广东省广州市番禺区桥城中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份广东省广州市番禺区桥城中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷（含答案），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）
下列图形中，是中心对称图形的是（）
B．
C．D．
若关于 x 的一元二次方程 x2﹣x+m＝0 的一个根是 2，则 m 的值是（）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．2
将抛物线 y＝x2 向上平移 1 个单位长度，再向右平移 4 个单位长度，所得到的抛物线为
（）
A．y＝（x﹣4）2+1B．y＝（x+1）2+4C．y＝（x+4）2﹣1D．y＝（x﹣1）2﹣4 4．用配方法解方程 x2+2x﹣3＝0，下列变形正确的是（）
A．（x+1）2＝2B．（x+1）2＝4C．（x+1）2＝3D．（x+1）2＝﹣3 5．如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，其中∠A＝100°，则∠C 的度数为（）
A．120°B．100°C．80°D．50°
在一个不透明的布袋中装有 50 个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 0.3 左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．15 个B．20 个C．30 个D．35 个
如图，有一张长 12cm，宽 9cm 的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是70cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是 xcm，根据题意，可列方
A．12×9﹣4×9x＝70B．12×9﹣4x2＝70
C．（12﹣x）（9﹣x）＝70D．（12﹣2x）（9﹣2x）＝70
从 1～9 这九个自然数中任取一个，是 2 的倍数或是 3 的倍数的概率是（）
A． B． C． D．
如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点 A 为圆心，r 为半径作圆，当点 C 在⊙A 内且点 B 在⊙A 外时，r 的值可能是（）
A．2B．3C．4D．5
如图，在△ABC 中，∠B＝45°，AB＝AC，点 D 为 BC 中点，直角∠MDN 绕点 D 旋转， DM，DN 分别与边 AB，AC 交于 E，F 两点，下列结论：①AE＝CF；②△DEF 是等腰直角三角形；③BE+CF＝EF；④S 四边形AEDF＝S△ABC，其中正确结论是（）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
二、填空题（共 6 题，每题 3 分，共 18 分）
已知点 A（a，1）与点 B（﹣3，﹣1）关于原点对称，则 a＝．
抛物线的解析式为 y＝（x﹣2）2+1，则抛物线的顶点坐标是．
正 n 边形的中心角为 72°，则 n＝．
若圆锥的侧面积为 14π，底面圆半径为 2，则该圆锥母线长是．
为了改善居民住房条件，某市计划用两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均
图中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△
ABC 的顶点均在格点上
画出将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转 90°后所得到的△A1BC1；
画出将△ABC 向右平移 6 个单位后得到的△A2B2C2；
在（1）中，求在旋转过程中△ABC 扫过的面积．
已知二次函数 y＝x2﹣2x﹣3．
在平面直角坐标系 xOy 中画出该函数的图象；
当 0≤x≤3 时，结合函数图象，直接写出 y 的取值范围．
小聪参加一个幸运挑战活动，规则是：在一个箱子里有 3 个白球和 1 个红球，它们除颜
色外其余都相同，现从箱子里摸出 1 个球，不放回，记下颜色，再摸出 1 个球，若两次摸出球的颜色相同，则挑战成功．
小聪从箱子里摸出 1 个球是白球是 事件．（选填“必然”、“随机”、“不可
能”）
求小聪挑战成功的概率．
已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x﹣2m+5＝0 有两个不相等的实数根．
求实数 m 的取值范围；
12
若 x1，x2 是该方程的两个根，且满足 x 2+x 2＝3x1x2+1，求 m 的值．
已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC 的角平分线 AD 交 BC 边于 D．
以 AB 边上一点 O 为圆心，过 A、D 两点作⊙O，并标出圆心．（不写作法，保留作图痕迹）．
判断直线 BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由．
若 AB＝8，BD＝4，求⊙O 的半径．
如图，⊙O 为 Rt△ABC 的外接圆，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝4，点 D 是⊙O 上的动点，且点 C、D 分别位于 AB 的两侧．
求⊙O 的半径；
当 CD＝4时，求∠ACD 的度数；
设 AD 的中点为 M，在点 D 的运动过程中，线段 CM 是否存在最大值？若存在，求出 CM 的最大值；若不存在，请说明理由．
已知抛物线 y＝﹣x2+bx+c 经过 A（m，n），B（4﹣m，n），C（1，4）三点，顶点为 P．
求抛物线的解析式；
如果△PAB 是以 AB 为底边的等腰直角三角形，求△PAB 的面积；
