2023-2024学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3 分）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A． B． C．D．
2．（3 分）已知⊙O 半径为 10cm，圆心 O 到点 A 的距离为 10cm，则点 A 与⊙O 的位置关系是（）
A．相切B．圆外C．圆上D．圆内3．（3 分）下列事件属于必然事件的是（）
A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中B．掷一次骰子，向上一面的点数是 6
C．任意画一个三角形，其内角和是 180° D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
4．（3 分）如图，在⊙O 中，弦 AB，CD 相交于点 P，若∠A＝60°，∠APD＝80°，则∠B 等于（）
A．30°B．35°C．40°D．45°
5．（3 分）如图，AB，AC 分别切⊙O 于 B，C 两点，若∠OBC＝26°，则∠A 的度数为（）
A．32°B．52°C．64°D．72°
6．（3 分）将抛物线 y＝3x2 先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到的抛物线的解析式是（）
A．y＝3（x﹣1）2+2B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x﹣1）2﹣2D．y＝3（x+1）2+2
2
7．（3 分）设 x1，x2 是一元二次方程 x2﹣2x﹣3＝0 的两根，则 x12+x 2＝（ ）
A．2B．﹣2C．﹣1D．10
8．（3 分）若点 A（﹣1，a），B（1，b），C（2，c）在反比例函数 y＝（k 为常数）的图象上，则 a， b，c 的大小关系是（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b
9．（3 分）如图，将边长为 1 的正方形 OAPB 沿 x 轴正方向边连续翻转 2023 次，点 P 依次落在点 P1，P2， P3，…，P2023 的位置，则 P2023 的横坐标 x2023 为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．不能确定
10．（3 分）如图，已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于点 A（﹣1，0），与 y 轴的交点 B
在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线 x＝1．下列结论：
①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a
④ ＜a＜ ⑤b＞c． 其中含所有正确结论的选项是（）
A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）
11．（3 分）点 P（2，﹣3）关于原点对称的点 P1 的坐标为 ．
12．（3 分）一元二次方程 x2+6x＝3x+2 化成一般式为： ．
13．（3 分）不透明的袋子中装有 8 个球，除颜色外无其他差别．每次把球充分搅匀后，随机摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定于 0.25，则袋子中白球的个数约是．
14．（3 分）圆锥的底面半径为 5cm，高为 12cm，则圆锥的侧面积是 ．
15．（3 分）点 A 是反比例函数 y＝（k＞0）上的点，过点 A 作 AB⊥x 轴，垂足为 B，若△AOB 的面积为
8，则一元二次方程 x2﹣4x+k＝0 的根的情况为．
16．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4cm，动点 E、F 分别从点 A、C 同时出发，以相同的速度分别沿 AB、CD 向终点 B、D 移动，当点 E 到达点 B 时，运动停止，过点 B 作直线 EF 的垂线 BG，垂足为点 G，连接 AG，则 AG 长的最小值为cm．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4 分）解方程：x2﹣4x＝5．
18．（4 分）如图，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△EDC．若点 A、D、E 在同一条直线上，且∠ACB
＝20°，求∠CAE 及∠B 的度数．
19．（6 分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式．
若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是；
在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式 进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）．
20．（6 分）如图，在▱OABC 中，点 O 为坐标顶点，点 A（3，0），C（1，2），反比例函数 y＝（k≠0）的图象经过定 C．
求 k 的值及直线 OB 的函数表达式；
试探究此反比例函数的图象是否经过▱OABC 的中心．
21．（8 分）对于抛物线 y＝x2﹣4x+3．
它与 x 轴交点的坐标为，与 y 轴交点的坐标为，顶点坐标为；
在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
结合图象直接回答：当 0＜x＜3 时，则 y 的取值范围是．
x
…
…
y
…
