人教版数学九上同步单元讲练测第25单元01讲（2份，原卷版+解析版）

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第二十五单元 概率初步考点1 事件的类型1．事件（1）必然事件：在一定条件下 ，叫做必然事件；（2）不可能事件： 叫做不可能事件，必然发生的事件和不可能发生的事件均为“ ”；（3）随机事件： ，称为随机事件，随机事件又称为“ ”；2．可能性：要知道事件发生的可能性大小首先要确定 ，一般地， 事件发生的可能性最大， 事件发生的可能性最小， 的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．考点2 概率的意义1．概念：某种事件在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划（描述）事件发生的 的大小的量叫做概率．2．意义：概率反映了 ；事件A的概率是一个 0，且 1的数，，即 ，其中P（必然事件）=1，P（不可能事件）=0，随机事件的概率范围是： ；考点3 概率的计算1．古典概率（1）从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率．（2）如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的 ，事件A包含其中的种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=．2．列表法求概率 （1）当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为 ，通常采用列表法．（2）列表法是用 反映事件发生的各种情况出现的 ，以及某一事件发生的可能的 ，并求出概率的方法．3．画树形图求概率（1）当一次试验要涉及 时，为了 地列出所有可能的结果，通常采用树形图．（2）树形图是用 ，以及某一事件发生的可能的 ，并求出概率的方法．考点4 利用频率估计概率1．当试验的可能结果不是 ，或各种结果发生的 时，一般用统计频率的方法来估计概率．2．在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为 实验． 3．随机数：在随机事件中，需要用大量 试验产生一串随机的数据来开展统计工作．把这些 产生的数据称为随机数．判断事件的类型1．事件的分类2．依据可能性判断【例题】1. 下列事件中，是必然事件的是（　　）A. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯B. 同一平面内三条直线相交，交点的个数为3个C. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6D. 用长度分别为8；7；15的三根小木棒摆成一个三角形【答案】C【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断．【详解】解：A、车辆随机到达一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；B、同一平面内三条直线相交，交点的个数为3个，是随机事件，不符合题意；C、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6，是必然事件，符合题意；D、用长度分别为8；7；15的三根小木棒摆成一个三角形，是不可能事件，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2. 下列事件为必然事件的是（ ）A. 打开电视，它正在播广告 B. 抛掷一枚硬币，正面朝上C. 367人中有生日相同的人 D. 打雷后会下雨【答案】C【解析】【分析】根据必然事件的定义进行逐一判断即可：在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件．【详解】解：A、打开电视，它可能在播广告，也可能不在播广告，不是必然事件，不符合题意；B、抛掷一枚硬币，正面可能朝上，也可能是方面朝上，不是必然事件，不符合题意；C、367人中有生日相同的人，是必然事件，符合题意；D、打雷后会可能会下雨，也可能不下雨，不是必然事件，不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了事件的分类，熟知必然事件的定义是解题的关键．3. 下列事件中，属于随机事件的是（ ）A. 角平分线上的点到角两边的距离相等B. 用长度分别是2cm，3cm，6cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形C. 如果两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定全等D. 三角形一边上的高线与这条边上的中线互相重合【答案】D【解析】【分析】根据随机事件是指一定条件下可能发生也可能不发生的事件，逐一进行判断即可．【详解】解：A、角平分线上的点到角两边的距离相等，是必然事件，不符合题意；B、，用长度分别是2cm，3cm，6cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形是不可能事件，不符合题意；C、如果两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定全等是必然事件，不符合题意；D、等腰三角形底边上的高线与这条边上的中线互相重合，∴三角形一边上的高线与这条边上的中线互相重合是随机事件，符合题意；故选D．【点睛】本题考查事件的分类，熟练掌握随机事件是指一定条件下可能发生也可能不发生的事件，是解题的关键．【练经典】4. 下列成语所描述的事件是必然发生的是（　　）A. 水中捞月 B. 拔苗助长 C. 守株待兔 D. 