江苏省连云港市灌南县2024-2025学年高二上学期期中数学检测试卷（含解析）

这是一份江苏省连云港市灌南县2024-2025学年高二上学期期中数学检测试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）过点且倾斜角为90°的直线方程为（ ）
A．B．y＝﹣1C．D．y＝1
2．（5分）若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为（ ）
A．3B．C．2D．1
3．（5分）已知直线过点（1，2），且在x轴与y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（ ）
A．x﹣y+1＝0B．x+y﹣3＝0
C．2x﹣y＝0或x﹣y+1＝0D．2x﹣y＝0或x+y﹣3＝0
4．（5分）椭圆C：左右焦点分别为F1、F2，焦距为2，直线l经过F2交椭圆于A，B两点，若△ABF1的周长为12，则椭圆标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）已知动直线y＝kx﹣1+k（k∈R）与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0（圆心为C）交于点A、B，则弦AB最短时，△ABC的面积为（ ）
A．3B．6C．D．2
6．（5分）已知直线3x﹣4y+3＝0与直线6x+my﹣14＝0平行，则它们之间的距离是（ ）
A．B．2C．D．
7．（5分）已知m∈R，直线l1：mx+y+2m＝0与l2：x﹣my+2m＝0的交点P在圆C：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）上，则r的最大值是（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cs∠BAC＝﹣，AB⊥BD，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．直线x﹣y﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．点（0，2）关于直线y＝x+1的对称点为（1，1）
C．过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为＝
D．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0
（多选）10．（6分）若点O为原点，且圆O与圆C：x2+y2﹣6x+8y+16＝0没有公共点，则圆O的半径可以是（ ）
A．1B．3C．8D．9
（多选）11．（6分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣4，0），F2（4，0），过点F2的直线与双曲线E的右支交于P，Q两点，PF1与y轴相交于点A，△PAF2的内切圆与边AF2相切于点B．若|AB|＝2，则下列说法正确的有（ ）
A．双曲线E的渐近线方程为
B．若直线y＝kx+2与双曲线E有且仅有1个公共点，则k＝±2
C．|PQ|的最小值为12
D．△PF1F2的内切圆的圆心在定直线上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）请写出一个焦点在y轴，并与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程： ．
13．（5分）若直线y＝2x+b与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围为 ．
14．（5分）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，动点P（x1，y1），Q（x2，y2）均在椭圆上，O是坐标原点，记OP和OQ的斜率分别为k1，k2；△OBP与△OAQ的面积分别为S1，S2．若，则S1S2的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）平行四边形ABCD中，已知A（1，0），B（4，1），C（0，3）．
（1）求直线AD的方程；
（2）求△ABC中AC边上的高所在直线的方程．
16．（15分）已知圆C过两点A（﹣2，0），B（2，4）且圆心在直线2x﹣y﹣4＝0上．
（1）求该圆C的方程；
（2）求过点P（3，1）的直线被圆C截得弦长最大时的直线l的方程．
