2023-2024学年广东省广州市南沙区九年级（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省广州市南沙区九年级（上）期末数学试卷（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3 分）剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（）
A． B． C． D． 2．（3 分）二次函数 y＝4（x﹣2）2+3 的对称轴是（）
A．直线 x＝2B．直线 x＝﹣2C．直线 x＝3D．直线 x＝﹣3 3．（3 分）用配方法解方程 x2﹣2x﹣5＝0 时，原方程应变形为（）
A．（x+1）2＝6B．（x+2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝9 4．（3 分）方程 2x2﹣x﹣4＝0 的根的情况是（）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定是否有实数根
5．（3 分）如图，将△ABC 绕点 C 逆时针旋转一定的角度得到△A′B′C′，此点 A 在边 B′C 上，若 BC
＝5，AC＝3，则 AB′的长为（）
A．5B．4C．3D．2 6．（3 分）下列说法正确的是（）
事件发生的可能性越大，它的概率越接近 1
天气预报说每天下雨的概率是 50%，所以明天将有一半的时间在下雨C．彩票中奖的机会是 1%，买 100 张一定会中奖
D．“从一个只有红球的袋子里摸出白球”是随机事件
7．（3 分）如图，正六边形螺帽的边长为 2，则这个螺帽的面积是（）
A． B．6C． D．
8．（3 分）印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：
“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的 的平方，另一队猴子数是 12，那么这群猴子的总数
是多少？”设这群猴子的总数是 x 只，根据题意可列出的方程是（）
A．（8x）2＝x﹣12B．（8x）2＝x+12
C． D．
9．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，P 是 AB 延长线上一点，过 P 作⊙O 的切线，切点为点 C，点 D 是劣弧 上一点，连接 AC、BD、CD，若∠OPC＝20°，则∠BDC 的度数为（）
A．110°B．135°C．145°D．160°
10．（3 分）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标满足下表：
下列说法中：①该二次函数的对称轴为直线 x＝2；②a＜0；③不等式 ax2+bx+c＜0 的解集为 1＜x＜3；
④方程 ax2+bx+c＝8（a≠0）有两个不相等的实数根，正确的个数有（）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）
11．（3 分）把抛物线 y＝2x2 向上平移 4 个单位，所得抛物线的函数表达式为 ．
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
8
3
0
﹣1
m
3
…
12．（3 分）若 x2﹣mx+2＝0 的其中一个根为 2，则 m 的值为 ．
13．（3 分）如图，△COD 是△AOB 绕点 O 顺时针方向旋转 40°后所得的图形，点 C 恰好在 AB 上，则∠
A 的度数是．
14．（3 分）如图，平行四边形 ABCD 中，AC，BD 是两条对角线，现在从以下四个关系：①AB＝BC；② AC＝BD；③AC⊥BD；④AB⊥BC 中随机取出一个作为条件，即可推出平行四边形 ABCD 是矩形的概率为．
15．（3 分）若圆锥的侧面面积为 12πcm2，它的底面半径为 3cm，则此圆锥的母线长为 cm．
16．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4，点 D 是半径为 4 的⊙A 上一动点，连接 CD，点 E 是 CD 的中点，当点 D 落在线段 AC 上时，则 BE 的长度为； 若点 D 在⊙A 上运动，当 BE 取最大值时，BE 的长度是．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤．）