若直线 l1：y＝k1x﹣2k1 与抛物线交于 D，E 两点，直线 l2：y＝k2x﹣2k2 与抛物线交 F、G 两点，DE 的中点为 M，FG 的中点为 N，k1k2＝﹣2，求点 P 到直线 MN 距离的最大值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）
下列图形中，是中心对称图形的是（）
B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是中心对称图形，故本选项符合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转
180 度后与原图重合．
若关于 x 的一元二次方程 x2﹣x+m＝0 的一个根是 2，则 m 的值是（）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．2
【分析】把 x＝2 代入方程 x2﹣x+m＝0 得 22﹣2+m＝0，然后解关于 m 的方程即可．
【解答】解：把 x＝2 代入方程 x2﹣x+m＝0 得 22﹣2+m＝0， 解得 m＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
将抛物线 y＝x2 向上平移 1 个单位长度，再向右平移 4 个单位长度，所得到的抛物线为
（）
A．y＝（x﹣4）2+1B．y＝（x+1）2+4C．y＝（x+4）2﹣1D．y＝（x﹣1）2﹣4
【分析】抛物线 y＝x2 的顶点坐标为（0，0），向上平移 1 个单位长度，再向右平移 4 个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为（4，1），根据顶点式可确定所得抛物线解析式．
【解答】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（4，
1），
又因为平移不改变二次项系数，所以所得抛物线解析式为：y＝（x﹣4）2+1． 故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的平移，解题关键是熟悉抛物线在平移的过程中，a 的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关．
用配方法解方程 x2+2x﹣3＝0，下列变形正确的是（）
A．（x+1）2＝2B．（x+1）2＝4C．（x+1）2＝3D．（x+1）2＝﹣3
【分析】根据用配方法解一元二次方程的步骤即可进行解答．
【解答】解：移项，得：x2+2x＝3， 配方，得：x2+2x+1＝4，
即：（x+1）2＝4．故选：B．
【点评】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤和方法．
如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，其中∠A＝100°，则∠C 的度数为（）
A．120°B．100°C．80°D．50°
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，列式计算即可．
【解答】解：∵四边形 ABCD 为圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝100°，
∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°． 故选：C．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
在一个不透明的布袋中装有 50 个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 0.3 左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．15 个B．20 个C．30 个D．35 个
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近， 可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．
【解答】解：设袋中有黄球 x 个，由题意得＝0.3， 解得 x＝15，则白球可能有 50﹣15＝35 个．
故选：D．
【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数．
如图，有一张长 12cm，宽 9cm 的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是70cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是 xcm，根据题意，可列方程为（ ）
A．12×9﹣4×9x＝70B．12×9﹣4x2＝70
C．（12﹣x）（9﹣x）＝70D．（12﹣2x）（9﹣2x）＝70
【分析】设剪去的小正方形的边长是 xcm，则纸盒底面的长为（12﹣2x）cm，宽为（9﹣ 2x）cm，根据纸盒的底面（图中阴影部分）面积是 70cm2，得出关于 x 的一元二次方程， 从而得到答案．
【解答】解：设剪去的小正方形的边长是 xcm，则纸盒底面的长为（12﹣2x）cm，宽为
（9﹣2x）cm，
∵纸盒的底面（图中阴影部分）面积是 70cm2，
∴（12﹣2x）（9﹣2x）＝70，故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程解实际问题，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元
二次方程是解题的关键．
从 1～9 这九个自然数中任取一个，是 2 的倍数或是 3 的倍数的概率是（）
A． B． C． D．
【分析】从 1 到 9 这 9 个自然数中任取一个有 9 种可能的结果，其中是 2 的倍数或是 3
的倍数的有 2，3，4，6，8，9 共计 6 个．
【解答】解：从 1 到 9 这 9 个自然数中任取一个有 9 种可能的结果，是 2 的倍数或是 3