瓮中捉鳖【答案】D【解析】【分析】必然事件是指一定会发生的事件；不可能事件是指不可能发生的事件；随机事件是指可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断．【详解】解： A选项，不可能事件，不符合题意； B选项，不可能事件，不符合题意； C选项，随机事件，不符合题意；D选项，必然事件，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的定义是本题的关键．5. 下列事件中是必然事件的是（ ）A. 打开电视机，正在播放《开学第一课》B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C. 任意画一个三角形，其内角和是180°D. 买一张彩票，一定会中奖【答案】C【解析】【分析】根据事件发生的可能性逐项判断，即可得到答案．【详解】解：A、打开电视机，正在播放《开学第一课》，是随机事件，不符合题意；B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；C、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意；D、买一张彩票，一定会中奖是随机事件，是不可能事件，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了必然事件、随机事件，不可能事件，以及三角形内角和定理，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件及随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，熟练掌握上述概念是解题的关键．6. 下列事件为必然事件的是（ ）A. 抛掷一枚硬币，正面向上 B. 在一个装有5只红球的袋子中摸出一个白球C. 任画一个三角形，它的内角和为 D. 如果，那么【答案】C【解析】【分析】根据必然事件的定义：在一定条件下，一定会发生的事件，叫做必然事件，进行逐一判断即可【详解】解：A、抛掷一枚硬币，可能正面向上，也有可能反面向上，不是必然事件，不符合题意；B、在一个装有5只红球的袋子中摸出一个白球是不可能发生的，不是必然事件，不符合题意；C、任画一个三角形，它的内角和为，是必然事件，符合题意；D、如果，那么，是不可能发生的，不是必然事件，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了必然事件的定义，熟知定义是解题的关键．概率的意义概率表示事件发生的可能性的大小【例题】7. 下列说法正确的是（　　）A. 某彩票的中奖概率是，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等C. 因为 ，，所以长度为5，8，14的三条线段可以围成三角形D. 任意画一条线段，一定是轴对称图形【答案】D【解析】【分析】分别根据概率的意义，平行线的性质，三角形三边不等关系，轴对称图形的概念进行逐项分析即可．【详解】解：A. 某彩票的中奖概率是，那么如果买100张彩票不一定会有5张中奖，故该项不符合题意；B. 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该项不符合题意；C. 因为，所以长度为5，8，14的三条线段不可以围成三角形，故该项不符合题意；D. 线段是轴对称图形，故该项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查概率的意义，平行线的性质，三角形三边不等关系，轴对称图形的识别，熟练掌握相关概念是解题关键．8. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后，出现可能性大的是（ ）A. 小于3的点数 B. 大于3的点数 C. 小于5的点数 D. 大于5的点数【答案】C【解析】【分析】根据概率公式，分别求出各个选项的概率即可．【详解】解：A、；B、；C、；D、；∵，∴骰子停止后，出现可能性大的是小于5的点数，故选：C．【点睛】本题考查了等可能事件的概率，解题的关键是熟知概率计算的公式．9. 如图，是一个材质均匀的转盘，转盘分成8个全等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止(若指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形)，转动一次转盘，转盘停止后指针指向红色扇形的概率是_______． 【答案】##0.25【解析】【分析】求出红色扇形面积在整个圆中的面积占比即可得到答案【详解】解：∵转盘分成8个全等的扇形，其中红色扇形占2份，∴转动一次转盘，转盘停止后指针指向红色扇形的概率是，故答案为：．【点睛】本题考查了几何概率的求法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．【练经典】10. 下列说法正确的是（ ）A. 了解“某市初中生每天课外阅读书籍时间的情况”最适合的调查方式是全面调查B. “任意画一个三角形，其内角和是”这一事件是不可能事件C. 甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，，则甲的成绩比乙稳定D. 从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校的男生引体向上成绩不及格【答案】B【解析】【分析】直接利用抽样调查以及三角形内角和定理、方差、中心对称图形的定义、抽取样本要具有代表性分别分析得出答案．【详解】解：A、了解“某市初中生每天课外阅读书籍时间的情况”最适合的调查方式是抽样调查，故此选项不符合题意；B、“任意画一个三角形，其内角和是”这一事件是不可能事件，正确，故此选项符合题意；C、甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，，则乙的成绩比甲稳定，故此选项不符合题意；D．