2024-2025学年山西省晋城市高二上学期12月月考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年山西省晋城市高二上学期12月月考数学检测试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．请将全部答案按要求写在答题卡上．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在下列各题的四个选项中选出一个符合题意的选项．）
1．已知集合则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知向量，且，则的值为（ ）
A．或4B．C．D．4
3．已知等差数列中，，则公差（ ）
A．4B．3C．D．
4．已知等比数列中，，，则公比（ ）
A．2B．C．4D．
5．已知等比数列的公比为2，前项和为.若，则（ ）
A．4B．8C．16D．32
6．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
7．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．4C．D．
8．已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在下列各题的四个选项中，有多个选项符合题意，请你选出正确的选项．注：多选、错选不给分，选不全者得2分．）
9．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的实部为3B．的虚部为2
C．D．
10．已知椭圆.则下列结论正确的是（ ）
A．长轴为6B．短轴为4
C．焦距为D．离心率为
11．在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（ ）
A．B．
C．D．
12．如图，在棱长为2的正方体中，分别是上的动点，下列说法正确的是（ ）

A．
B．三棱锥的体积是
C．点到平面的距离是
D．该正方体外接球的半径与内切球的半径之比是
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分．）
13．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为 ．
14．从0～9这10个数中随机选择一个数，则这个数的平方的个位数字是奇数的概率为 ．
15．直线被圆截得的弦长为 .
16．椭圆与渐近线为的双曲线有相同的焦点，P为它们的一个公共点，且，则椭圆的离心率为 .
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．在等差数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和.
18．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，求．
19．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
20．某企业招聘，一共有名应聘者参加笔试他们的笔试成绩都在内，按照，，…，分组，得到如下频率分布直方图：
(1)求图中的值；
(2)求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）
(3)该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取人，估计应该把录取的分数线定为多少.
21．已知数列的前项和为，且
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和
22．已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
1．D
【分析】根据并集的知识求得正确答案.
【详解】依题意，.
故选：D
2．A
【分析】由平行向量的坐标表示求解即可.
【详解】因为向量，且，
所以，解得，或.
故选：A.
3．B
【分析】根据等差数列通项公式即可求解.
【详解】在等差数列中，，
所以有．
故选：B
4．D
【分析】根据等比数列的知识求得正确答案.
【详解】依题意.
故选：D
5．A
【分析】根据已知条件求得，进而求得.
【详解】依题意，
所以.
故选：A
6．C
【分析】根据等差数列前项和公式和通项公式即可求解.
【详解】由题意得，解得，
，
故选：C.
7．C
【分析】由已知条件利用等差数列前项和公式推导出，由此能求出的值
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
∵等差数列的前项和为，，
∴，整理得，
∴．
故选.
8．A
【分析】利用等差数列的性质得出即可求解.
【详解】等差数列，，，
，，则取最大值时，.
故选：A.
9．BD
【分析】根据复数的实部、虚部、共轭复数、模等知识确定正确答案.
【详解】由于复数，所以z的实部为，虚部为2，所以，.
所以AC选项错误，BD选项正确.
故选：BD
10．ABD
【分析】根据椭圆方程确定长短轴、焦距和离心率即可.
【详解】由椭圆方程知：，故长轴为6，短轴为4，焦距为，离心率为.
所以A、B、D对，C错.
故选：ABD
11．AC
【分析】根据和点到直线的距离公式结合的面积是可得，；
由公式，可得，.
【详解】由题意得，设直线：即，
则点到直线的距离是，
所以，得，所以，
，，所以AC正确，
故选：AC.
12．AC
【分析】A由正方体的性质，应用线面垂直的判定和性质判断；B由，应用棱锥体积公式求体积；C先证面，再将点到平面的距离化为到面的距离判断；D由正方体外接球、内切球半径与棱长关系即可判断.
【详解】A：由面，面，则，
又，而，面，
则面，面，
所以，对；

B：由，错；

C：由，面，面，则面，
又面即为面，且是上的动点，
所以点到平面的距离，即为到面的距离，
由⊥平面，平面，则，
又，而，平面，
则⊥平面，
所以所求距离为，对；

D：由于正方体外接球半径为体对角线的一半，即为，
正方体内切球的半径为棱长的一半，即为1，
所以正方体外接球的半径与内切球的半径之比是，错.
故选：AC
13．
【分析】根据面积公式直径运算求解即可.
【详解】由题意可得的面积为.
故答案为.
14．##0.5
【分析】利用列举法求解出古典概型的概率.
【详解】，
其中个位数字是奇数的有，共5个，
故这个数的平方的个位数字是奇数的概率为.
故
15．2
【分析】将直线方程代入圆的一般方程，解方程得出两个交点的坐标，结合两点距离公式计算即可求解.
【详解】由题意知，，
代入圆的一般方程，得，
解得，
当时，，对应的点为，
当时，，对应的点为，
所以该弦长为.
故2.
16．##
【分析】根据椭圆与双曲线共用一对焦点，设双曲线方程，根据椭圆与双曲线的定义可得，，再根据可得勾股定理，结合化简求解即可.
【详解】设，在双曲线中，渐近线为，
即，故，，，
不妨设P在第一象限，则由椭圆定义可得：
，由双曲线定义可得：，
因为，∴，
而，
代入可得：，∴.
故
17．(1)
(2)
【分析】根据等差数列的通项公式，前项的和公式可对（1），（2）求解.
【详解】（1）设的公差为，
由：，得：，
所以：，
故：数列的通项公式.
（2）由等差数列前项公式：，
得：，
故：数列的前项的和.
18．(1)或
(2)当时，；当时，
【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理，即可求解.
（2）根据角的大小，结合余弦定理，即可求得答案.
【详解】（1）因为，所以，又，所以，
因为，所以，因为，或.
（2）因为，，
当时，，
因为，则；
当时，，
因为，则.
综上，当时，；当时，.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，计算后即可证明；
（2）根据线面角的向量求法即可求解.
【详解】（1）
以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
因为为棱的中点，为棱的中点，所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
因为，所以，
因为平面，所以平面.
（2）由（1）得，，
设直线与平面所成的角为，
则.
20．(1)
(2)
(3)65分
【分析】（1）由所有频率和为1，列方程求出的值，
（2）由平均数公式求解即可，
（3）设分数线定为，根据频率分布直方图可知，列出方程估计录取的分线
【详解】（1）由题意得，解得
（2）这些应聘者笔试成绩的平均数为
（3）根据题意，录取的比例为，
设分数线定为，根据频率分布直方图可知，则
，解得，
所以估计应该把录取的分数线定为65分
21．(1)
(2)
【分析】（1）由与的关系和等比数列的定义进行求解即可；
（2）由错位相减法进行求解即可.
【详解】（1）由已知，当时，，即，∴.
当时，∵，
∴，
两式相减，得，即，∴（），
∴由等比数列的定义知，数列是首项，公比的等比数列，
∴数列的通项公式为.
（2）由第（1）问，，
∴，①
①，得，
，②
∴①②，得
，
∴.
22．(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可.
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆方程为.
（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，
联立方程，消去y得：，
则，解得，
可得，
因为，则直线，
令，解得，即,
同理可得，
则
，
所以线段的中点是定点.

方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．