…
22．（10 分）如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，D 是边 AC 上的一点，连接 BD，使∠A＝2∠1，E 是 BC
上的一点，以 BE 为直径的⊙O 经过点 D．
求证：AC 是⊙O 的切线；
若∠A＝60°，⊙O 的半径为 2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
23．（10 分）由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包
10 元涨到了每包 16.9 元．
求出这两次价格上调的平均增长率；
在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包 10 元，而且调查发现，定价为每包 10 元时，
一天可以卖出 30 包，每降价 1 元，可以多卖出 5 包．当销售额为 315 元时，且让顾客获得更大的优惠， 应该降价多少元？
24．（12 分）如图，直线 y＝x﹣3 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、点 C，经过 B、C 两点的抛物线 y＝﹣x2+mx+n
与 x 轴的另一个交点为 A，顶点为 P．
求 3m+n 的值；
在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使以 C，P，Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
将该抛物线在 x 轴上方的部分沿 x 轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象 x 轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线 y＝x+b 与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求 b 的值．
25．（12 分）如图，P 是正方形 ABCD 中一动点，连接 PA，PB，PC．
如图 1，若 BC＝PB，∠CBP＝30°，求∠APC 的度数；
如图 2，当∠APC＝135°时，求证：CD＝PB；
如图 3，在（2）的条件下，若正方形 ABCD 的边长为 8，Q 为 BC 上一点，CQ＝2，连接 AQ，PQ， 求△APQ 面积的最大值．
2023-2024 学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3 分）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A． B．
C． D．
【解答】解：A 选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B 选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C 选项选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D 选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A．
2．（3 分）已知⊙O 半径为 10cm，圆心 O 到点 A 的距离为 10cm，则点 A 与⊙O 的位置关系是（）
A．相切B．圆外C．圆上D．圆内
【解答】解：∵⊙O 的半径为 10cm，点 A 到圆心 O 的距离为 10cm，
∴d＝r，
∴点 A 与⊙O 的位置关系是：点 A 在圆上， 故选：C．
3．（3 分）下列事件属于必然事件的是（） A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中B．掷一次骰子，向上一面的点数是 6
C．任意画一个三角形，其内角和是 180° D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
【解答】解：A、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件．
B、掷一次骰子，向上一面的点数是 6，是随机事件．
C、任意画一个三角形，其内角和是 180°，是必然事件． D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件． 故选：C．
4．（3 分）如图，在⊙O 中，弦 AB，CD 相交于点 P，若∠A＝60°，∠APD＝80°，则∠B 等于（）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【解答】解：∵∠A＝60°，
∴∠C＝∠A＝60°，
∵∠APD＝80°，
∴∠BPC＝80°，
∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣80°＝40°． 故选：C．
5．（3 分）如图，AB，AC 分别切⊙O 于 B，C 两点，若∠OBC＝26°，则∠A 的度数为（）
A．32°B．52°C．64°D．72°
【解答】解：∵AB，AC 分别切⊙O 于 B，C 两点，
∴AB＝AC，OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
∵∠OBC＝26°，
∴∠ABC＝90°﹣26°＝64°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝64°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝52°．
故选：B．
