2024-2025学年陕西省西安市高二上学期12月月考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年陕西省西安市高二上学期12月月考数学检测试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了图中能表示直线的倾斜角的是，点到直线的距离为，圆和圆的公切线有，椭圆的焦点坐标是等内容，欢迎下载使用。
（ 用时：120分钟）一､单项选择题（每小题5分，共60分）
1．图中能表示直线的倾斜角的是（ ）
A．①④B．①②C．①③D．②④
2．直线kx－y＋1－3k＝0当k变化时，所有的直线恒过定点( )
A．(1,3)B．(－1，－3)
C．(3,1)D．(－3，－1)
3．点到直线的距离为
A．B．C．D．
4．已知为原点，点，以为直径的圆的方程为( )
A．B．
C．D．
5．圆和圆的公切线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
6．椭圆的焦点坐标是（ ）
A．B．C．D．
7．双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知抛物线过点，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
9．已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相切或相交
10．如图，在长方体中，，点是的中点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
11．抛物线的准线方程是
A．B．
C．D．
12．某学习小组共5人，约定假期每两人相互微信聊天，共需发起的聊天次数为（ ）
A．20B．15C．10D．5
二､填空题（共20分）
13．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为 .
14．车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，则不同的安排方法种数为 ．
15．10个人分成甲､乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为 .（用数字作答）
16．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化. 现假设人们经分析估计利率下调的概率为，利率不变的概率为. 根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为，则该支股票将上涨的概率为 ．
三､计算题（共70分）
17．已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的斜率为1，求点的坐标.
18．已知圆C过点，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切．
求圆C的标准方程；
已知过点的直线1交圆C于A、B两点，且，求直线1的方程．
19．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在轴上，且经过两个点和；
(2)经过点.
20．求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
21．如图，在三棱柱中，M是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
(1)；
(2)；
(3)．
22．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：
(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？
(2)从2号箱取出红球的概率是多少？
23．盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止．求：
（1）抽取次数X的分布列；
（2）平均抽取多少次可取到好电池．
1．C
【分析】根据直线的倾斜角的定义判断即可.
【详解】根据倾斜角的定义可知图①中的为直线的倾斜角，
图③中的的对顶角为直线的倾斜角，
图②中的的补角为直线的倾斜角，
图④中的为直线的倾斜角.
故符合题意的只有①③.
故选：C
2．C
【分析】先分离参数得到（x-3）k+1-y=0，再解方程组即得直线所经过的定点.
【详解】由题得（x-3）k+1-y=0，所以，解之得x=3,y=1,所以直线过定点（3,1）.
故答案为C
(1)本题主要考查直线的定点问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 直线的定点问题,方法一：参数赋值法,给直线中的参数赋两个值，得到两个方程，再解方程组得到方程组的解，即是直线过的定点，最后要把点的坐标代入直线的方程证明，发现直线的方程恒成立.方法二：分离参数法,把直线的方程分离参数得到，所以，解之得定点的坐标.
3．A
【分析】根据点到距离的公式即可得到结果
【详解】由题已知：点，直线方程为：．则：
故选：A
4．A
【分析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒
【详解】由题知圆心为，半径，
∴圆的方程为﹒
故选：A﹒
5．C
【分析】求出两圆的圆心和半径，根据两圆的圆心距小于半径之和，可得两圆相交，由此可得两圆的公切线的条数．
【详解】解答：
圆,表示以为圆心，半径等于的圆．
圆,表示以为圆心，半径等于的圆．
两圆的圆心距等于，两圆相外切，故两圆的公切线的条数为.
故选C.
本题主要考查公切线条数的确定，解题的关键是要确定两圆的位置关系，属于基础题.
6．C
【分析】先根据椭圆方程求出，再由其焦点在上可求得结果.
【详解】在椭圆中，，
则，得，
而椭圆的焦点在轴上，
因此焦点坐标为.
故选：C
7．B
根据双曲线的定义求出，然后可求得答案.
【详解】2a＝
所以，又c＝6，
所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.
所以双曲线的标准方程为
故选：B
8．C
【分析】根据点在抛物线上，求出，求出焦点坐标，判断选项.
【详解】根据点在抛物线上，则，解得，故，所以焦点坐标为.