的倍数的有 6 个结果，因而概率是． 故选：C．
【点评】本题考查概率，概率＝所求情况数与总情况数之比．正确写出是 2 的倍数或是 3
的倍数的数有哪些是本题解决的关键．
如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点 A 为圆心，r 为半径作圆，当点 C 在⊙A 内且点 B 在⊙A 外时，r 的值可能是（）
A．2B．3C．4D．5
【分析】由勾股定理求出 AC 的长度，再由点 C 在⊙A 内且点 B 在⊙A 外求解．
【解答】解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AC＝＝3，
∵点 C 在⊙A 内且点 B 在⊙A 外，
∴3＜r＜5， 故选：C．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握勾股定理．
如图，在△ABC 中，∠B＝45°，AB＝AC，点 D 为 BC 中点，直角∠MDN 绕点 D 旋转， DM，DN 分别与边 AB，AC 交于 E，F 两点，下列结论：①AE＝CF；②△DEF 是等腰直角三角形；③BE+CF＝EF；④S 四边形AEDF＝ S△ABC，其中正确结论是（）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD＝∠B＝45°，根据同角的余角相等求出
∠ADF＝∠BDE，然后利用“角边角”证明△BDE 和△ADF 全等，判断出④正确；根据全等三角形对应边相等可得 DE＝DF、BE＝AF，从而得到△DEF 是等腰直角三角形，判断出②正确；再求出 AE＝CF，判断出①正确；根据 BE+CF＝AF+AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得 BE+CF＞EF，判断出③错误．
【解答】解：∵∠B＝45°，AB＝AC，
∴△ABC 是等腰直角三角形，
∵点 D 为 BC 中点，
∴AD＝CD＝BD，AD⊥BC，∠CAD＝45°，S△ABD＝S△ACD＝ S△ABC，
∴∠CAD＝∠B，
∵∠MDN 是直角，
∴∠ADF+∠ADE＝90°，
∵∠BDE+∠ADE＝∠ADB＝90°，
∴∠ADF＝∠BDE，
在△BDE 和△ADF 中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴S 四边形 AEDF＝S△AED+S△ADF＝＝S△AED+S△BDE＝S△ABD，
∴S 四边形 AEDF＝S△ABC， 故④正确；
∴DE＝DF，BE＝AF，
∴△DEF 是等腰直角三角形，故②正确；
∵AE＝AB﹣BE，CF＝AC﹣AF，
∴AE＝CF，故①正确；
∵BE+CF＝AF+AE，
∴BE+CF＞EF， 故③错误；
∴正确的有①②④， 故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质， 熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
二、填空题（共 6 题，每题 3 分，共 18 分）
已知点 A（a，1）与点 B（﹣3，﹣1）关于原点对称，则 a＝ 3．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出 a 的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点 A（a，1）与点 B（﹣3，﹣1）关于原点对称，
∴a＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键．
抛物线的解析式为 y＝（x﹣2）2+1，则抛物线的顶点坐标是 （2，1）．
【分析】利用二次函数的顶点式是：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，且 a，h，k 是常数），顶点坐标是（h，k）进行解答．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+1
∴抛物线的顶点坐标是（2，1） 故答案为：（2，1）．
【点评】本题主要是对抛物线中顶点式的对称轴，顶点坐标的考查．
正 n 边形的中心角为 72°，则 n＝ 5．
【分析】根据正多边形的中心角和为 360°计算即可．
【解答】解：n＝＝5， 故答案为：5．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角和为 360°是解答此题的关键．
若圆锥的侧面积为 14π，底面圆半径为 2，则该圆锥母线长是 7．
【分析】根据圆锥侧面积公式 S＝πrl 计算即可．
【解答】解：设圆锥的母线长为 l， 设由题意得，14π＝πl×2，
解得，l＝7， 故答案为：7．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
为了改善居民住房条件，某市计划用两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为 10m2 提高到 12.1m2，若每年的年增长率相同，则年增长率为 10%．
【分析】此题可设年增长率为 x，第一年为 10（1+x）m2，那么第二年为 10（1+x）
（1+x）m2，列出一元二次方程解答即可．
【解答】解：设年增长率为 x，根据题意列方程得
10（1+x）2＝12.1
解得 x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不符合题意舍去） 所以年增长率为 0.1，即 10%．
【点评】找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
已知二次函数 y＝x2﹣2ax+a2﹣3a+6 的图象与 x 轴没有公共点，且当 x＜﹣1 时，y 随 x
的增大而减小，则实数 a 的取值范围是 ﹣1≤a＜2．
【分析】由题意得：Δ＜0，解得 a＜2，当 x＜﹣1 时，y 随 x 的增大而减小，则 a≥﹣1， 即可求解．