17．（4 分）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
18．（4 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A（﹣2，4），B（﹣2，0），C（﹣
4，1）．
画出△ABC 关于原点 O 成中心对称的图形△A1B1C1；
在（1）的条件下，求点 B 旋转到点 B1 时，线段 OB 扫过的面积（结果保留π）．
19．（6 分）寒假期间，小陈和小王计划去南沙的天后宫（记为 A）、百万葵园（记为 B）、湿地公园（记为 C）游玩．他们两人在以上三个景点中任选一个游玩（每人独立选择，不相互影响），且每个景点被选中的可能性相同．
小陈选择去天后宫游玩的概率是；
请用列举法求他们两人选择相同景点游玩的概率．
20．（6 分）如图，在△ABC 中，∠A＝∠B＝30°．
尺规作图：在线段 AB 上找一点 O，以 O 为圆心作圆，使⊙O 经过 B、C 两点；
在（1）中所作图中，求证：AC 与⊙O 的相切．
21．（8 分）如图，一架 5 米长的梯子 AB 斜靠在竖直的墙 AC 上，这时点 B 到墙 AC 的距离为 3 米，记梯子的顶端从 A 处沿墙 AC 下滑的距离为 AA1，点 B 向外移动的距离为 BB1．
当 AA1＝2 米时，求 BB1 的长度；
当 AA1＝BB1 时，求 BB1 的长度．
22．（10 分）校艺术节上，甲同学用腰长为 20cm 的等腰直角三角形卡纸△ABC 裁剪出如图所示的矩形纸片 MNPQ，且矩形的四个顶点都在△ABC 的边上．
） 若甲裁剪出来的矩形纸片周长是△ ABC 纸片周长的一半， 那么这个矩形纸片的宽 MQ 是
cm；
设 MQ 的长度为 x cm，矩形 MNPQ 的面积为 S cm2，
①求 S 关于 x 的函数解析式；
②求矩形 MNPQ 的面积 S 的最大值．
23．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝﹣x2+bx+c，图象经过 A（4，0）、B（0，8）两点．
求二次函数的解析式及它的对称轴；
设点 P 是抛物线上的一个动点，横坐标为 m，
①当﹣2＜m＜3，则点 P 的纵坐标 y 的取值范围是；
②过点 P 作 PQ∥y 轴，交直线 AB 于 Q，当线段 PQ＝5 时，请求出 m 的值．
，
24．（12 分）如图 1，BC 是⊙O 的直径，点 A、D 在⊙O 上，连接 BD、CD，DB∥OA，BC＝10 ．
求证：AO⊥CD；
求 BD 的长；
如图 2，连接 AB，作∠CAB 的角平分线交⊙O 于 F，求 AF 的长度．
25．（12 分）如图 1，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点 P 为△ABC 内任意一动点．
当∠ABP＝∠ACP＝20°时，求∠BPC 的度数；
当点 P 满足 BP2+2CP2＝AP2 时，
①求∠BPC 的度数；
②如图 2，取 AP 的中点 D，连接 CD，试求 BP，CP，CD 之间的数量关系并说明理由．
2023-2024 学年广东省广州市南沙区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）
1．（3 分）剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（）
A． B．
C．D．
【解答】解：选项 B、C、D 中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转 180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项 A 中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转 180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：A．
2．（3 分）二次函数 y＝4（x﹣2）2+3 的对称轴是（）
A．直线 x＝2B．直线 x＝﹣2C．直线 x＝3D．直线 x＝﹣3
【解答】解：因为抛物线解析式 y＝（x﹣2）2+3 是顶点式，顶点坐标为（2，3），所以对称轴为直线 x
＝2．
故选：A．
3．（3 分）用配方法解方程 x2﹣2x﹣5＝0 时，原方程应变形为（）
A．（x+1）2＝6B．（x+2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝9