17．（15分）已知动点M与点F（2，0）的距离比其到直线x＝﹣3的距离小1．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）求点M与点A（6，0）的距离的最小值，并指出此时M的坐标．
18．（17分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，直线l过定点A（1，0）．
（1）若l与圆C相切，求l的方程；
（2）若l与圆C相交于P，Q两点，求△CPQ的面积的最大值，并求此时直线l的方程．（其中点C是圆的圆心）
19．（17分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）M，N为椭圆C上两个不同的点，且MA⊥NA，
①求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标；
②过A点作直线MN的垂线，垂足为D，求OD的最大值．
答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）过点且倾斜角为90°的直线方程为（ ）
A．B．y＝﹣1C．D．y＝1
【正确答案】C
【分析】由直线的方程形式直接可求．
解：因为直线的倾斜角为90°，
所以斜率不存在，直线与x轴垂直，
又直线过点，
所以直线方程为．
故选：C．
【点评】本题考查直线方程的求法，属于基础题．
2．（5分）若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为（ ）
A．3B．C．2D．1
【正确答案】B
【分析】求得点M的坐标，将点M到该抛物线焦点的距离转化为点M到抛物线y2＝2x的准线的距离即可．
解：设点M（，y），∵|MO|＝，
∴（﹣0）2+（y﹣0）2＝3，
∴y2＝2或y2＝﹣6（舍去），
∴x＝＝1．
∴M到抛物线y2＝2x的准线x＝﹣的距离d＝1﹣（﹣）＝．
∵点M到该抛物线焦点的距离等于点M到抛物线y2＝2x的准线的距离，
∴点M到该抛物线焦点的距离为：．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想与方程思想，求得点M的坐标是关键，属于中档题．
3．（5分）已知直线过点（1，2），且在x轴与y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（ ）
A．x﹣y+1＝0B．x+y﹣3＝0
C．2x﹣y＝0或x﹣y+1＝0D．2x﹣y＝0或x+y﹣3＝0
【正确答案】C
【分析】分截距是否为0两种情况分别求直线方程即可．
解：当截距为0时，直线方程过原点，又因为直线过点（1，2），则直线方程为y＝2x，即2x﹣y＝0；
当截距不为0时，可设直线方程为+＝1，将点A（1，2）代入直线方程可得+＝1，
可得a＝﹣1，所以直线方程为x﹣y+1＝0．
综上可得：直线方程为2x﹣y＝0或x﹣y+1＝0．
故选：C．
【点评】本题考查直线方程的求法及分类讨论的思想，属于基础题．
4．（5分）椭圆C：左右焦点分别为F1、F2，焦距为2，直线l经过F2交椭圆于A，B两点，若△ABF1的周长为12，则椭圆标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】D
【分析】由题意求得4a，2c，得到a，c的值，结合隐含条件求得b的值，则椭圆的标准方程可求．
解：由题意可知，4a＝12，a＝3，2c＝2，c＝1，
∴b2＝a2﹣c2＝8，
则椭圆的标准方程为：+＝1．
故选：D．
【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查椭圆的性质应用，属于基础题．
5．（5分）已知动直线y＝kx﹣1+k（k∈R）与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0（圆心为C）交于点A、B，则弦AB最短时，△ABC的面积为（ ）
A．3B．6C．D．2
【正确答案】D
【分析】根据题意，由圆的方程分析圆的圆心与半径，由动直线的方程分析可得该直线恒过点（﹣1，﹣1），设P（﹣1，﹣1）；进而分析可得点P在圆C的内部，据此分析可得P为AB的中点即CP与AB垂直时，弦AB最短；结合直线与圆的位置关系分析可得|AB|、|CP|的值，由三角形面积公式计算可得答案．
解：根据题意，圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0可化为（x﹣1）2+（y+2）2＝9，其圆心为（1，﹣2），半径r＝3；
动直线y＝kx﹣1+k，即y+1＝k（x+1），恒过点（﹣1，﹣1），设P（﹣1，﹣1）