从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，样本容量太小，不具有代表性，不能说明该校的男生引体向上成绩不及格，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了抽样调查以及事件分类、方差、抽取样本容量要具有代表性，正确把握相关定义是解题关键．11. 某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”．比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序，主持人将表示出场顺序的数字1，2，3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法中正确的是（ ）A. 小星抽到数字1的可能性最小 B. 小星抽到数字2的可能性最大C. 小星抽到数字3的可能性最大 D. 小星抽到每个数的可能性相同【答案】D【解析】【分析】算出每种情况的概率，即可判断事件可能性的大小．【详解】解：每个数字抽到的概率都为：，故小星抽到每个数的可能性相同．故选：D．【点睛】本题主要考查利用概率公式求概率，正确应用公式是解题的关键．12. 从一副扑克牌中任意抽取1张，则下列事件：（1）这张牌是“红色的”；（2）这张牌是“红心”的；（3）这张牌是“大王”；（4）这张牌是“A”；发生可能性最大的是（只填写序号）________．【答案】（1）【解析】【分析】分别求出抽出各种扑克的概率，即可比较出各种扑克的可能性大小．【详解】解：从一副扑克牌中任意抽取一张，（1）这张牌是“红色的”的概率为； （2）这张牌是“红心”的概率为； （3）这张牌是“大王”的概率为； （4）这张牌是“A”的概率为； 故发生可能性最大的是（1）．故答案为：（1）．【点睛】本题考查了可能性大小的判断，解决此类题要注意具体情况具体对待，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．13. 如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在______色区域的概率最大 【答案】蓝【解析】【分析】通过比较4个区域圆心角的大小，进而得出答案．【详解】解：由游戏转盘划分区域的圆心角度数可得，蓝色区域的圆心角最大，∴蓝色区域的面积最大，∴指针落在蓝色区域内的概率最大．故答案为：蓝．【点睛】此题主要考查运用概率公式求解几何图形中的概率，正确理解概率的求法是解题关键．概率的计算1．概率计算公式：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，那么出现每一种结果的概率都是．如果事件A包括其中的种可能的结果，那么事件A发生的概率．2．列表法中表格构造特点3．树形图的画法【例题】14. 端午节是我国四大传统节日之一，吃粽子是端午节的传统习俗，端午节这天小颖的妈妈买了只红豆粽和只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小颖从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是（　　）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据概率公式直接求解即可．【详解】解：只红豆粽和只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小颖从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是故选：B．【点睛】本题考查了概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．15. 一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由图可得，该地砖由9个小正方形组成，其中黑色区域共有5个小正方形，且这些小正方形的面积都相等，再用概率公式进行计算即可得到答案．【详解】解：由图可得，该地砖由9个小正方形组成，其中黑色区域共有5个小正方形，且这些小正方形的面积都相等，该小球停留在黑色区域的概率是：，故选：D．【点睛】本题主要考查了几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．16. 一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数.将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为，掷第二次，将朝上一面的点数记为，则点（）落在直线上的概率为：A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】列举出所有情况，看落在直线y=-x+5上的情况占总情况的多少即可．【详解】解：共有36种情况，落在直线y=-x+5上的情况有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）4种情况，概率是，故选C．17. 二维码的图案主要由黑，白两种小正方形组成．现对由4个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，则恰好涂成两个黑色和两个白色的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意画树状图，利用概率公式求解即可.【详解】解：将涂成黑色的正方体记为，将涂成白色的正方体记为，依据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有16种情况，其中恰好涂成两个黑色和两个白色的有6种情况，恰好涂成两个黑色和两个白色的概率为：．