【解答】解：由原方程移项，得
x2﹣2x＝5，
方程的两边同时加上一次项系数﹣2 的一半的平方 1，得
x2﹣2x+1＝6
∴（x﹣1）2＝6． 故选：C．
4．（3 分）方程 2x2﹣x﹣4＝0 的根的情况是（）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根
D．无法确定是否有实数根
【解答】解：∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣4）＝33＞0，
∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B．
5．（3 分）如图，将△ABC 绕点 C 逆时针旋转一定的角度得到△A′B′C′，此点 A 在边 B′C 上，若 BC
＝5，AC＝3，则 AB′的长为（）
A．5B．4C．3D．2
【解答】解：∵△ABC 绕点 C 逆时针旋转一定的角度得到△A′B′C′，点 A 在边 B′C 上，
∴CB′＝CB＝5，
∴AB′＝CB′﹣CA＝5﹣3＝2． 故选：D．
6．（3 分）下列说法正确的是（）
事件发生的可能性越大，它的概率越接近 1
天气预报说每天下雨的概率是 50%，所以明天将有一半的时间在下雨C．彩票中奖的机会是 1%，买 100 张一定会中奖
D．“从一个只有红球的袋子里摸出白球”是随机事件
【解答】解：A．事件发生的可能性越大，它的概率越接近 1，故 A 符合题意；
天气预报说每天下雨的概率是 50%，所以明天不一定有一半的时间在下雨，故 B 不符合题意；
某种彩票中奖的概率是 1%，因此买 100 张该种彩票不一定会中奖，故 C 不符合题意；
从一个只有红球的袋子里摸出白球”是不可能事件，故 D 不符合题意； 故选：A．
7．（3 分）如图，正六边形螺帽的边长为 2，则这个螺帽的面积是（）
A． B．6C． D．
【解答】解：如图，把正六边形螺帽抽象成正六边形 ABCDEF，连接正六边形的中心 O 和两个顶点 D、E，得到△ODE，
∵∠DOE＝360°× ＝60°，
又∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED＝（180°﹣60°）÷2＝60°，
∴△ODE 为正三角形，
∴OD＝OE＝DE＝2，
∴S△ODE＝ OD•OM＝ OD•OE•sin60°＝ ×2×2× ＝． 即这个螺帽的面积为 6×＝6 ．
故选：C．
8．（3 分）印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：
“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的 的平方，另一队猴子数是 12，那么这群猴子的总数
是多少？”设这群猴子的总数是 x 只，根据题意可列出的方程是（）
A．（8x）2＝x﹣12B．（8x）2＝x+12
C． D．
【解答】解：∵这群猴子的总数是 x 只，
∴一队猴子数是（ x）2 只．
根据题意得：x＝（ x）2+12． 故选：D．
9．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，P 是 AB 延长线上一点，过 P 作⊙O 的切线，切点为点 C，点 D 是劣弧 上一点，连接 AC、BD、CD，若∠OPC＝20°，则∠BDC 的度数为（）
A．110°B．135°C．145°D．160°
【解答】解：连接 OC，
∵PC 切⊙O 于 C，
∴半径 OC⊥PC，
∴∠OCP＝90°
∵∠OPC＝20°，
∴∠POC＝90°﹣20°＝70°，
∴∠A＝ ∠BOC＝35°，
∵四边形 ABDC 是圆内接四边形，
∴∠A+∠BDC＝180°，
∴∠BDC＝145°． 故选：C．
10．（3 分）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标满足下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
8
3
0
﹣1
m
3
…
下列说法中：①该二次函数的对称轴为直线 x＝2；②a＜0；③不等式 ax2+bx+c＜0 的解集为 1＜x＜3；
④方程 ax2+bx+c＝8（a≠0）有两个不相等的实数根，正确的个数有（）个．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵抛物线经过点（0，3），（4，3），
