（寒假）2025年中考数学一轮复习巩固练习+随堂检测 第09练 二次函数图象性质与应用（2份，原卷版+教师版）

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A．B．C．D．
【答案】B
2.已知，二次数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
3.如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴，
∵抛物线与x轴交于点和点，∴抛物线对称轴为直线，故②正确；
∴，∴，∴，故①错误；
由函数图象可知，当时，抛物线的函数图象在x轴上方，
∴当时，，故③正确；
∵抛物线对称轴为直线且开口向下，∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误；
∵抛物线对称轴为直线且开口向下，∴当时，抛物线有最大值，
∴，∴，故⑤正确；综上所述，正确的有②③⑤，故选C．
5.在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值B．最大值C．最小值D．最小值
【答案】D
【详解】解：将代入二次函数解析式得：，解得：，，
∵二次函数，对称轴在轴左侧，即，∴，∴，
∴，∴当时，二次函数有最小值，最小值为，故选：．
6.如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，对称轴是直线，下列结论中，①；②点B的坐标为；③；④对于任意实数m，都有，所有正确结论的序号为（ ）

A．①②B．②③C．②③④D．③④
【答案】C
【详解】解：∵抛物线开☐向下，∴，故①错误，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴，∴，
设点B坐标为∵抛物线对称轴为直线，点A的坐标为， ∴，解得：，
∴点B的坐标为，故②正确，
∵点A的坐标为，点B的坐标为，∴
∴由得，即，故③正确；
∵，抛物线对称轴为直线，∴当时，时函数最大值，
当时，，∴，即，
综上所述：正确的结论有②③④，故选：C．
7.一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．

(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长．
【答案】(1)y关于x的函数表达式为
(2)运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为
【详解】（1）解：由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，设抛物线的表达式为，
∴，解得，∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：令，则，解得（负值舍去），
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为．
8.电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系（其中，且x为整数）．当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？
【答案】(1)（其中，且x为整数）
(2)当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由已知得，解得，
因此y与x之间的函数关系式为（其中，且x为整数）；
（2）解：设每周销售这款玩具所获的利润为W，由题意得，
，W关于x的二次函数图象开口向上，
，且x为整数，当时，W取最大值，最大值为1800，
9.某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，投资B项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：．
(1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？
(2)若对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？
(3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
【答案】(1)4万元
(2)
(3)当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．
【详解】（1）解：∵投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，
当时，（万元）；
（2）∵对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，
∴，整理得：，解得：，（不符合题意），∴m的值为8．
（3）设投入到B项目的资金为万元，则投入到A项目的资金为万元，设总收益为y万元，∴，
而，∴当时，（万元）；
∴当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．
二次函数图象性质与应用 随堂检测
1.二次函数图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
2.已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为B．顶点坐标为
C．函数的最大值是－3D．函数的最小值是－3
【答案】C
3.如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的个数是（ ）

A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【详解】解：根据二次函数图象可知：，，，∴，∴，故①不正确；
将点，代入得出：，得出：，∴，
再代入得出：，故②不正确；
∵，∴，，∵，∴，根据图象可知：，故③正确；
∵方程，∴，
∴方程无解，故④不正确；正确的个数是1个，故选：D．
4.已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④若点和点在该图象上，则．其中正确的结论是（ ）

A．①②B．①④C．②③D．②④
【答案】D
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，
∴，，，∴，∴，故①不符合题意；
∵对称轴为直线，∴当与时的函数值相等，∴，故②符合题意；
∵当时函数值最大，∴，∴；故③不符合题意；
∵点和点在该图象上，而，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，∴．故④符合题意；故选：D．
5.将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
【答案】2或4/4或2
【分析】先求出抛物线向下平移1个单位长度后与的交点坐标，然后再求出新抛物线经过原点时平移的长度．
【详解】解：抛物线向下平移1个单位长度后的解析式为，
令，则，解得，，
∴抛物线与的交点坐标为和，
∴将抛物线向右平移2个单位或4个单位后，新抛物线经过原点．
故答案为：2或4．
6.二次函数的最大值是 ．
【答案】
7.商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量（台）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？
【答案】(1)
(2)护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元
【详解】（1）解：由题意设，
由表知，当时，；当时，；
以上值代入函数解析式中得：，解得：，
所以y与x之间的函数关系式为；
（2）解：设销售利润为W元，则，
整理得：，由于销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，则，
∵，，∴当时，W随x的增大而增大，
∴当时，W有最大值，且最大值为2400；
答：当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元．
8.某商场销售两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元．
(1)求两种商品的销售单价．
(2)经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)的销售单价为元、的销售单价为元
(2)当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元
（1）解：设的销售单价为元、的销售单价为元，则
，解得，答：的销售单价为元、的销售单价为元；
（2）解：种商品售价不低于种商品售价，，解得，即，
设利润为，则，
，在时能取到最大值，最大值为，
当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元．
销售单价（元）
…
50
60
70
…
月销量（台）
…
90
80
70
…