故选：C．【点睛】本题考查了树状图法和概率公式，解题的关键在于熟练掌握概率公式，概率所求情况总情况．18. 为迎接党的二十大胜利召开，某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有人．为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计、整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．七、八年级抽取学生的测试成绩统计表八年级抽取学生的测试成绩条形统计图 （1）填空： ___________， __________；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．【答案】（1）8，8 （2）该校七、八年级中，七年级的学生党史知识掌握得较好，理由是七年级学生成绩的众数高于八年级学生成绩的众数； （3）估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数是700人； （4）【解析】【分析】（1）根据众数和中位数的定义进行求解即可；（2）根据众数进行分析解答即可；（3）各年级的总人数乘以优秀率，再进行求和即可；（4）画出树状图，找到满足要求的情况数和总的情况数，利用概率公式求解即可．【小问1详解】由题意可知，七年级抽取学生的成绩中出现次数最多的是8，共出现了8次， 众数为8，故，由八年级抽取学生的测试成绩条形统计图可知，处在中间位置的是8，故中位数是8，故，故答案为：8，8【小问2详解】该校七、八年级中，七年级的学生党史知识掌握得较好，理由是七年级学生成绩的众数高于八年级学生成绩的众数；【小问3详解】（人），答：估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数是700人；【小问4详解】设七年级获得10分的学生为A，八年级获得10分的学生为B、C、D，画树状图如下： 被选中的2人恰好是七、八年级各1人的情况数共有6种，总的情况数是12种，故被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率为．【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率，众数和中位数等知识，熟练掌握树状图或列表法求概率是解题的关键．【练经典】19. 毛毛的电子邮箱密码由八个数字或字母组合而成，其中每个数字都是从中任选的，毛毛只记得前七位的组合，第八位只记得是一个偶数，那么毛毛一次随机试验就能解锁密码的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】记毛毛一次随机试验就能解锁密码为事件A，根据列举法得出第六个数字必须为偶数，可以为0，2，4，6，8共5种，根据概率公式即可求解．【详解】记毛毛一次随机试验就能解锁密码为事件A．根据题意，每个数字为0~9中任意一个，毛毛记得前七个数字，第八个数字必须为偶数，可以为0，2，4，6，8共5种，而正确的只有其中一个，所以．故选：B．【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题关键．20. 一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字1，1，2，4，5，5．若随机投掷一次小正方体，则朝上一面数字是5的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据求概率公式求解即可．【详解】解：随机投掷一次小正方体，一共有6种等可能的结果，其中朝上一面数字是5的有两种，∴随机投掷一次小正方体，朝上一面数字是5的概率为，故选：D．【点睛】本题考查简单事件的概率计算，理解题意，根据概率公式正确求解是解答的关键．21. 小华在如图所示的正方形网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意知，阴影部分的面积为，正方形面积为，则飞镖落在阴影区域的概率为．【详解】解：由题意知，阴影部分的面积为，正方形面积为，∴飞镖落在阴影区域的概率为，故选：A．【点睛】本题考查了几何概率．解题的关键在于求解阴影部分的面积．22. 如图所示的是张背面相同的卡片，卡片正面画有常见的生活现象，现将所有卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好都是化学变化图案的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将四种生活现象分别记作、、、，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：将四种生活现象分别记作、、、，列表如下： 由表知共有种等可能结果，其中这两张卡片正面恰好都是化学变化图案的有种结果，这两张卡片正面恰好都是化学变化图案的概率为，故选：A．【点睛】本题主要考查列表法与树状图法求概率，解题的关键是根据题意利用表格或树状图列举出所有等可能结果，并从中找到符合条件的结果数．23. 如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被二等分，分别标有数字，2；转盘B被三等分，分别标有数字3，0，．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘），那么点落在平面直角坐标系第二象限的概率是______． 【答案】【解析】【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：列表如下：由表可知，共有6种等可能，其中点落在直角坐标系第二象限的有1种，所以点落在直角坐标系第二象限的概率是，故答案为：．