∴抛物线的对称轴为直线 x＝2，顶点坐标为（2，﹣1），所以①正确；
∵由表中数据得 x＝2 时，y＝﹣1 最小，
∴抛物线开口向上，
∴a＞0，所以②错误；
∵抛物线的对称轴为直线 x＝2，抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（1，0），
∴抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（3，0），而抛物线开口向上，
∴当 1＜x＜3 时，y＜0，
即不等式 ax2+bx+c＜0 的解集为 1＜x＜3，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线 x＝2，抛物线经过点（﹣1，8），
∴抛物线经过点（5，8），
∴方程 ax2+bx+c＝8（a≠0）有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选：C．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）
11．（3 分）把抛物线 y＝2x2 向上平移 4 个单位，所得抛物线的函数表达式为y＝2x2+4．
【解答】解：把抛物线 y＝2x2 向上平移 4 个单位，所得抛物线的函数表达式为 y＝2x2+4， 故答案为：y＝2x2+4．
12．（3 分）若 x2﹣mx+2＝0 的其中一个根为 2，则 m 的值为 3．
【解答】解：∵x2﹣mx+2＝0 的其中一个根为 2，
∴4﹣2m+2＝0，
∴m＝3．
故答案为：3．
13．（3 分）如图，△COD 是△AOB 绕点 O 顺时针方向旋转 40°后所得的图形，点 C 恰好在 AB 上，则∠
A 的度数是 70° ．
【解答】解：∵△COD 是△AOB 绕点 O 顺时针方向旋转 40°后所得的图形，点 C 恰好在 AB 上，
∴∠AOC＝∠BOD＝40°，OA＝OC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠A＝ （180°﹣40°）＝70°， 故答案为：70°．
14．（3 分）如图，平行四边形 ABCD 中，AC，BD 是两条对角线，现在从以下四个关系：①AB＝BC；② AC＝BD；③AC⊥BD；④AB⊥BC 中随机取出一个作为条件，即可推出平行四边形 ABCD 是矩形的概率为 ．
【解答】解：根据矩形的判定定理，
可推出平行四边形 ABCD 是矩形的有②④，
∴随机取出一个作为条件，即可推出平行四边形 ABCD 是矩形的概率为＝ ． 故答案为： ．
15．（3 分）若圆锥的侧面面积为 12πcm2，它的底面半径为 3cm，则此圆锥的母线长为 4cm．
【解答】解：设圆锥的母线长为 l，
根据题意得 •2π•3•l＝12π， 解得 l＝4．
故答案为 4．
16．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4，点 D 是半径为 4 的⊙A 上一动点，连接 CD，点 E 是 CD 的中点，当点 D 落在线段 AC 上时，则 BE 的长度为 2 ；若点 D 在
⊙A 上运动，当 BE 取最大值时，BE 的长度是 6．
【解答】解：如图 1，连接 AD，
在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4，
∴AC＝2BC＝8，∠C＝60°，
∵⊙A 的半径为 4，
∴AD＝4，
∴CD＝4，
∴AD＝CD，
∴△BCD 是等边三角形，
∵点 E 是 CD 的中点，
∴BE⊥CD，
∵∠C＝60°，
∴BE＝ BC＝2；
如图 2，取 AC 的中点 N，连接 AD、EN、BN．
∵AN＝NC，
∴BN＝ AC＝4，
∵AN＝NC，DE＝EC，
∴EN＝ AD＝2，
∴BN﹣EN≤BE≤BN+EN，
∴4﹣2≤BE≤4+2，
∴2≤BE≤6，
∴BE 的最大值为 6， 故答案为：2 ，6．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤．）
17．（4 分）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
【解答】解：（x+1）（x﹣5）＝0，则 x+1＝0 或 x﹣5＝0，
∴x＝﹣1 或 x＝5．
18．（4 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A（﹣2，4），B（﹣2，0），C（﹣
4，1）．
