2024-2025学年山东省威海市乳山市高二上学期期中考试数学检测试题（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省威海市乳山市高二上学期期中考试数学检测试题（含答案），共10页。试卷主要包含了已知点，则点到平面的距离为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数，则的虚部为（）
A. B. C. D.3
2.对任意的空间向量，下列说法正确的是（）
A.若，则 B.
C. D.若，则
3.已知，若，则（）
A. B.3 C.5 D.6
4.已知直线恒过定点，则以为圆心，2为半径的圆的方程为（）
A. B.
C. D.
5.空间四边形中，，点分别为的中点，则的长为（）
A. B. C. D.
6.过原点可以作两条线与圆相切，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
7.已知点，则点到平面的距离为（）
A. B. C. D.2
8.椭圆的离心率为，点为上一点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知是复数，为虚数单位，则下列说法正确的是（）
A. B.
C.若，则 D.
10.已知圆和圆相切，则实数的值可以是（）
A. B. C.0 D.
11.在正方体中，分别为线段上的动点，为的中点，则（）
A.存在两点，使得
B.
C.与所成的最大角为
D.直线与平面所成角为的最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在复平面内，复数对应的点的坐标为，则__________.
13.已知直线过点并且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为__________.
14.已知直线经过圆与圆的交点，为上一点，则的最小值为__________，此时点的坐标为__________（本题第一空3分，第二空2分）
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）
如图，在菱形中，.
（1）求所在直线的方程；
（2）求所在直线的倾斜角；
（3）求所在直线的方程.
16.（15分）
在平面直角坐标系中，已知.
（1）证明：四点共圆；
（2）过点作（1）中圆的切线，求切线方程；
（3）坐标原点，点，请问（1）中圆上是否存在点满足？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.
17.（15分）
已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，.
（1）求直线与平面所成角的余弦值；
（2）线段上是否存在点使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18.（17分）
如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，对的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成角的正弦值；
（3）设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值.
19.（17分）
己知椭圆与椭圆有相同的焦点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过圆上一点的切线方程可整理成，经计算知过椭圆上一点的切线方程也有类似的写法.设为上一动点，直线与相切于点.
（i）原点为，若直线与的斜率均存在，分别表示为，求；
（ii）过原点作圆的两条切线，设两条切线与椭圆交于两点，则与是否相等？说明理由.
高二数学答案
一､选择题：每小题5分，共40分.
二､多选题：每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
三､填空题：每小题5分，共15分.
四､解答题：
15.（13分）
解：（1），
所以直线的方程为，
即或）
（2）由（1）知直线的倾斜角为
所以可得直线的倾斜角为，
因为对角线互相垂直，所以直线的倾斜角为；
（3）直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
联立可得的坐标为，
所以直线的方程为，
即（或）.
16.（15分）
解：（1）设经过三点的圆的方程为，
则，
解方程组可得，
所以圆的方程为（或）；
又点在圆上，
所以证得四点在圆上
（2）当斜率不存在时，方程为，与圆相切，成立；
当斜率存在时，设直线方程为，
即，
所以可得，
可得，
所以直线为，
所以所求切线方程为或
（3）设的坐标为，依题意可得，
平方化简可得的轨迹方程为，
两圆圆心的距离，
所以两圆的位置关系为内含，所以不存在这样的点
17.（15分）
证明：（1）因为正方形和矩形所在的平面互相垂直，
，平面平面平面，
所以平面，
所以，
又，
.以为原点，的方向分别为轴､轴､轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则得，此时，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为
（2），
设，则，
所以，
所以，时，直线平面，
所以，
所以，
所以线段上存在点使得平面，此时.
18.（17分）
（1）证明：取的中点，连结，
由已知得，是边长为2的等边三角形，是以为腰的等腰三角形，
则，
故平面平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面
（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，
同理，平面的一个法向量为，
所以，因为
，
故平面与平面所成角的正弦值为.
（3）点是内一动点且，则点在以为直径的圆上，
当线段的长最小时，点在与圆的交点处，此时，
，
设直线与直线所成角为，
所以，
所以直线与直线所成角得余弦值为.
19.（17分）
解：（1）依题意知，
又离心率为，所以，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）由题意，处的切线方程为，即，
所以，
又，从而；
（3）圆：的圆心为，半径为.
设过原点作圆两条切线方程为，
由题意可知，圆心为到两条切线的距离等于，则
，
即，
设切线的斜率分别记为，因为是椭圆上的任意一点，
所以，即，
所以是方程的两个实数根，
所以，
所以与相等.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
C
C
C
B
A
C
题号
9
10
11
答案
BD
ACD
ABD
题号
12
13
14
答案
或
（3分），（）（2分）