6．（3 分）将抛物线 y＝3x2 先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到的抛物线的解析式是（）
A．y＝3（x﹣1）2+2B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x﹣1）2﹣2D．y＝3（x+1）2+2
【解答】解：∵抛物线 y＝3x2 的对称轴为直线 x＝0，顶点坐标为（0，0），
∴抛物线 y＝3x2 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到的抛物线的对称轴为直线 x＝1，顶点坐标为（1，2），
∴平移后抛物线的解析式为 y＝3（x﹣1）2+2． 故选：A．
2
7．（3 分）设 x1，x2 是一元二次方程 x2﹣2x﹣3＝0 的两根，则 x12+x 2＝（）
A．2B．﹣2C．﹣1D．10
【解答】解：根据根与系数的关系可得 x1+x2＝2，x1x2＝﹣3， 所以 x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4﹣2×（﹣3）＝10．
故选：D．
8．（3 分）若点 A（﹣1，a），B（1，b），C（2，c）在反比例函数 y＝（k 为常数）的图象上，则 a， b，c 的大小关系是（）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b
【解答】解：∵k2+3＞0，
∴反比例函数 y＝（k 为常数）的图象位于一三象限，且在每个象限内，y 随 x 的增大而减小，
∴点 A（﹣1，a）在第三象限，B（1，b），C（2，c）在第一象限，
∴a＜0，b＞c＞0，
∴a＜c＜b， 故选：D．
9．（3 分）如图，将边长为 1 的正方形 OAPB 沿 x 轴正方向边连续翻转 2023 次，点 P 依次落在点 P1，P2， P3，…，P2023 的位置，则 P2023 的横坐标 x2023 为（）
A．2021B．2022C．2023D．不能确定
【解答】解：从 P 到 P4 要翻转 4 次，横坐标刚好加 4，
∵2023÷4＝505……3，
∴505×4﹣1＝2019，
还要再翻三次，即完成从 P 到 P3 的过程，横坐标加 3， 则 P2023 的横坐标 x2023＝2022．
故选：B．
10．（3 分）如图，已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于点 A（﹣1，0），与 y 轴的交点 B
在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线 x＝1．下列结论：
①abc＞0
②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b2＜8a
④ ＜a＜
⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（）
A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤
【解答】解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在 y 轴右侧
∴ab 异号，
∵抛物线与 y 轴交点在 y 轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0， 故①正确；
②∵图象与 x 轴交于点 A（﹣1，0），对称轴为直线 x＝1，
∴图象与 x 轴的另一个交点为（3，0），
∴当 x＝2 时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0， 故②错误；
③∵图象与 x 轴交于点 A（﹣1，0），
∴当 x＝﹣1 时，y＝（﹣1）2a+b×（﹣1）+c＝0，
∴a﹣b+c＝0，即 a＝b﹣c，c＝b﹣a，
∵对称轴为直线 x＝1
∴ ＝1，即 b＝﹣2a，
∴c＝b﹣a＝（﹣2a）﹣a＝﹣3a，
∴4ac﹣b2＝4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2＝﹣16a2＜0
∵8a＞0
∴4ac﹣b2＜8a 故③正确
④∵图象与 y 轴的交点 B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴ ＞a＞ ； 故④正确
⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即 b＞c； 故⑤正确；
故选：D．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）
11．（3 分）点 P（2，﹣3）关于原点对称的点 P1 的坐标为 （﹣2，3） ．
【解答】解：点 P（2，﹣3）关于原点对称的点 P′的坐标是（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．
12．（3 分）一元二次方程 x2+6x＝3x+2 化成一般式为： x2+3x﹣2＝0．
【解答】解：x2+6x＝3x+2，
移项，得 x2+6x﹣3x﹣2＝0， 合并同类项，得 x2+3x﹣2＝0，
即把一元二次方程 x2＝4x﹣6 化成一般式是：x2+3x﹣2＝0， 故答案为：x2+3x﹣2＝0．
13．（3 分）不透明的袋子中装有 8 个球，除颜色外无其他差别．每次把球充分搅匀后，随机摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定于 0.25，则袋子中白球的个数约是 2
个 ．
【解答】解：根据题意，袋子中白球的个数约是 8×0.25＝2（个），故答案为：2 个．
14．（3 分）圆锥的底面半径为 5cm，高为 12cm，则圆锥的侧面积是65π cm2．