又由（﹣1﹣1）2+（﹣1+2）2＜9，则点P（﹣1，﹣1）在圆C的内部，
动直线y＝kx﹣1+k（k∈R）与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0（圆心为C）交于点A、B，
当P为AB的中点即CP与AB垂直时，弦AB最短，此时|CP|＝，
弦AB的长度为2×＝4，
此时，△ABC的面积S＝×|CP|×|AB|＝×4×＝2；
故选：D．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线过定点的问题，属于基础题．
6．（5分）已知直线3x﹣4y+3＝0与直线6x+my﹣14＝0平行，则它们之间的距离是（ ）
A．B．2C．D．
【正确答案】B
【分析】由已知结合直线平行条件先求出m，然后结合两平行线间的距离公式可求．
解：若直线3x﹣4y+3＝0与直线6x+my﹣14＝0平行，
则3m＝﹣4×6＝﹣24，
所以m＝﹣8，此时直线6x﹣8y﹣14＝0即为3x﹣4y﹣7＝0，
所以两直线之间的距离d＝＝2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了两直线平行条件的应用及平行线间的距离公式，属于基础题．
7．（5分）已知m∈R，直线l1：mx+y+2m＝0与l2：x﹣my+2m＝0的交点P在圆C：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）上，则r的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】A
【分析】求得点P的轨迹方程，由题意可得，可求r的取值范围，进而可求最大值．
解：由直线l1，l2的方程知直线l1过定点A（﹣2，0），
直线l2过定点B（0，2），又m×1+1×（﹣m）＝0，所以l1⊥l2，即AP⊥BP，
所以点P在以AB为直径的圆D上，即P在圆D：（x+1）2+（y﹣1）2＝2上，
又P在圆C上，所以圆C与圆D有交点，
即，又，
所以，即r的取值范围是．
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，属中档题．
8．（5分）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cs∠BAC＝﹣，AB⊥BD，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】B
【分析】设|AF2|＝m，|BF2|＝n，由双曲线的定义可得|AF1|，|BF1|，在直角三角形AF1B中，在△AF1F2中，运用锐角三角函数的定义、勾股定理和余弦定理，化简整理，结合离心率公式，可得所求值．
解：设|AF2|＝m，|BF2|＝n，
由双曲线的定义可得|AF1|＝2a+m，|BF1|＝2a+n，
由cs∠BAC＝﹣可得cs∠F1AF2＝，
在直角三角形AF1B中，sin∠F1AF2＝＝，①
（2a+n）2+（m+n）2＝（2a+m）2，②
在△AF1F2中，可得4c2＝m2+（2a+m）2﹣2m（2a+m）•③
由①②可得n＝a，m＝3a，
代入③可得4c2＝9a2+25a2﹣6a•5a•，
即为4c2＝10a2，
则e＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的定义和性质，以及三角形的勾股定理和余弦定理的运用，考查方程思想和化简变形能力，属于中档题．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．直线x﹣y﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．点（0，2）关于直线y＝x+1的对称点为（1，1）
C．过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为＝
D．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0
【正确答案】AB
【分析】求出截距得到三角形的面积判断A的正误；利用对称知识判断B的正误；直线的两点式方程判断C 的正误，利用截距相等判断D 的正误．
解：直线x﹣y﹣2＝0在两坐标轴上的截距分别为：2，﹣2，与坐标轴围成的三角形的面积是：2＝2，所以A正确；
点（0，2）与（1，1）的中点坐标满足直线方程y＝x+1，并且两点的斜率为：﹣1，所以点（0，2）关于直线y＝x+1的对称点为（1，1），所以B正确；
当x1≠x2，y1≠y2时，过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为，所以C不正确；
