突破口.
20．【正确答案】（1）；（2）证明见解析.
（1）由题可知数列为等比数列，公比，进一步求出的通项公式，所以，利用累加法求出数列的通项公式；
（2）利用对数列进行放缩 ，化简求出答案.
【详解】（1），所以数列为等比数列，公比，所以，所以
（2）证明：
21．【正确答案】（1）.（2）答案见解析.（3），证明见解析
【详解】（1）由于函数在上递增，在上递减，
由单调性知是函数的极大值点，无极小值点，所以，
∵，
故，
此时满足是极大值点，所以；
（2）∵，
∴，
①当时，在上单调递增.
②当，即或时，，
∴在上单调递减.
③当且时，由 得.
令得；
令得.
∴在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上递增；
当或时，在上递减；
当且时，在上递增，在上递减.
（3）令，
，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故在处取得最小值为，
又当，
所以函数大致图象为：
由图象知.
不妨设，则有，
要证，只需证即可，
令，
则
在上单调递增，
故
即，
，
.
22．【正确答案】（1）答案见解析；（2）存在，.
（1）先求出函数的导数，再对a进行分类讨论，从而求出函数的单调区间；
（2）对a进行分类讨论，分为，，三种情况，利用导数研究函数的最值，从而进行分析求解即可.
【详解】（1）由，得，
当时，对任意，，所以单调递减；
当时，令，得，
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）存在满足条件的实数，且实数的值为，
理由如下：
①当，且时，由（1）知，在上单调递减，
则时，，
则，
所以此时不满足题意；
②当时，由（1）知，在上，单调递增，
在上，单调递减，
则当时，，
当时，对任意，
，
所以此时不满足题意；
③当时，令（），
由（1）知在上单调递增，进而知在上单调递减，
所以，，
若对任意的，总存在，使得，
则，，即，
所以，解得，
综上，存在满足题意的实数，且实数的值为.