【点睛】本题主要考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．24. 为丰富学生课后服务社团活动，某中学组建了：A声乐，B绘画，C舞蹈，D跳绳，这四类学生活动社团，要求每人必须参加且只参加一类活动，学校随机抽取部分学生进行调查，以了解学生参团情况，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）扇形统计图中，区域所对应的扇形圆心角的度数是___________；（2）将条形统计图补充完整；并估计该中学2000名学生中参与跳绳社团的学生人数；（3）校园艺术节时，学校将从符合条件的4名社团学生（男女各2名）中随机选择两名学生担任开幕式主持人．请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率．【答案】（1）108° （2）见解析，500人 （3）【解析】【分析】（1）算出调查的总人数，然后求出B的占比，再乘以即可；（2）利用调查总人数减去被调查的参与其余三类的学生人数，即可得到参与A类型的学生人数，将条形统计图补充完成即可；再利用参加跳绳社团的学生占比乘以该中学2000名学生，即可解答；（3）列出表格，根据概率公式，即可解答．【小问1详解】解:被调查的学生人数为人，区域所对应的扇形圆心角的度数是，故答案为：；【小问2详解】解： 参与A类型的学生人数为人，如图，补全条形图如下： 该中学2000名学生中参与跳绳社团的学生人数为（人），答：该校2000名学生中参与跳绳社团的学生人数为500人．【小问3详解】解：用男1和男2分别表示两名男生，用女1和女2分别表示两名女生，根据提议，列表如下：由表可知，从4名学生中选2名学生，总共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同．其中所评选2名学生为1名男生1名女生的结果有8种，所以恰好选中1名男生和1名女生的概率．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图的结合，用样本估计总体，利用列表法求概率，正确地求出利用条形统计图和扇形统计图计算出各类型的人数是解题的关键．频率与概率的关系1．两者都能定量地反映随机事件可能性的大小，但频率具有随机性，概率是自身固有的性质，不具有随机性．2．用大量重复试验中随机事件发生的稳定频率无限接近概率．【例题】25. 从某郁金香种子中抽取7批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下表：根据以上数据，该郁金香种子发芽的概率约为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】7批次种子粒数从100粒大量的增加到3000粒时，种子发芽的频率趋近于，所以估计种子发芽的概率为，精确到，即为．【详解】解：种子粒数3000粒时，种子发芽的频率趋近于，估计种子发芽的概率为，精确到，即为．故选：C．【点睛】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．掌握概率公式：概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．26. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.6左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）A. 6 B. 8 C. 12 D. 15【答案】C【解析】【分析】设红球的个数为x个，根据摸出红球的频率稳定在0.6左右列出关于x的方程，求解即可解答．【详解】解：设红球的个数为x个，根据题意，得：，解得：，即袋子中红球的个数最有可能是12，故选：C．【点睛】本题考查利用频率估计概率、简单的概率计算，熟知经过多次实验所得的频率可以近似认为是事件发生的概率是解题关键．27. 木箱里装有仅颜色不同的9个红球和若干个蓝球，随机从木箱里摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次的重复实验，发现摸到红球的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝球有________个．【答案】6【解析】【分析】根据频率估算概率，设蓝球有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．详解】设蓝球有x个，根据题意得：，解得：，经检验是原方程的解，则估计木箱中蓝色球有6个．故答案为：6．【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，概率公式，关键是根据蓝色球的频率得到相应的等量关系．28. （1）某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表：则这名运动员在此条件下击中靶心的概率大约是 （精确到0.01）．（2）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，则这个袋中白球的个数最有可能是 ． （3）如图，现有若干个边长相等的小等边三角形组成的图形，其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示）在空白的三角形中只涂黑一个小三角形，使整个图案成轴对称图形的概率是 ． 【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）随着射击次数增多，击中靶心的频率越来越稳定，所以可以把击中靶心的频率作为击中靶心的概率值．（2）随着试验次数增多，摸到白球的频率越来越稳定，于是可以把摸到白球的频率作为摸到白球的概率，据此可求得白球的个数．（3）根据概率的计算公式求解即可．