经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0或y＝x，所以D不正确；
故选：AB．
【点评】本题考查命题的真假的判断直线方程的求法、对称知识以及直线的截距的应用，是易错题．
（多选）10．（6分）若点O为原点，且圆O与圆C：x2+y2﹣6x+8y+16＝0没有公共点，则圆O的半径可以是（ ）
A．1B．3C．8D．9
【正确答案】AD
【分析】判断点O与圆C的位置，再利用两圆相离列出不等式求解即得．
解：由C：x2+y2﹣6x+8y+16＝0得（x﹣3）2+（y+4）2＝9的圆心C（3，﹣4），半径r＝3，
又|OC|＝5，显然点O在圆C外，由于圆O与圆C无公共点，
则圆O与圆C可以外离，也可以内含，且圆C在圆O内，
设圆O的半径为R，于是R+r＜|OC或R﹣r＞|OC|，即R+3＜5或R﹣3＞5，
解得0＜R＜2或R＞8，所以圆O的半径可以是1或9，即AD满足，BC不满足．
故选：AD．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，属于基础题．
（多选）11．（6分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣4，0），F2（4，0），过点F2的直线与双曲线E的右支交于P，Q两点，PF1与y轴相交于点A，△PAF2的内切圆与边AF2相切于点B．若|AB|＝2，则下列说法正确的有（ ）
A．双曲线E的渐近线方程为
B．若直线y＝kx+2与双曲线E有且仅有1个公共点，则k＝±2
C．|PQ|的最小值为12
D．△PF1F2的内切圆的圆心在定直线上
【正确答案】ACD
【分析】利用切线长定理可求得a，从而可求双曲线的方程，进而求得渐近线方程判断A；联立直线与双曲线方程，可求得k判断B；求得通径长可判断C；利用切张长定理可求得△PF1F2的内切圆的圆心在定直线x＝a上判断D．
解：作出示意图，如图1，
由切线长定理可知|PM|＝|PN|，|F2B|＝|F2N|，|AM|＝|AB|，|AF1|＝|AF2|，
由双曲线的两焦点为F1，F2，过点F2的直线与双曲线E的右支交于P，
所以|PF1|﹣|PF2|＝|PM|+|AM|+|AF1|﹣（|PN|+|F2N|）＝|AM|+|AF1|﹣|F2N|＝|AB|+|AF2|﹣|F2B|＝2|AB|＝4，
所以a＝2，c＝4，b＝＝2，
则双曲线E的方程为，
对于A：双曲线E的渐近线方程为，故A正确．
对于B：由，消去y并化简得（3﹣k2）x2﹣4kx﹣16＝0，（*）
注意到当3﹣k2＝0，k＝±时，方程（*）有唯一解，
此时直线y＝kx+2与双曲线E有且仅有一个公共点，故B错误．
对于C：当PQ垂直于x轴时，|PQ|最短且最小值为，故C正确．
对于D：如图2，
设△PF1F2的内切圆圆心为O1，半径为r1，
设PF1，PF2，F1F2与圆O1分别相切于点R，S，T，
由切线长定理得|PF1|﹣|PF2|＝|PR|+|RF1|﹣（|PS|+|SF2|）＝|PR|+|TF1|﹣（|PR|+|TF2|）＝|TF1|﹣|TF2|＝2a，
而|TF1|+|TF2|＝2c，两式相加得|TF1|＝a+c，所以T（a，0）是双曲线E的右顶点，
所以O1T⊥x轴，则圆心O1在直线x＝a上，故选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查转化思想，考查运算求解能力，属中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）请写出一个焦点在y轴，并与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程： （答案不唯一） ．
【正确答案】（答案不唯一）．
【分析】根据已知条件，结合双曲线的性质，即可求解．
解：双曲线的渐近线方程为y＝±，
所求双曲线的焦点在y轴上，
则，不妨取a＝3，b＝4，
故所求双曲线的方程为（答案不唯一）．
故（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．
13．（5分）若直线y＝2x+b与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围为 {﹣}∪（﹣1，1] ．
【正确答案】{﹣}∪（﹣1，1]．
【分析】作出图形，求出半圆的切线，从而得出b的范围．
解：曲线表示单位圆的右半圆，
设直线y＝2x+b与半圆相切，
则，解得b＝（舍）或b＝﹣，
∵直线y＝2x+b与曲线恰有一个公共点，结合图形，