【解答】解：由题意得：△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，解得 a＜2，
∵1＞0，故抛物线开口向上，
当 x＜﹣1 时，y 随 x 的增大而减小，则 a≥﹣1，
∴实数 a 的取值范围是﹣1≤a＜2， 故答案为：﹣1≤a＜2．
【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数， a≠0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 0 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程：x2﹣6x+5＝0（两种方法）．
【分析】利用因式分解法和配方法解方程．
【解答】解：方法一：（x﹣5）（x﹣1）＝0，
x﹣5＝或 x﹣1＝0， 所以 x1＝5，x2＝1；
方法二：x2﹣6x＝﹣5，
x2﹣6x+9＝4，
（x﹣3）2＝4，
x﹣3＝±2，
所以 x1＝5，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知 AB＝16m，半径 OA＝10m，则中间柱 CD 的高度为多少 m？
【分析】由垂径定理可知 OC 垂直平分 AB，再解直角三角形 AOD 即可求得 OD 的长， 因 CD＝CO﹣DO，所以可得 CD 的长．
【解答】解：如图所示：
已知 AB＝16m，半径 OA＝10m，AB 为弦，
∴OC 垂直平分 AB
∴AD＝ AB＝8m
在 Rt△AOD 中，由勾股定理可得：
OD2＝AO2﹣AD2
∴OD＝6m
∴CD＝OC﹣OD＝4m
答：中间柱 CD 的高度为 4m．
【点评】本题主要考查了垂径定理和解直角三角形的应用．
图中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△
ABC 的顶点均在格点上
画出将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转 90°后所得到的△A1BC1；
画出将△ABC 向右平移 6 个单位后得到的△A2B2C2；
在（1）中，求在旋转过程中△ABC 扫过的面积．
【分析】（1）根据旋转的性质得出对应点位置，即可画出图形；
利用平移的性质得出对应点位置，进而得出图形；
根据△ABC 扫过的面积等于扇形 BCC1 的面积与△A1BC1 的面积和，列式进行计算即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1BC1 即为所求；
如图所示，△A2B2C2 即为所求；
由题可得，△ABC 扫过的面积＝+×4×1＝4π+2．
【点评】本题考查了利用旋转变换依据平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点位置作出图形是解题的关键．求扫过的面积的主要思路是将不规则图形面积转化为
规则图形的面积．
已知二次函数 y＝x2﹣2x﹣3．
在平面直角坐标系 xOy 中画出该函数的图象；
当 0≤x≤3 时，结合函数图象，直接写出 y 的取值范围．
【分析】（1）先把解析式配成顶点式为 y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），再求出抛物线与 y 轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象；
（2）先计算 x＝0 时，y＝3，然后利用图象写出对应的 y 的范围．
【解答】解：
（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
当 x＝0 时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，﹣3），函数图象如下图所示：
（2）观察图象得：当 x＝1 时 y 最小＝﹣3； 当 x＝3 时，y 最大＝0，
∴当 0≤x≤3 时，y 的取值范围为﹣4≤y≤0．
【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数， a≠0）与 x 轴的交点坐标问题转化解关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
小聪参加一个幸运挑战活动，规则是：在一个箱子里有 3 个白球和 1 个红球，它们除颜
色外其余都相同，现从箱子里摸出 1 个球，不放回，记下颜色，再摸出 1 个球，若两次摸出球的颜色相同，则挑战成功．
（1）小聪从箱子里摸出 1 个球是白球是 随机 事件．（选填“必然”、“随机”、“不可
能”）
共有 12 种等可能发生的情况，其中两次摸出的球的颜色相同的情况有：6 种，
∴挑战成功的概率为： ．
【点评】本题考查画树状图法求概率．熟练掌握画树状图的方法以及概率公式是解题的关键．
已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x﹣2m+5＝0 有两个不相等的实数根．
求实数 m 的取值范围；
12
若 x1，x2 是该方程的两个根，且满足 x 2+x 2＝3x1x2+1，求 m 的值．
【分析】（1）利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可求出答案；
（2）先将 转化成 ，再运用根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣2m+5＝0 有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＞0，
∴ ；
（2）∵x1，x2 是该方程的两个根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5，
∵，
图痕迹）．
判断直线 BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由．
若 AB＝8，BD＝4，求⊙O 的半径．
