2024-2025学年云南省玉溪市高二上学期12月月考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年云南省玉溪市高二上学期12月月考数学检测试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.若，则在复平面内对应的点在（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.已知，则（ ）
A.B.C.D.
4.将一个上底为2，下底为5，高为2的直角梯形绕着直角腰旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为（ ）
A.B.C.D.
5.“”是“直线与直线平行”的（ ）
A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
6.已知点，，，，则三棱锥的体积是（ ）
A.B.C.D.
7.如图，椭圆的左、右焦点分别为，，以线段，为边作等边三角形，的两边，分别交该椭圆于，两点.若，则该椭圆的离心率为（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（ ）
A.480B.320C.640D.1280
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知向量，满足，，则下列结论正确的有（ ）
A.B.若，则
C.在方向上的投影向量为D.若，则在的夹角为
10.若函数在上单调递减，则的值可能为（ ）
A.3B.9C.12D.15
11.已知双曲线的左、右顶点分别为，，点是双曲线上的点，直线，的倾斜角分别为，，则（ ）
A.双曲线的实轴长为16
B.当时，
C.的最小值为3
D.当取最小值时，的面积为16
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.抛物线的焦点坐标为__________，准线方程为___________.
13.小洪从某公司购进6袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋
白糖的质量（单位：g）为495，500，500，495，510，500，则这6袋白糖的平均质量为________g，这6袋白糖质量的标准差为_________g.
14.在四棱柱中，平面，，，，，其中，.若与底面所成角的正弦值为，则的最大值是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）锐角的内角，，的对边分别为，，.已知.
（1）求的值；
（2）若，的面积为，求的值.
16.（15分）如图，在直三棱柱中，，，为线段的中点.
（1）证明：平面.
（2）求平面与平面的夹角的大小.
17.（15分）某场知识答题活动的参赛规则如下：在规定时间内每位参赛选手对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立，每位选手作答的题均不相同.已知甲答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为；乙答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为.甲、乙每次作答正确与否相互独立.
（1）设.
①求甲答对一道题的概率；
②求甲、乙一共答对三道题的概率.
（2）求甲、乙一共答对三道题的概率的最小值.
18.（17分）在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角，利用公式，可得到点.现将双曲线绕原点按逆时针旋转得到双曲线.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）以双曲线的右顶点为圆心作半径为1的圆，直线与圆相交于，两点，求；
（3）在（2）的条件下，是圆上的动点，求面积的取值范围.
19.（17分）已知椭圆的焦距为4，点在上，直线与交于，两点.
（1）求的方程.
（2）若，求的最大值.
（3）若点与重合，过作斜率与互为相反数的直线，与的另一个交点为，试问直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
高二数学考答案
1.D 易得，，则.
2.A 由题意得，则在复平面内对应的点在第一象限.
3.B 由题意可得，则.
4.C 由题意可知该几何体是一个上底面半径为2，下底面半径为5，高为2的圆台，则该几何体的体积为.
5.A 若直线与直线平行，则，解得或.当时，直线与直线重合，不符合题意，舍去；当时，直线与直线平行，符合题意.故“”是“直线与直线平行”的充要条件.
6.B 易得，，，，则，所以的面积.设平面的法向量为，则取，所以点到平面的距离，则三棱锥的体积是.
7.D 连接，则，得.由，得，故该椭圆的离心率为.
8.C 因为为奇函数，所以，且.因为为偶函数，所以，则，所以，，所以，则16是的一个周期.因为，，，，，，，，故.
9.ABD 因为，所以，A正确.若，则，得，则，所以，B正确.在方向上的投影向量为，C错误.若，则，所以，故与的夹角为，D正确.
10.AB 由，得.因为在上单调递减，所以，得.
11.BCD 易得双曲线的实轴长为，A错误.由，得.因为，，所以，当时，，，B正确.因为，，所以，当且仅当，即，即，时，等号成立，此时的面积为，C，D正确.
12.； 抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为，准线方程为.
13.500；5 根据题意可得这6袋白糖的平均质量为，这6袋白糖质量的标准差为.
14.（或） 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，所以，，，，，则.易得是平面的一个法向量.
，即.
因为，，所以，当且仅当时，等号成立.令，则，解得或（舍去），则，故的最大值为.
15.解：（1）因为，所以.
又，所以.
因为为锐角三角形，所以，则，故，从而.
（2）由（1）可知，，
则的面积，则.
在中，由余弦定理得，则.
16.（1）证明：根据题意易得，则，，，得，，
所以，，
因为，平面，平面，所以平面.
（2）解：如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，.
由（1）易得平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，则
取，则，，即.
，
所以平面与平面的夹角为.
17.解：（1）①设，则，
则甲答对一道题的概率为.
②设，，，，则；
；，
，
故甲、乙一共答对三道题的概率为.
（2）由题知，.
设，
则，
当时，甲、乙一共答对三道题的概率最小，且最小值为.
18.解：（1）设曲线上任意一点绕原点按逆时针旋转后的坐标为，
则即
得，则，
所以双曲线的标准方程为.
（2）圆心到直线的距离，则.
（3）圆心到直线的距离，
点到直线距离的最大值为，最小值为，
所以面积的最大值为，最小值为.
故面积的取值范围为.
19.解：（1）依题意可得解得
故的方程为.
（2）依题意可得直线的方程为，设，.
联立可得，
则，，，，
由弦长公式可得，
当时，取得最大值，且最大值为.
（3）根据题意可得直线的方程为，设.
由得，
则，得，.
设直线的方程为，.
由得，
则，得，.
直线的斜率为.
故直线的斜率是定值，且定值为.