∴b∈{﹣}∪（﹣1，1]．
故{﹣}∪（﹣1，1]．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
14．（5分）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，动点P（x1，y1），Q（x2，y2）均在椭圆上，O是坐标原点，记OP和OQ的斜率分别为k1，k2；△OBP与△OAQ的面积分别为S1，S2．若，则S1S2的最大值为 ．
【正确答案】．
【分析】由题意可得A，B的坐标，设P在第一象限，Q在第二象限，设直线OP的方程，与椭圆的方程联立，可得P的纵坐标，同理可得Q的纵坐标，求出S1S2的表达式，由基本不等式的性质，可得S1S2的最大值，再由椭圆的对称性，可得满足条件的S1S2的最大值不变．
解：由椭圆的方程可得A（﹣2，0），B（2，0），
假设P在第一象限，Q在第二象限，
设直线OP的方程为y＝kx，（k＝k1）k＞0，代入椭圆的方程，可得+k2x2＝1，
可得xP＝，yP＝，即P，
因为直线OP，OQ的斜率，
则直线OQ的方程为y＝﹣x，代入椭圆的方程，可得+＝1，
解得xQ＝﹣，yQ＝，即Q（﹣，），
则S1S2＝|OB|•yP•|OA|•yQ|＝yP•yQ＝＝，
因为k2+≥2＝4，当且仅当k2＝2时，即k＝时取等号，
所以S1S2≤＝．
即S1S2的最大值为．
由椭圆及直线的对称性，满足条件时的S1S2的最大值为．
故．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查计算能力和转化思想的应用，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）平行四边形ABCD中，已知A（1，0），B（4，1），C（0，3）．
（1）求直线AD的方程；
（2）求△ABC中AC边上的高所在直线的方程．
【正确答案】（1）x+2y﹣1＝0；
（2）x﹣3y﹣1＝0．
【分析】（1）由题意可得＝，设D（x，y），可得x，y的值，即求出点D的坐标，再求出直线AD的斜率，再由点斜式方程，可得直线AD的方程；
（2）求出的坐标，由点法式方程，可得AC边上的高所在的直线方程．
解：（1）A（1，0），B（4，1），C（0，3），
平行四边形ABCD中，可得＝，设D（x，y），
则＝（x﹣1，y），＝（﹣4，2），
所以，解得x＝﹣3，y＝2，
即D（﹣3，2），所以kAD＝＝﹣，
所以直线AD的方程为：y﹣0＝﹣（x﹣1），
即x+2y﹣1＝0；
（2）因为＝（﹣1，3），所以边AC上的高所在的直线方程为：﹣（x﹣4）+3（y﹣1）＝0，
即x﹣3y﹣1＝0．
【点评】本题考查用向量的方法求平行四边形的第四个顶点的坐标及两条直线垂直的充要条件的应用，属于基础题．
16．（15分）已知圆C过两点A（﹣2，0），B（2，4）且圆心在直线2x﹣y﹣4＝0上．
（1）求该圆C的方程；
（2）求过点P（3，1）的直线被圆C截得弦长最大时的直线l的方程．
【正确答案】（1）圆C的方程为（x﹣2）2+y2＝16；
（2）直线l的方程为x﹣y﹣2＝0．
【分析】（1）求出AB的垂直平分线方程，与已知直线方程联立求得圆心坐标，进一步求得半径，则圆的方程可求；
（2）求出PC所在直线当斜率，由直线方程点斜式得答案．
解：（1）∵A（﹣2，0），B（2，4），∴，
由AB的中点坐标为（0，2），∴AB的垂直平分线方程为y＝﹣x+2，
联立，解得，则圆心C（2，0），且r＝4．
∴圆C的方程为（x﹣2）2+y2＝16；
（2）∵直线被圆截得的弦长最大时的直线过圆心，∴直线l过C，
又直线l过点P（3，1），∴，
∴直线l的方程为y﹣1＝1×（x﹣3），即x﹣y﹣2＝0．
【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．
17．（15分）已知动点M与点F（2，0）的距离比其到直线x＝﹣3的距离小1．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）求点M与点A（6，0）的距离的最小值，并指出此时M的坐标．
【正确答案】（1）y2＝8x；
（2）最小值为或M（2，﹣4）．
【分析】（1）利用抛物线的定义得解；
（2）设，求出即得解．
解：（1）由题意知动点M到F（2，0）的距离与它到x＝﹣3的距离小1即与到直线x＝﹣2的距离相等，
所以动点M的轨迹为以F（2，0）为焦点、以直线x＝﹣2为准线的抛物线，
因此动点M的轨迹方程为y2＝8x；
（2）设，
由两点间的距离公式得：，
当m2＝16，即m＝±4时，，
即当M（2，4）或M（2，﹣4）时，点M与点A的距离最小，最小值为．