【详解】（1）随着射击次数增多，击中靶心的频率越来越稳定，所以可以把击中靶心的频率作为击中靶心的概率值，观察表格数据可知，击中靶心的概率大约是．故答案为：．（2）随着试验次数增多，摸到白球的频率越来越稳定，于是可以把摸到白球的频率作为摸到白球的概率，观察统计图可知，摸到白球的概率为，所以袋中白球的个数(个)．故答案为：．（3）只涂黑一个小三角形的所有可能结果的总数为，并且它们出现的可能性相等，使整个图案成轴对称图形的涂法（记为事件）的结果有种，因此．故答案为：．【点睛】本题主要考查概率的计算、用频率估计概率，牢记概率的计算公式以及用频率估计概率的方法是解题的关键．【练经典】29. 不透明的盒子中装有红、白两色的小球共n（n为正整数）个，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，不断重复这一过程．下图显示了用计算机模拟实验的结果．下面有三个推断：①随着实验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；②若盒子中装40个小球，可以根据本次实验结果，估算出盒子中有红球14个；③若再次进行上述摸球实验，则当摸球次数为200时，“摸到红球”的频率一定是0.40．所有合理推断的序号是（ ）A. ①② B. ② C. ①③ D. ①②③【答案】A【解析】【分析】根据概率公式和摸到红球的频率示意图分别对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】①随着实验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35，故本选项推理符合题意；②若盒子中装40个小球，可以根据本次实验结果，估算出盒子中有红球个，故本选项推理符合题意；③若再次进行上述摸球实验，则当摸球次数为200时，“摸到红球”的频率也还是0.35，故本选项推理不符合题意．故选：A．【点睛】此题考查了求某事件的频率，利用频率估计概率，根据概率求数量等，解题的关键是要明确大量反复试验下频率稳定值即概率．30. 不透明的黑袋子里放有个黑球和若干个白球（黑白两球仅有颜色不同），老师将全班学生分成个小组，进行摸球试验，在经过大量重复摸球试验中，统计显示，从中摸出白球的频率稳定在附近，则袋子里放了（ ）个白球．A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设袋子里面放了x个白球，根据题意可知摸出白球的概率为，由此根据概率计算公式建立方程求解即可．【详解】解：设袋子里面放了x个白球，由题意得，，解得，经检验，是原方程的解，∴袋子里面放了2个白球，故选：D．【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键．31. 历史上数学家皮尔逊曾在实验中掷均匀的硬币200次，正面朝上的次数是110次，频率约为，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是_______．【答案】##【解析】【分析】根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可．【详解】解：当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在左右，∴掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，熟练掌握大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率是解答本题的关键．32. 如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下：（1）下列说法错误的是______（填写序号）．①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域；②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数；③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10.（2）求表中，的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）；（3）修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的可能性相同，写出一种方案即可．【答案】（1）①③ （2）0.3 （3）将一个绿色区域改为蓝色区域【解析】【分析】（1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案；（2）根据频率可得，的值，再利用频率来估计概率即可；（3）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同．【小问1详解】解：①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针不一定指向绿色区域，故本选项说法错误；②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数，故本选项说法正确；③转动60次，指针指向蓝色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误；故答案为：①③．【小问2详解】，，【小问3详解】将一个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同．【点睛】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．新考法【跨学科综合小练】33. 