【解答】解：∵圆锥的底面半径为 5cm，高为 12cm，
∴圆锥的母线长＝＝13（cm），
∴圆锥的侧面积＝×2π×5×13＝65π（cm2），故答案为：65π cm2．
15．（3 分）点 A 是反比例函数 y＝（k＞0）上的点，过点 A 作 AB⊥x 轴，垂足为 B，若△AOB 的面积为
8，则一元二次方程 x2﹣4x+k＝0 的根的情况为 无实数根 ．
【解答】解：根据题意得 S△AOB＝|k|＝8，
∵k＞0，
∴k＝16，
∴一元二次方程 x2﹣4x+k＝0 为：一元二次方程 x2﹣4x+16＝0，
∵Δ＝16﹣64＜0，
∴方程 x2﹣4x+k＝0 无实数根， 故答案为：无实数根．
16．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4cm，动点 E、F 分别从点 A、C 同时出发，以相同的速度分别沿 AB、CD 向终点 B、D 移动，当点 E 到达点 B 时，运动停止，过点 B 作直线 EF 的垂线 BG，垂足为点 G，连接 AG，则 AG 长的最小值为cm．
【解答】解：设正方形的中心为 O，可证 EF 经过 O 点．
连接 OB，取 OB 中点 M，连接 MA，MG，则 MA，MG 为定长，
∴MA＝，MG＝ OB＝，AG≥AM﹣MG＝， 当 A，M，G 三点共线时，AG 最小＝（）cm，
故答案为：（）．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4 分）解方程：x2﹣4x＝5．
【解答】解：∵x2﹣4x＝5
∴x2﹣4x﹣5＝0
∴（x﹣5）（x+1）＝0
∴x﹣5＝0，x+1＝0
∴原方程的解为：x1＝5，x2＝﹣1．
18．（4 分）如图，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△EDC．若点 A、D、E 在同一条直线上，且∠ACB
＝20°，求∠CAE 及∠B 的度数．
【解答】解：根据旋转的性质可知 CA＝CE，且∠ACE＝90°， 所以△ACE 是等腰直角三角形．
所以∠CAE＝45°；
根据旋转的性质可得∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝20°．
∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°．
∴∠EDC＝45°+70°＝115°．
所以∠B＝∠EDC＝115°．
19．（6 分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式．
若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是；
在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式 进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）．
【解答】解：（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”支付方式的概率为，
故答案为 ；
（2）树状图如图，由树状图可知，共有 9 种等可能结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有 3 种， 故 P（两人恰好选择同一种支付方式）为．
20．（6 分）如图，在▱OABC 中，点 O 为坐标顶点，点 A（3，0），C（1，2），反比例函数 y＝（k≠0）的图象经过定 C．
求 k 的值及直线 OB 的函数表达式；
试探究此反比例函数的图象是否经过▱OABC 的中心．
【解答】解：（1）将点 C（1，2）代入反比例函数 y＝ ，
得 k＝2，
∵A（3，0），
∴OA＝3，
在▱OABC 中，OA∥BC，且 OA＝BC，
∴点 B 坐标是（4，2），
设直线 OB 的解析式：y＝kx， 代入 B（4，2），
得 4k＝2，
解得 k＝，
∴直线 OB 解析式是：y＝x；
（2）∵▱OABC 的中心就是 OB 中点，且 OB 的中点坐标（2，1），
∴将 x＝2 代入， 可得 y＝1，
∴反比例函数的图象经过▱OABC 的中心．
21．（8 分）对于抛物线 y＝x2﹣4x+3．
它与 x 轴交点的坐标为 （1，0），（3，0） ，与 y 轴交点的坐标为 （0，3） ，顶点坐标为 （2，﹣1） ；
在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
结合图象直接回答：当 0＜x＜3 时，则 y 的取值范围是 ﹣1≤y＜3．
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
﹣1
0
3
…
【解答】解：（1）当 y＝0 时，x2﹣4x+3＝0，解得 x1＝1，x2＝3，则抛物线与 x 轴的交点坐标为（1，0），
（3，0）；
当 x＝0 时，y＝x2﹣4x+3＝3，则抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，3），
∵y＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
故答案为：（1，0），（3，0），（0，3），（2，﹣1）；
列表：
描点、连线，如图，
由（2）中的函数图象知，当 0＜x＜3 时，则 y 的取值范围是﹣1≤y＜3． 故答案为：﹣1≤y＜3．
22．（10 分）如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，D 是边 AC 上的一点，连接 BD，使∠A＝2∠1，E 是 BC
上的一点，以 BE 为直径的⊙O 经过点 D．