【点评】本题考查了动点轨迹方程的计算，属于中档题．
18．（17分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，直线l过定点A（1，0）．
（1）若l与圆C相切，求l的方程；
（2）若l与圆C相交于P，Q两点，求△CPQ的面积的最大值，并求此时直线l的方程．（其中点C是圆的圆心）
【正确答案】见试题解答内容
【分析】（1）直线l无斜率时，直线l的方程为x＝1，成立；直线l有斜率时，设方程为kx﹣y﹣k＝0，由圆心到直线的距离等于半径，能求出直线l的方程．
（2）△CPQ面积最大时，△CPQ是等腰直角三角形，此时圆心到直线的距离为，设直线l的方程为kx﹣y﹣k＝0，由此能求出直线l的方程．
解：（1）直线l无斜率时，直线l的方程为x＝1，
此时直线l和圆C相切．
直线l有斜率时，设方程为y＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k＝0，
∵l与圆C相切，∴圆心到直线的距离等于半径，
即，
解得k＝，∴直线l的方程为
（2）△CPQ面积最大时，∠PCQ＝90°，，
即△CPQ是等腰直角三角形，
由半径r＝2得：圆心到直线的距离为
设直线l的方程为：y＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k＝0，
则，∴k＝7或k＝1，
∴直线l的方程为：y＝7x﹣7，y＝x﹣1．
【点评】本题考查直线方程的求法、直线与椭圆位置关系，本题突出对运算能力、化归转化能力的考查，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．
19．（17分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）M，N为椭圆C上两个不同的点，且MA⊥NA，
①求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标；
②过A点作直线MN的垂线，垂足为D，求OD的最大值．
【正确答案】（1）＝1．
（2）①证明过程见解答；
②．
【分析】（1）根据离心率和a，b，c关系列方程，能求出结果；
（2）①先考虑斜率不存在的情况，再采用设线法，设lMN：y＝kx+m，再将其与椭圆方程联立，得到韦达定理，代入向量表达式化简，能求出结果；
②根据①中结论得到D在以AQ为直径的圆上，由此能求出OD的最大值．
解：（1）由题意知e＝＝，∴＝1﹣e2＝，即a2＝2b2，
∵椭圆过点A（2，1），
∴+＝1，解得b2＝3，a2＝6，
∴椭圆C的方程为＝1．
（2）①证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），
∵MA⊥NA，∴＝0，
∴（2﹣x1）（2﹣x2）+（1﹣y1）（1﹣y2）＝0，
（i）证明：当直线MN斜率不存在时，设lMN：x＝t（t≠2），
联立，得，
∴y1+y2＝0，y1y2＝﹣3，
∴由题意得（t﹣2）2+﹣3+1＝0，
解得t＝2（舍）或t＝，此时lMN：x＝．
（ii）当直线MN斜率存在时，设lMN：y＝kx+m，
联立，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，
∴Δ＝8（6k2﹣m2+3）＞0，
x1+x2＝﹣，x1x2＝（*），
∵（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）＝0，
∴（x1﹣2）（x2﹣2）+（kx1+m﹣1）（kx2+m﹣1）＝0，
整理得（k2+1）x1x2+[k（m﹣1）﹣2]（x1+x2）+m2﹣2m+5＝0，
将（*）代入整理得4k2+8km+3m2﹣2m﹣1＝0，
∴2k+m﹣1＝0或2k+3m+1＝0，
当2k+3m﹣1＝0时，lMN：y＝kx+1﹣2k＝k（x﹣2）+1，lMN过点A，不成立；
当2k+3m+1＝0时，lMN：y＝kx+1+＝k（x﹣）+，
∴lMN过定点Q（，﹣），
综上，lMN过定点Q（，﹣）；
②∵AD⊥MN，lMN过定点Q（，﹣），
∴AD⊥QD，∴D在以AQ为直径的圆上，
圆心为AQ的中点P（，﹣），
∴AD⊥QD，∴D在以AQ为直径的圆上，
圆心为AQ的中点P（），半径r＝＝，
∴|OD|max＝|OP|+r＝+＝．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系、韦达定理、圆的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．