同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取的实验中，与的原子个数比为，与的原子个数比为，若实验恰好完全反应生成，则反应生成的概率（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据反应的化学方程式，画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出反应生成的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：反应的化学方程式为：，与的原子个数比为，与的原子个数比为，反应后生成的中来自于反应物，而来自于反应物，共有6种等可能的结果数，其中反应生成的结果数为2，反应生成的概率为，故选：B． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．34. 小明在学完物理“电学”知识后，进行“灯泡亮了”的实验，设计了如图所示的电路图，电路图上有5个开关和一个小灯泡，当开关闭合时，再同时闭合开关或都可以使小灯泡发亮． （1）当开关已经闭合时，再任意闭合开关中一个，小灯泡能亮起来的概率是____；（2）当开关已经闭合时，再任意闭合开关中的两个，请用列表或画树状图的方法求小灯泡能亮起来的概率．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）直接用概率公式求解即可；（2）画树状图分析所有结果总数与闭合开关和或和的结果数，再用概率公式计算即可．【小问1详解】解：，答：小灯泡能亮起来的概率是．【小问2详解】解：画树状图如下 ： 由图可知，所有可能发生的结果共有12种，能使灯泡亮的共有4种，所以小灯泡能亮起来的概率为．答：小灯泡能亮起来的概率为．【点睛】本题考查用概率公式和用画树状图可列表法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．【实际应用小练】35. 2023年2月27日，全省教育工作会议召开，会议提出实施铸魂育人提升工程，全面提升学生综合素质．为落实会议精神，教务处组织综合实践活动小组的同学们针对“七年级学生最关心的问题”，在全校七年级学生中进行了问卷调查，调查表如图所示，调查表全部收回，且全部有效、统计过程中，调查小组将结果绘制成图1和图2统计图（均不完整），请根据图中提供信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了 名学生；（2）将图1补充完整，图2中表示学生最关心“课余生活”的圆心角度数为 度；（3）该小组要根据调查结果总结汇报，假如你是小组成员，请结合两个统计图，写出一条你获取的信息；（4）已知甲、乙、丙、丁、戊五名学生都最关心“学习成绩”，若从这五人中随机先后选取两人参加“作业布置和完成情况”单独面谈，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲，乙两人的概率．【答案】（1）300 （2）见解析，126 （3）七年级学生最关心“课余生活”的人数最多；七年级学生最关心 “学习成绩”的人数占；七年级学生最关心“热点时事”的人数最少 （4）见解析，【解析】【分析】（1）用最关心问题D人数除以其所占百分比，即可求解；（2）用调查总人数分别减去最关心A、C、D、E的人数，即可求解；（3）根据两个统计图所给数据，进行分析即可；（4）根据题意，列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可．【小问1详解】解：（人）；故答案为：300．【小问2详解】解：最关心问题D的人数为：（人）补全条形统计图如图所示； 学生最关心“课余生活”的圆心角度数为，故答案为：126．【小问3详解】解：答案不唯一．例如：七年级学生最关心“课余生活”的人数最多；七年级学生最关心 “学习成绩”的人数占；七年级学生最关心“热点时事”的人数最少．【小问4详解】解：列表如下：由列表可知，从这五人中随机先后选取两人总共有20种结果，每种结果出现的可能性都相同，其中恰好选中甲，乙两人的结果有2种．所以．【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，用列表或画树状图的方法求概率，解题的关键是正确理解题意，从统计图中获取需要数据，掌握用用列表或画树状图的求概率的方法．事件必然事件随机事件不可能事件事件发生的可能性1234561（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）年级七年级八年级平均数88众数a7中位数8b优秀率230 一二男1男2女1女2男1（男2，男1）（女1，男1）（女2，男1）男2（男1，男2）（女1，男2）（女2，男2）女1（男1，女1）（男2，女1）（女2，女1）女2（男1，女2）（男2，女2）（女1，女2）种子粒数100300500700100020003000发芽种子粒数8023940355980215942403发芽频率射击总次数n101002005001000击中靶心次数m986168426849击中靶心频率m / n0.90.860.840.8520.849转动转盘的次数200300400100016002000转到黄色区域的频数7293130334532667转到黄色区域的频率0.360.3250.33250.3335七年级学生最关心的问题问卷调查表亲爱的同学：你好！这是一份关于七年级学生最关心的问题的问卷调查表，采用无记名方式，请在表格中选择一项你最关心的内容，在其后空格内打“√”，非常感谢你的合作！代码内容选项A师长意见B学习成绩C课余生活D热点时事E朋友交流甲乙丙丁戊甲（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）（戊，甲）乙（甲，乙）（丙，乙）（丁，乙）（戊，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）（丁，丙）（戊，丙）丁（甲，丁）（乙、丁）（丙、丁）（戊，丁）戊（甲，戊）（乙，戊）（丙，戊）（丁，戊）