广东省广州市增城区2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份广东省广州市增城区2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题学校：派潭中学 命题人：李强 审题人：李荆库、陈学妮、梁榕基
本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据并集的运算，可得答案.
【详解】由题意，，
故选：D.
2. 已知函数，则的值是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据题中所给的分段函数解析式，将多层函数值从内向外求解，根据自变量的范围，选择相应的式子，代入求解.
【详解】因为，所以，
，
故选B.
【点睛】该题考查的是有关分段函数求值的问题，在求解的过程中，需要注意多层函数值需要从内向外求解，属于简单题目.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可
【详解】解：当时，，
而当时，或，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
4. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断函数单调性，再根据零点存在定理将端点值代入，即可判断零点所在区间.
【详解】由于均为增函数，
所以为定义域上的增函数，
,
根据零点存在定理,
零点在区间内.
故选：C
5. 设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指对数函数的性质判断a，b，c的大小即可.
【详解】因为，
所以.
故选：B
6. 已知角终边经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义计算即可.
【详解】因为角终边过点,所以,,,所以,
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数的定义，是基础题.
7. 声强级（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：W/），一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB，蝙蝠发出超声波的声强级为140dB，设蝙蝠发出的超声波的声强为，人能忍受的最高声强为，则=（ ）
A. 10B. 100C. 1000D. 10000
【答案】B
【解析】
【分析】先得到，分别代入dB和120dB，求出，求出答案.
【详解】由得到，
将dB代入得：，
将dB代入得：，
故.
故选：B
8. 已知曲线的周期为，，则下面结论正确的是（ ）
A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
【答案】C
【解析】
【分析】先根据周期为，求出，再根据伸缩变换和平移变换，得到相应的曲线方程，选出正确答案.
【详解】曲线的周期为，故，故，
A选项，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到，A错误；
B选项，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，B错误；
C选项，把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，C正确；
D选项，把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，D错误.
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设全集，若集合，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据包含关系和交并补的定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，，A正确；
对于B，，，B正确；
对于C， ，，C正确；
对于D，当时，，D错误.
故选：ABC.
10. 在下列函数中，即是偶函数又在上单调递增的函数的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性与单调性结合基本初等函数的性质逐项判断即可.
【详解】解：函数，定义域为，所以为偶函数，又时，，所以函数在上单调递增的函数，故A符合；
函数是定义在上的偶函数，又函数在上单调递减的函数，故B不符合；
函数是定义在上的奇函数，故C不符合；
函数，定义域为，所以为偶函数，又时，，所以函数在上单调递增的函数，故D符合；
故选：AD.
11. 下列几种说法中，正确是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则的最小值是
D. 若，则的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用不等式的性质可判断A B，根据基本不等式可判断C D.
【详解】因为，不等式两边同乘，则两边同乘，则，所以A正确.
时，所以B错误.
时，的符号不确定，所以不能用基本不等式求最值，所以C错误.
因为，，当且仅当时等号成立，所以D正确.
故选：AD
12. 已知函数，，下列结论正确的是（ ）
A. 是奇函数
B. 若在定义域上是增函数，则
C. 若的值域为，则
D. 当时，若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意，结合函数的奇偶性、单调性、值域，将分段函数分情况讨论，逐一判断即可．
【详解】解：当时，，，；
当时，，，，
则函数为奇函数，故A正确；
若在定义域上是增函数，则，即，故B不正确；
当时，在区间上单调递增，此时值域为，
当时，在区间上单调递增，此时值域为．
要使的值域为，则，即，故C正确；
当时，由于，则函数在定义域上是增函数，
由，得，则，，，
解得，故D不正确．
故选：AC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的定义域为________________
【答案】
【解析】
【详解】要使函数有意义，
则，
所以函数的定义域为，
故答案为.
14. 若，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用求得所求表达式的值.
【详解】.
故答案为：
15. 函数在上不单调，则实数k的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数在上不单调，可得函数的对称轴属于区间，从而解出的取值范围即可．
【详解】解：根据题意，二次函数的对称轴为，
函数在上不单调，
，即，则实数k的取值范围为.
