2024-2025学年天津市河东区高二上学期12月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年天津市河东区高二上学期12月月考数学检测试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共9小题）
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．已知直线与平行，则的值是（ ）
A．B．C．D．或
3．在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知为等比数列{}的前 项和， 则（ ）
A．B．C．D．
5．直线 与椭圆 交于A、B两点， 点为A、B的中点， 则直线 的斜率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知点，，点C为圆上一点，则的面积的最大值为（ ）
A．12B．C．D．6
7．若为等差数列，为的前项和，，，则当（ ）时 取最大值.
A．B．C．D．
8．已知抛物线 的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．已知椭圆与双曲线有公共焦点，为右焦点，为坐标原点，双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限交于点，且满足，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共9小题）
10．过点的直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为 .
11．已知圆圆的公共弦长为 .
12．若是公比不为的等比数列，为的前项和，且、、成等差数列，则数列的公比为
13．直线l过点且被圆C：截得的弦长最短，则直线l的方程为 .
14．等差数列{}与{}的前项和分别为、，且 则
15．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一动点，点，则的最小值为 .
16．已知数列满足，则数列的前n项和
17．直线与曲线有两个不同交点，则的取值范围 .
18．在数列中，，且，则
三、解答题（本大题共4小题）
19．已知圆经过点和，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)过点作圆的切线，求直线的方程.
20．如图，ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，且.
(1)求证：平面DEC；
(2)求平面BEC与平面BEF夹角的余弦值；
(3)求点D到平面BEF的距离.
21．已知数列，，，为数列的前项和，且.
(1)令.
（i） 求证: 数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（ii） 求数列的前项和；
(2)设数列的前项和，对，恒成立，求实数的取值范围.
22．若椭圆的右焦点为，且椭圆过点，焦距是短半轴长的倍.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若一条不过原点的直线与椭圆相交于、两点，线段的垂直平分线与直线 及轴和轴分别交于点、、，点满足，线段的延长线与椭圆交于点，与的面积之比为，求直线斜率的取值范围.
答案
1．【正确答案】C
【分析】由直线得斜率，由斜率得倾斜角．
【详解】已知直线的斜率为，因此倾斜角为．
故选：C．
2．【正确答案】B
【详解】因为直线与平行，
则，解得，
故选：B.
3．【正确答案】D
【分析】连接,利用空间向量的基本定理求解即可.
【详解】连接，因为是线段的中点，所以
因为，所以
所以
故选D.
4．【正确答案】D
【详解】若公比，则这与矛盾，故公比不为1，
由可得，故，
又，故，
故选：D
5．【正确答案】A
【详解】设，，点是线段的中点，则，，
A、B两点代入椭圆方程作差，得，
所以，由题意知，直线的斜率存在，所以，
得.
故选：A.
6．【正确答案】D
【分析】先求解出直线的方程，然后将圆心到直线的距离再加上半径作为的高的最大值，由此求解出的面积的最大值.
【详解】因为，，所以，
又因为圆的方程为，所以圆心为，半径为，
所以圆上点到直线的最大距离为，
所以的面积的最大值为，
故选：D.
7．【正确答案】B
【详解】因为若为等差数列，为的前项和，则，
因为，则，故，
设等差数列的公差为，则，即数列为递减数列，
故当时，，当时，，
所以，当时，取最大值.
故选：B.
8．【正确答案】A
【详解】过作垂直抛物线的准线，垂足为，过作于点，
由于，则，故,进而，故.
故选：A