故选：C
9．C
将直线方程和椭圆方程联立，解方程组，由解的个数即可判断直线与椭圆的位置关系
【详解】解：由，得，化简得，
因为，
所以方程无解，
所以直线与椭圆的位置关系是相离，
故选：C
10．C
【分析】由空间直角坐标系中点坐标公式可得.
【详解】由图可知，，
因为点是的中点，
则由中点坐标公式可得.
故选：C.
11．C
【详解】试题分析：由题意得，抛物线可化为，则，所以准线方程为，故选C．
考点：抛物线的几何性质．
12．C
【详解】由题意，微信聊天次数没有先后顺序之分，所以共需发起的聊天次数为5×4＝10.
13．+x2=1
根据椭圆的定义可得a=4，c=，再由b2=a2-c2，即可求解.
【详解】由已知2a=8，2c=2，所以a=4，c=，
所以b2=a2-c2=16-15=1.
又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为+x2=1.
故+x2=1。
本题考查了椭圆的定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
14．60
【分析】根据排列数公式计算即可．
【详解】由题意可知，本题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有 (种)．
15．210
【分析】从10个人中选出4人为甲组，则剩下的人即为乙组.
【详解】从10个人中选出4人为甲组，则剩下的人即为乙组，共有种分法.
故210.
16．
【分析】根据全概率公式直接计算可得结果.
【详解】记“利率下调”为事件，则“利率不变”为事件，“价格上涨”为事件，
由题意知：，，，，
.
故答案为.
17．或
【分析】由点在坐标轴上，分轴两类情况设点的坐标，由斜率建立等式求解方程可得.
【详解】若点在轴上，设，又点，
则直线的斜率，解得，
.
若点在轴上，设，
则直线的斜率，解得.
故点的坐标为或.
18．：;或.
【分析】由题意设圆心坐标为，利用半径相等列式求得a，进一步求得半径，则圆的方程可求；当直线的斜率不存在时，可得直线方程为，符合题意；当直线的斜率存在时，设出直线方程，结合垂径定理求解．
【详解】由题意设圆心坐标为，
由题意，，解得舍或．
圆的半径为．
则圆C的标准方程为；
若斜率不存在，则直线方程为，
弦心距，半径为，
则，符合题意．
若斜率存在，设直线方程为，即．
弦心距，得，
解得：，直线方程为．
综上所述，直线l的方程为或．
本题考查直线与圆的位置关系及其应用，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.
19．(1)
(2)
【分析】（1）设出焦点在轴上椭圆的标准方程，利用待定系数法求解即可；
（2）由于椭圆的焦点所在位置不确定可设为：，然后利用待定系数法求解即可.
【详解】（1）焦点在轴上的椭圆方程设为.
由于椭圆经过两个点和，
所以，解得，
所以所求的椭圆的标准方程为.
（2）设椭圆的方程为：，
由于椭圆经过点，
，解得，
所以所求椭圆的标准方程为.
20．顶点坐标(－3，0)，(3，0)；焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)；实轴长6，虚轴长是4，离心率，渐近线方程.
【分析】将双曲线，化为标准方程，求得，结合双曲线的几何性质，即可求解.
【详解】由题意，将双曲线，化为标准方程，
可得，则，
所以双曲线的顶点为A1(－3，0)，A2(3，0)，
焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，
离心率，渐近线方程.
本题主要考查了双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
21．(1)
(2)
(3)
【分析】利用空间向量的运算法则进行化简计算，并在图中标出化简后的向量
【详解】（1）
（2）因为M是的中点，所以．又，所以，所以．
（3）．
22．（1） （2）
【详解】试题分析：记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球，
（1）利用P(A|B)＝求解即可；
（2）利用P(A)＝P(A∩B)＋P(A∩)求解即可
试题解析：
记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球．
P(B)＝＝，P()＝1－P(B)＝.
(1)P(A|B)＝＝.
(2)∵P(A|)＝＝，
∴P(A)＝P(A∩B)＋P(A∩)＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝×＋×＝.
23．（1）答案见解析 ；（2） 平均抽取1.5次可取到好电池．
【分析】（1）首先求随机变量的取值，再求其概率，最后写出分布列；
（2）根据分布列，求数学期望.
【详解】解析：（1）由题意知，X取值为1，2，3．
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝．
所以X的分布列为：
（2）E(X)＝，
即平均抽取1.5次可取到好电池．
X
1
2
3
P