画出△ABC 关于原点 O 成中心对称的图形△A1B1C1；
在（1）的条件下，求点 B 旋转到点 B1 时，线段 OB 扫过的面积（结果保留π）．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1 即为所求；
（2）线段 OB 扫过的面积＝＝2π．
19．（6 分）寒假期间，小陈和小王计划去南沙的天后宫（记为 A）、百万葵园（记为 B）、湿地公园（记为 C）游玩．他们两人在以上三个景点中任选一个游玩（每人独立选择，不相互影响），且每个景点被选中的可能性相同．
小陈选择去天后宫游玩的概率是 ；
请用列举法求他们两人选择相同景点游玩的概率．
【解答】解：（1）∵小陈和小王计划去南沙的天后宫（记为 A）、百万葵园（记为 B）、湿地公园（记为 C）三个景点中任选一个游玩，
∴小陈选择去天后宫游玩的概率是 ，
故答案为： ；
（2）画树状图如下：
共有 9 种等可能的结果，其中小陈和小王两人选择相同景点游玩的结果有 3 种，
∴小陈和小王两人选择相同景点游玩的概率为 ＝ ．
20．（6 分）如图，在△ABC 中，∠A＝∠B＝30°．
尺规作图：在线段 AB 上找一点 O，以 O 为圆心作圆，使⊙O 经过 B、C 两点；
在（1）中所作图中，求证：AC 与⊙O 的相切．
【解答】解：（1）如图，⊙O 即为所作．
（2）证明：连接 OC
∵△ABC 中，∠A＝∠B＝30°
∴∠ACB＝120°
由（1）可知，OC＝OB
∴∠OCB＝∠B＝30°
∴∠ACO＝90°
∴AC 是⊙O 的相切．
21．（8 分）如图，一架 5 米长的梯子 AB 斜靠在竖直的墙 AC 上，这时点 B 到墙 AC 的距离为 3 米，记梯子的顶端从 A 处沿墙 AC 下滑的距离为 AA1，点 B 向外移动的距离为 BB1．
当 AA1＝2 米时，求 BB1 的长度；
当 AA1＝BB1 时，求 BB1 的长度．
【解答】解：（1）由题意可知，AB＝AB1＝5 米，∠ACB＝90°，
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：AC＝＝＝4（米），当 AA1＝2 米时，CA1＝AC﹣AA1＝4﹣2＝2（米），
在 Rt△CA1B1 中，由勾股定理得：CB1＝＝ ，
∴BB1＝CB1﹣BC＝（ ﹣3）米， 答：BB1 的长度为（﹣3）米；
（2）设 AA1＝BB1＝x 米，则 CA1＝（4﹣x）米，CB1＝（3+x）米，
在 Rt△CA1B1 中，由勾股定理得：（4﹣x）2+（3+x）2＝52，解得：x1＝1，x2＝0（不符合题意，舍去），
答：BB1 的长度为 1 米．
22．（10 分）校艺术节上，甲同学用腰长为 20cm 的等腰直角三角形卡纸△ABC 裁剪出如图所示的矩形纸片 MNPQ，且矩形的四个顶点都在△ABC 的边上．
若甲裁剪出来的矩形纸片周长是△ABC 纸片周长的一半，那么这个矩形纸片的宽 MQ 是 （15
﹣10） cm；
设 MQ 的长度为 x cm，矩形 MNPQ 的面积为 S cm2，
①求 S 关于 x 的函数解析式；
②求矩形 MNPQ 的面积 S 的最大值．
【解答】解：（1）∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝20cm，∠B＝∠C＝45°，
∴BC＝＝20（cm），
∵四边形 MNPQ 是矩形，
∴MQ＝PN，∠MQP＝∠NPQ＝90°，
∴△BQM 和△CPN 是等腰直角三角形，
∴MQ＝BQ＝PN＝PC，
∴ ，
∵甲裁剪出来的矩形纸片周长是△ABC 纸片周长的一半，
∴20﹣2MQ+MQ＝×（20+20+20），
解得 QM＝15﹣10， 故答案为：（15﹣10）；
（2）①过 A 作 AH⊥BC 于 H，交 MN 于 E，
∵MN∥PQ，
∴AE⊥MN，
∵∠NMQ＝∠MQP＝QHE＝90°，
∴四边形 MEHQ 是矩形，
∴EH＝MQ，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴ ，
∴AH＝ BC＝10，
∴
∵△ABC 是等腰直角三角形，
，
∴MN＝20 ﹣2x，
∴S＝MN•MQ＝（20 ﹣2x）•x， 即 S＝﹣2x2+20x；
②∵S＝﹣2x2+20 x＝﹣2（x﹣5 ）2+100，
∴矩形 MNPQ 的面积 S 的最大值为 100．
23．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝﹣x2+bx+c，图象经过 A（4，0）、B（0，8）两点．
