2024−2025学年天津市滨海新区高二上学期12月月考数学学情检测试卷（含解析）

这是一份2024−2025学年天津市滨海新区高二上学期12月月考数学学情检测试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若直线l的方向向量是 则直线l的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是 ( )
A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)
3．已知数列满足 ，则 （ ）
A．23B．C．3D．2
4．设双曲线 的离心率为 则a的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
5．已知圆：和圆：，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．设，，向量，，且，则的值为（ ）
A．5B．C．D．
7．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是( )
A．2B．2C．D．1
8．在等差数列中， ，则
A．12B．14C．16D．. 18
9．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共6小题）
10．数列的前项和，则的通项公式为 ．
11．已知椭圆（）的短轴长为6，则实数的值为 .
12．已知直线：，直线：，若，则实数a的值为 .
13．在棱长为1正方体中，为线段的中点，则到平面的距离为 ；
14．如图，在三棱柱中，D，E分别是线段，的中点，设，，.用，，表示 .
15．双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于，两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则 .
三、解答题（本大题共5小题）
16．如图， 在四棱锥，平面， 底面是直角梯形， 其中， ， ，E为棱上的点，且 .

(1)求证: 平面；
(2)求平面与平面所成夹角的正弦值.
17．已知圆经过点和，且圆心在直线上，
(1)求圆的标准方程；
(2)过点作圆的切线，求直线的方程.
18．记为等差数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，，求数列的前21项和.
19．已知椭圆C：的长轴为，短轴长为4．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：与椭圆C交于不同两点A、B，且，求直线的方程．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为 ， 且经过点，分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于两点 (其中D在x轴上方).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若 求直线的方程.
答案
1．【正确答案】C
【详解】由直线l的方向向量是得直线的斜率为，
设直线的倾斜角是，
故选：C.
2．【正确答案】D
【详解】试题分析：由圆x2＋y2－4x＋6y＝0的方程；代入圆心坐标公式, 可得； .
考点：圆的一般方程及圆心坐标的算法.
3．【正确答案】C
【详解】因为，，
所以，，，．
故选：C
4．【正确答案】C
【详解】由双曲线方程的离心率为可得：
，平方解得：，
又因为，所以，
故选：C.
5．【正确答案】B
【分析】直接将两圆方程作差即可得公共弦方程.
【详解】由题意圆：和圆：，
将两式作差得，圆与圆的公共弦所在的直线方程为，整理得.
故选：B.
6．【正确答案】D
【分析】根据向量共线列出方程求解即可.
【详解】因为向量，，且，
所以，即，
所以解得，，，
所以，
故选：D
7．【正确答案】D
【详解】由抛物线方程知2p＝8⇒p＝4，故焦点F(2,0)，由点到直线的距离公式知，F到直线x－y＝0的距离d＝＝1.故选D.
8．【正确答案】D
【分析】
先由等差数列的概念得到公差d，再由等差数列的通项得到即可.
【详解】
等差数列中， ，
故答案为D.
本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.
9．【正确答案】D
【分析】
设点在直线上，由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，以此可得出双曲线的方程.
【详解】
设点在直线上，由于是边长为的等边三角形，则且，
所以，，解得，
因此，该双曲线的方程为.
故选：D.
10．【正确答案】
【分析】利用递推关系当时，；当时，，再验证时的情形即可得出结果．
【详解】∵，∴时，．
当时，，
当时，不满足，
则数列的通项公式为：，
故答案为．
本题主要考查了递推关系、数列通项公式与前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．【正确答案】3
【分析】根据方程分析，利用短轴长求解.
【详解】因为，所以，即.
故3
12．【正确答案】1或
【分析】由直线平行的充要条件列方程求解即可.
【详解】由题意直线：，直线：，若，
则当且仅当，解得，经检验满足题意.
故1或.
13．【正确答案】
【详解】解：以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设面的一个法向量为，
则，当，面的一个法向量为，
则到平面的距离.
故
14．【正确答案】
【分析】根据几何图形，应用向量加法、数乘的几何意义用，，表示出即可.
【详解】.
故答案为.
【方法总结】根据几何图形，应用向量加法、数乘的几何意义即可.
15．【正确答案】
【详解】解：设，，由，
，
又，
，又，
，
是以为直角顶点的等腰直角三角形，
，即，，
在中，，
，即，
.
故答案为.
16．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）

因平面，且,故可以点为坐标原点，
所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系(如图所示).
则.
于是，,
设平面的法向量为，
则，令，可得；
又，显然，，故得平面；
（2）由（1）建系，则，
设平面的法向量为，
则，令，可得.
设平面与平面所成夹角为，
因，
则.
即平面与平面所成夹角的正弦值为
17．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）设圆的方程为，
则，解得，
故圆的方程为；
（2）易知当直线的斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为1，等于半径，故满足题意；
当直线的斜率存在时，设，即，
则点到直线l的距离为圆的半径，
即，解得，此时.
综上，直线l的方程为或.
18．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）设公差为，由题设有，解得，，
所以.
（2）由题设，
.
所以数列的前21项和为211.
19．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）由长轴长和短轴长可得椭圆方程；
（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式即可求得m的值，则直线的方程可求.
【详解】（1）由已知长轴为，短轴长为4，
可得，，
则椭圆C的标准方程为：；
（2）依题意，
解得，
因为，可得，
且，
因为，
解得，
所以直线的方程为l：．
20．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由可得，即 ①，
又②，联立①，②解得，
故椭圆C的标准方程为：；
（2）因，由题知直线的斜率不为0，
故可设直线的方程为，代入中，
整理得：，显然，设，
则
因代入坐标得：，即得，
即代入① ，可得③；再将其代入②，可得④ ，
将③代入④ ，，化简得，解得，
因点D在x轴上方，故.
此时，直线的方程为.