故答案为：．
16. 设函数 ，方程有四个不相等的实数根，由小到大分别为，，，，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】不防令，由题意的图象是关于对称的，可得．助于的图象可以得到，之间的关系，最终将表示成的函数，根据函数的单调性求最值即可．
【详解】时，，在与上的图象关于对称，
作出图象如图：不妨令，
可得，，，
，，，
，
设，，故在单调递增，
，故的取值范围为
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知函数.
（1）若函数的图像过点，求b的值：
（2）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，求a的值．
【答案】（1）1； （2）.
【解析】
【分析】（1）将点代入函数解析式即可求出的值；
（2）根据函数的单调性，结合条件列出方程即可求出的值.
【小问1详解】
因为函数图像过点，
所以，
即；
【小问2详解】
因为，函数在区间上的最大值与最小值的差为2，
因为，故在上是增函数，
所以，
解得.
18. 已知，β都是锐角，
（1）；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由切化弦，再由倍角公式及平方关系可求；
（2）由弦化切，结合倍角公式及正切和差公式可求.
【小问1详解】
，
【小问2详解】
∵，β都是锐角，∴，又，∴，∴.
，.
∴
19. 已知函数是定义在上的奇函数
（1）求a值：
（2）判断并证明函数的单调性？
（3）求不等式的解集
【答案】（1）；
（2）函数在上单调递增；详见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的定义可得的值；
（2）利用单调性定义证明即可；
（3）根据的奇偶性和单调性即得.
【小问1详解】
函数的定义域为，
因为奇函数，所以，
所以，
所以，
所以；
【小问2详解】
函数在上单调递增.
下面用单调性定义证明：
任取，且，则
，
因为在上单调递增，且，所以，
又，
所以，
所以函数在上单调递增；
【小问3详解】
因为为奇函数，所以，
由，可得，
又函数在上单调递增，
所以，即，
解得，
所以不等式的解集为.
20. 如图，某地一天从4~18时温度变化曲线近似满足函数．
（1）求A，b，，；
（2）为响应国家节能减排的号召，建议室温室25°C以上才开空调，求在内，该地适宜开空调的时间段．
【答案】（1）10；20；；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据图象及三角函数的图象性质求解；
（2）在定义域内解函数不等式.
【小问1详解】
根据图象，，，
∵，∴，
由当，，解得.
【小问2详解】
由（1）得，，
∵，则，由，即，得.
故.
∴适宜开空调的时间段为
21. 已知函数的最大值为．
（1）求常数a的值；
（2）若函数f(x)在[，m]上只有两个零点，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据三角函数的两角和与差公式化简得正弦型函数，由最大值可求得结果.
（2）函数f(x)在[，m]上只有两个零点，即在[，m]上只有两个零点，由，求得，数形结合可得的范围，进而求得结果.
【小问1详解】
根据三角函数的两角和与差公式可得：
由于函数的最大值是，所以
即
【小问2详解】
，
[，m]上只有两个零点，
，
.
.
22. 为了给空气消毒，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，环境中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到给空气消毒的作用．
（1）若一次喷洒4个单位的消毒剂，则消毒时间约达几小时？
（2）若第一次喷洒2个单位的消毒剂，3小时后再喷洒2个单位的消毒剂，设第二次喷洒t小时后空气中消毒剂浓度为g（t）（毫克/立方米），其中
①求g(1)的表达式：
②求第二次喷洒后的3小时内空气中消毒剂浓度的最小值．
【答案】（1）10小时
（2）35.73
【解析】
【分析】（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，
浓度，分类讨论解出即可
（2）①由题意可得（），求即可；②由于利用基本不等式可求出其最小值
【小问1详解】
根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度
则当时，由，即得，所以，
当时，由，得，得，所以，
综上，，
所以一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达小时.
【小问2详解】
①由题意可知，第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后的浓度为
（毫克/立方米），
所以第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为
（），
②
（），
（毫克/立方米）
，当且仅当，即时取等号，
所以第二次喷洒小时内空气中净化剂浓度达到最小值毫克/立方米