求二次函数的解析式及它的对称轴；
设点 P 是抛物线上的一个动点，横坐标为 m，
①当﹣2＜m＜3，则点 P 的纵坐标 y 的取值范围是 0＜y≤9；
②过点 P 作 PQ∥y 轴，交直线 AB 于 Q，当线段 PQ＝5 时，请求出 m 的值．
【解答】解：（1）由题意得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8， 则抛物线的对称轴为直线 x＝1；
（2）由点 A、B 的坐标得，直线 AB 的表达式为：y＝﹣2x+8；
①当 x＝﹣2 时，y＝﹣x2+2x+8＝0， 当 x＝1 时，y＝﹣x2+2x+8＝9，
则点 P 的纵坐标 y 的取值范围是：0＜y≤9；
②设点 P（m，﹣m2+2m+8），则点 Q（m，﹣2m+8），
则 PQ＝|﹣m2+2m+2m|＝5， 解得：m＝5 或﹣1．
，
24．（12 分）如图 1，BC 是⊙O 的直径，点 A、D 在⊙O 上，连接 BD、CD，DB∥OA，BC＝10 ．
求证：AO⊥CD；
求 BD 的长；
如图 2，连接 AB，作∠CAB 的角平分线交⊙O 于 F，求 AF 的长度．
【解答】（1）证明：∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠D＝90°，
∵OA∥BD，
∴∠CEO＝∠D＝90°，
∴AO⊥CD；
解：连接 AB，作 AH⊥BC 于 H，OM⊥BD 于 M，如图 1，则 BM＝DM，
∵BC 为⊙O 的直径，
∴∠CAB＝90°，
∴AB＝ ＝4 ，
∵ AH•BC＝ AC•AB，
∴AH＝ ＝4，
在 Rt△OAH 中，OH＝＝ ＝3，
∵OA∥BD，
∴∠AOH＝∠EBO，
在△AOH 和△OBM 中，
，
∴△AOH≌△OBM（ASA），
∴BM＝OH＝3，
∴BD＝2BM＝6；
解：作 CG⊥AF 于 G，连接 CF、BF，如图 2，
∵AF 平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠BAF＝45°，
∴CF＝BF，
∴△CBF 为等腰直角三角形，
∴CF＝ BC＝5，
在 Rt△ACG 中，CG＝AG＝AC＝，
在 Rt△GFC 中，GF＝＝2 ，
∴AF＝AG+GF＝ +2 ＝3 ．
25．（12 分）如图 1，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点 P 为△ABC 内任意一动点．
当∠ABP＝∠ACP＝20°时，求∠BPC 的度数；
当点 P 满足 BP2+2CP2＝AP2 时，
①求∠BPC 的度数；
②如图 2，取 AP 的中点 D，连接 CD，试求 BP，CP，CD 之间的数量关系并说明理由．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
∵∠ABP＝∠ACP＝20°，
∴∠PBC＝∠ABC﹣∠ABP＝45°﹣20°＝25°，∠PCB＝90°﹣20＝70°，
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣25°﹣70°＝85°；
（2）①将△BPC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△CAN，如图：
∴△BPC≌△ACN，
∴PC＝NC，AN＝BP，CP＝CN，∠PCN＝90°，∠BPC＝∠ANC，
∴PN＝ PC，
∴PN2＝2PC2，
∵BP2+2CP2＝AP2，
∴AN2+PN2＝AP2，
∴∠ANP＝90°，
∴∠ANC＝90°+45°＝135°，
∴∠BPC＝135°；
②2CD＝BP+ PD，
由①知∠BPC＝135°，∠CPN＝45°，
∴∠BPC+∠CPN＝180°，
∴B、P、N 在一条直线上，延长 CD 至 M，使 DM＝CD，连接 AM，如图：
∵AD＝DP，∠ADM＝∠PDC，CD＝DM，
∴△ADM≌△PDC（SAS），
∴∠APC＝∠MAD，CP＝AM，
∵CP＝CN，
∴AM＝CN，
∵∠APC＝∠DAM，
∴AM∥CP，
∴∠MAC+∠ACP＝180°，
∵∠ACB＝∠PCN＝90°，
∴∠ACB+∠PCN＝∠ACB+∠ACN+∠ACP＝∠BCN+∠ACP＝180°，
∴∠MAC＝∠NCB，
∵AC＝BC，CN＝AM，
∴△MAC≌△NCB（SAS），
∴BN＝CM＝2CD，
∵BN＝BP+PN，PN2＝2PC2，
∴PN＝ PC2，
∴2CD＝BP+ PC．