【分析】（1）以 AB 边上一点 O 为圆心，过 A、D 两点作⊙O，并标出圆心；
根据切线的判定即可判断直线 BC 与⊙O 的位置关系；
根据 AB＝8，BD＝4，即可求⊙O 的半径．
【解答】解：如图，
⊙O 即为所求；
直线 BC 与⊙O 的位置关系为：相切，理由如下： 连接 OD，
∴OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴AC∥OD，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴OD⊥BC，OD 是半径，
∴直线 BC 与⊙O 相切；
设⊙O 的半径为 x，
在 Rt△OBD 中，OD＝x，OB＝8﹣x，BD＝4，
∴（8﹣x）2＝x2+42， 解得 x＝3．
答：⊙O 的半径为 3．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、角平分线的性质、直线与圆的位置关系，解决本题的关键是准确画图．
如图，⊙O 为 Rt△ABC 的外接圆，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝4，点 D 是⊙O 上的动点，且点 C、D 分别位于 AB 的两侧．
求⊙O 的半径；
当 CD＝4时，求∠ACD 的度数；
设 AD 的中点为 M，在点 D 的运动过程中，线段 CM 是否存在最大值？若存在，求出 CM 的最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用勾股定理求出 AB 即可．
连接 OC，OD，证明∠OCA＝60°，∠OCD＝45°，可得结论．
如图 2 中，连接 OM，OC．证明 OM⊥AD，推出点 M 的运动轨迹以 AO 为直径的
⊙J，连接 CJ，JM．求出 CJ．JM，根据 CM≤CJ+JM＝2+2，可得结论．
【解答】解：（1）如图 1 中，
∵AB 是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，BC＝4 ，
∴AB＝ ＝＝8，
∴⊙O 的半径为 4．
如图 1 中，连接 OC，OD．
∵CD＝4 ，OC＝OD＝4，
∴CD2＝OC2+OD2，
∴∠COD＝90°，
∴∠OCD＝45°，
∵AC＝OC＝OA，
∴△AOC 是等边三角形，
∴∠ACO＝60°，
∴∠ACD＝∠ACO﹣∠DCO＝60°﹣45°＝15°．
如图 2 中，连接 OM，OC．
∵AM＝MD，
∴OM⊥AD，
∴点 M 的运动轨迹以 AO 为直径的⊙J， 连接 CJ，JM．
∵△AOC 是等边三角形，AJ＝OJ，
∴CJ⊥OA，
∴CJ＝ ＝2 ，
∵CM≤CJ+JM＝2 +2，
∴CM 的最大值为 2+2．
【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质， 等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是寻找特殊三角形解决问题，正确寻找点 M 的运动轨迹，属于中考压轴题．
已知抛物线 y＝﹣x2+bx+c 经过 A（m，n），B（4﹣m，n），C（1，4）三点，顶点为 P．
求抛物线的解析式；
如果△PAB 是以 AB 为底边的等腰直角三角形，求△PAB 的面积；
若直线 l1：y＝k1x﹣2k1 与抛物线交于 D，E 两点，直线 l2：y＝k2x﹣2k2 与抛物线交 F、G 两点，DE 的中点为 M，FG 的中点为 N，k1k2＝﹣2，求点 P 到直线 MN 距离的最大值．
【分析】（1）根据点 A 和点 B 的坐标，可得出抛物线的对称轴，由此可得出 b 的值，把点 C 坐标代入即可求出 c；
由 A，B 的坐标可知 AB∥x 轴，过点 P 作 PQ⊥AB 于点 Q，根据等腰直角三角形的性质可得出 m 和 n 等量关系，由此求出 n 的值，进而可求出△PAB 的面积；
分别联立直线 l1，直线 l2 和抛物线的解析式，根据根与系数的关系可分别表示出点M 和点 N 的坐标，由此求出直线 MN 的解析，得出直线 MN 过定点（2，﹣1），即可得点 P 到直线 MN 距离的最大值．
【解答】解：（1）∵A（m，n），B（4﹣m，n），
∴该函数的对称轴为直线 ，
∴ ，
解得：b＝4，
∴y＝﹣x2+4x+c，
把点 C（1，4）代入得：4＝﹣12+4+c， 解得：c＝1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+1；
（2）当 x＝2 时，y＝﹣22+4×2+1＝5，
∴P（2，5），
∵AB∥x 轴，
∴Q（2，n），
∵A（m，n），B（4﹣m，n），
∴AB＝（4﹣m）﹣m＝4﹣2m，PQ＝5﹣n，n＝﹣m2+4m+1，
∴PQ＝m2﹣4m+4，
∵△PAB 是以 AB 为底边的等腰直角三角形，PQ⊥AB，
∴ ，
即 ，
整理得：m2﹣3m+2＝0，
解得：m1＝1，m2＝2（舍去），
∴AB＝2，PQ＝1，
∴ ，
（3）联立直线 l1：y＝k1x﹣2k1 和抛物线 y＝﹣x2+4x+1 得： ，
①﹣②得：x2+（k1﹣4）x﹣（2k1+1）＝0，
∴xD+xE＝4﹣k1；
可得：xF+xG＝4﹣k2，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， 设直线 MN 的函数表达式为：y＝kx+b，
∴直线 MN 的函数表达式为：y﹣yM＝k（x﹣xM），
即 ，
整理得：y＝（k1+k2）（x﹣2）+，
∵k1k2＝﹣2， 则，
∴，
当 x＝2 时，y＝﹣1，
则直线 MN 经过定点（2，﹣1），
∴点 P 到直线 MN 距离的最大值为点 P 到点（2，﹣1）的距离，
∵P（2，5），
∴点 P 到直线 MN 距离的最大值为：．
【点评】本题考查了二次函数的综合运用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式，二次函数的图像和性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．