求证：AC 是⊙O 的切线；
若∠A＝60°，⊙O 的半径为 2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
【解答】（1）证明：连接 OD，
∵OD＝OB，
∴∠1＝∠ODB，
∴∠DOC＝∠1+∠ODB＝2∠1， 而∠A＝2∠1，
∴∠DOC＝∠A，
∵∠A+∠C＝90°，
∴∠DOC+∠C＝90°，
∴OD⊥DC，
∴AC 是⊙O 的切线；
（2）解：∵∠A＝60°，
∴∠C＝30°，∠DOC＝60°， 在 Rt△DOC 中，OD＝2，
∴CD＝ OD＝2 ，
∴阴影部分的面积＝S△COD﹣S 扇形DOE
＝ ×2×2﹣
＝2﹣ ．
23．（10 分）由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包
10 元涨到了每包 16.9 元．
求出这两次价格上调的平均增长率；
在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包 10 元，而且调查发现，定价为每包 10 元时，
一天可以卖出 30 包，每降价 1 元，可以多卖出 5 包．当销售额为 315 元时，且让顾客获得更大的优惠， 应该降价多少元？
【解答】解：（1）设这两次价格上调的平均增长率为 x，依题意得：10（1+x）2＝16.9，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）．答：这两次价格上调的平均增长率为 30%．
（2）设每包应该降价 m 元，则每包的售价为（10﹣m）元，每天可售出（30+5m）包， 依题意得：（10﹣m）（30+5m）＝315，
整理得：m2﹣4m+3＝0， 解得：m1＝1，m2＝3．
又∵要让顾客获得更大的优惠，
∴m 的值为 3．
答：每包应该降价 3 元．
24．（12 分）如图，直线 y＝x﹣3 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、点 C，经过 B、C 两点的抛物线 y＝﹣x2+mx+n
与 x 轴的另一个交点为 A，顶点为 P．
求 3m+n 的值；
在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使以 C，P，Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
将该抛物线在 x 轴上方的部分沿 x 轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象 x 轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线 y＝x+b 与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求 b 的值．
【解答】解：（1）直线 y＝x﹣3，令 y＝0，则 x＝3，令 x＝0，则 y＝﹣3，故点 B、C 的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），
将点 B、C 的坐标分别代入抛物线表达式得：，解得： ，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，则点 A 坐标为（1，0），顶点 P 的坐标为（2，1），
3m+n＝12﹣3＝9；
①当 CP＝CQ 时，C 点纵坐标与 PQ 中点的纵坐标相同， 故此时 Q 点坐标为（2，﹣7）；
②当 CP＝PQ 时，
可得：点 Q 的坐标为（2，1﹣2）或（2，1+2）；
③当 CQ＝PQ 时，
可得：过该中点与 CP 垂直的直线方程为：y＝﹣x﹣ ， 当 x＝2 时，y＝﹣，即点 Q 的坐标为（2，﹣）；
故：点 Q 的坐标为（2，1﹣2）或（2，1+2）或（2，﹣）或（2，﹣7）；
图象翻折后的点 P 对应点 P′的坐标为（2，﹣1），
①在如图所示的位置时，直线 y＝x+b 与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点， 此时直线 BC 和抛物线的交点有 3 个，b＝﹣3；
②当直线 y＝x+b 与 x 轴上方的部分沿 x 轴向下翻折后的图象相切时， 此时，直线 y＝x+b 与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点；
即：x2﹣4x+3＝x+b，Δ＝52﹣4（3﹣b）＝0，解得：b＝﹣ ．
即：b＝﹣3 或﹣．
25．（12 分）如图，P 是正方形 ABCD 中一动点，连接 PA，PB，PC．
如图 1，若 BC＝PB，∠CBP＝30°，求∠APC 的度数；
如图 2，当∠APC＝135°时，求证：CD＝PB；
如图 3，在（2）的条件下，若正方形 ABCD 的边长为 8，Q 为 BC 上一点，CQ＝2，连接 AQ，PQ，
求△APQ 面积的最大值．
【解答】（1）解：∵∠CBP＝30°，∠ABC＝90°，
∴∠ABP＝60°，
∵BC＝PB，
∴AB＝PB，
∴△ABP 是等边三角形，
∴∠APB＝60°，
∵∠BPC＝∠BCP＝75°，
∴∠APC＝135°；
（2）证明：∵∠ABC＝90°，AB＝BC， 以 B 为圆心，AB 为半径作圆，
∵劣弧 AC 所对的圆心角是 270°，
∴优弧 AC 所对的圆周角是 135°，
∵∠APC＝135°，
∴P 点在圆 B 上，
∴BP＝BC，
∵BC＝CD，
∴BP＝CD；
（3）解：∵CQ＝2，AB＝8，
∴BQ＝6，
∴AQ＝10，
当 BP⊥AQ 时，△APQ 面积有最大值， 设 BP 与 AQ 的交点为 K，
∵AB•BQ＝AQ•BK，
∴BK＝ ，
∵AB＝BP，
∴PK＝8﹣ ＝ ，
∴△APQ 面积的最大值为10×＝16．