9．【正确答案】B
【详解】因为椭圆与双曲线有公共焦点，设Fc,0，
则, 则，直线的方程为，即，
点到直线的距离为，
设椭圆的左焦点为，连接，则，
在中，，
在中，由余弦定理可得,
所以，，解得，因此，椭圆的离心率为.
故选：B.
10．【正确答案】或
【详解】若直线过原点，设直线方程为，
将点的坐标代入直线方程可得，此时，直线方程为；
若直线不过原点，设所求直线方程为，即，
将点的坐标代入直线方程可得，此时，直线方程为，即.
综上所述，所求直线方程为或.
故或.
11．【正确答案】
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
两圆圆心距为，
所以，，所以，两圆相交，
将两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为，
圆心到直线的距离为，
故两圆公共弦长为.
故答案为.
12．【正确答案】
【详解】设等比数列的公比为，则，为的前项和，
因为、、成等差数列，则，即，
即，所以，，
因为，解得.
故答案为.
13．【正确答案】
【分析】当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点的连线垂直于弦，利用直线的点斜式方程即可得解.
【详解】由圆的方程知圆心，半径为，
当圆被直线截得的弦最短时，圆心与的连线垂直于弦，
由圆心与的连线斜率为，所以直线l的斜率为1，
直线l的方程为即.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】等差数列{}与{}的前项和分别为，
则.
故答案为.
15．【正确答案】
【详解】过点作抛物线的准线的垂线段，垂足点为，如下图所示：

易知，抛物线的焦点为F1,0，准线为，
由抛物线的定义可得，所以，，
当且仅当、、三点共线时，即当时，取最小值，且最小值为.
故答案为.
16．【正确答案】
【详解】由已知，
则，
所以，
故答案为.
17．【正确答案】
【详解】由可知，，变形可得，即，
所以，曲线表示圆的上半圆，
直线的方程可化为，则直线过定点，且斜率为，
如下图所示：

当直线与圆相切，且切点在第二象限时，，
由题意可得，解得；
当直线过点，则，解得.
由图可知，当时，直线与曲线有两个公共点.
故答案为.
18．【正确答案】
【详解】由，
则，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，
即，
所以，
当时，，
，
当时，满足上式，
综上所述，
故答案为.
19．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）设圆的方程为，
则，解得，
故圆的方程为
（2）由（1）知，圆心为，半径为，
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
由题意可得，解得，
此时，直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
20．【正确答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】(1)以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出，平面的一个法向量为，则由，即可证得平面DEC；
(2)分别求出平面与平面的一个法向量，则利用向量坐标运算，求得平面BEC与平面BEF夹角的余弦值；
(3)由平面的一个法向量为，，利用点到平面的距离公式即可求得点D到平面BEF的距离.
【详解】(1)

由已知，ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，
由平面ABCD，所以，又，
，平面，
所以平面，
以D为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
已知，
则，所以，
易知平面的一个法向量为，
得，又平面，
所以平面.
(2)由上坐标系可知，则，
设平面与平面的一个法向量分别为，
则有，，
取，则，即，
设平面与平面的夹角为，则.
(3)由(2)得平面的一个法向量为，
又，所以点D到平面的距离.
21．【正确答案】(1)（i）证明见解析，；（ii）
(2)
【详解】（1）（i）时，
，
所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，
故，故；
（ii）当时，，可得，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，即，
所以，数列为等比数列，且其首项为，公比为，则.
所以，，
，①
，②
①②得，
因此，.
（2）因为，
所以，
，
，恒成立，即，
所以，，
令，则，
由，即，解得，
因为，所以，，
故数列中，最大，所以，，
因此，实数的取值范围是.
22．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得，解得，
因此，椭圆的标准方程为.
（2）易知点，因为，则，
若直线的斜率不存在，则直线的垂直平分线为轴，不合乎题意，
若直线的斜率为零，则线段的垂直平分线为轴，不合乎题意，
设直线的方程为，其中，，设点Mx1,y1、Nx2,y2，
联立可得，
则，可得，
由韦达定理可得，则，
所以，线段的中点为，
所以，线段的垂直平分线所在直线的方程为，
即，故点，，
因为，，所以，为线段的中点，
，所以，，
设点，则，即，
所以，，即，即点，
将点的坐标代入椭圆方程可得，可得，
所以，，可得，
解得或.