福建省福清中学2024-2025学年高二上学期12月周测数学试卷

这是一份福建省福清中学2024-2025学年高二上学期12月周测数学试卷，共10页。试卷主要包含了已知直线平分圆的周长，则等内容，欢迎下载使用。
1．已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（ C ）
A．B．
C．D．
2．已知直线平分圆的周长，则（ A ）
A．2B．4C．6D．8
3．若数列为等差数列，为数列的前n项和，，，则的最小值为（ B ）
A．B．C．D．
4．若点为坐标原点，点为曲线上任意一点，，则点的轨迹方程为（ B ）
A．B．C．D．
5. 如图所示，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（ C ）
A. B. C. D.
6.已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线为切点，当的最大值为，则的值为（ D ）
A 4 B. C. 1 D.
7． 设椭圆的左右两个焦点分别为，右顶点为为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率为（ B ）

8．已知数列的前项和为，，，且关于的不等式有且仅有4个解，则的取值范围是（D ）
A．B．
C．D．
二､多项选择题：（本大题共3个小题，每个小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ AC ）
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 直线的方向向量，平面的法向量，则
C. 已知直线经过点，则到的距离为
D. 若，则为钝角
10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A(－2，0)，B(4，0)．点P满足EQ \F(|PA|,|PB|)＝EQ \F(1,2)，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（ ABD ）
A．C的方程为(x＋4)2＋y2＝16
B．在C上存在点D，使得D到点(1，1)的距离为3
C．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|
D．C上的点到直线3x－4y－13＝0的最小距离为1
11． 已知数列的前项和为则下列说法正确的是（AD ）
A．是等比数列
B．
C．中存在不相等的三项构成等差数列
D．若，则的取值范围为
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 直线，，当时，直线与之间的距离为________.
13. 已知点是抛物线上一点，点是抛物线的焦点，为上异于的两动点，且，则的最小值为____11______.
14.如图，棱长为4的正方体中，点为中点，点在正方体内（含表面）运动，且满足，则点在正方体内运动所形成的图形的面积为 ；若在正方体内有一圆锥，圆锥底面圆内切于正方形，圆锥顶点与正方体上底面中心重合，则点运动所形成的图形截圆锥表面得到的椭圆的离心率为 .
；.
四､解答题（本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
(1)， (2)，.
【详解】（1）由，则当时
两式相减得，所以.
将代入得，，
所以对于，故是首项为2，公比为2的等比数列，
所以.
（2）.
，
因为当时，当时，
所以当时，，
当时，.
故.
16. 已知双曲线的左､右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3.
（1）求双曲线的方程；
（2）过且斜率不为0直线与双曲线交于两点，为坐标原点，证明为定值，并求出该定值.
由题意可得，则直线的斜率，直线的斜率.
因为直线的斜率之积为3，所以，解得.
因为点在双曲线上，所以，解得.
故双曲线的方程为.
【小问2详解】
设直线.
联立，整理得
，则，且所以.
所以为定值，定值为
17.如图，四棱锥的底面是梯形，平面.
(1)求证：平面平面；
(2)在棱上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为平面，平面，所以，
因为，所以，
所以，
又因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）因为平面，，所以平面，
又因为平面，所以，又，
所以两两互相垂直，
所以以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
如图，，
设，
则，
，设平面的法向量为，
则，即，取，满足条件，
所以可取，
，，设平面的法向量为，
则，即，取，解得，
所以，
由题意，
化简并整理得，解得或（舍去），
所以，
18．已知数列对于任意都有．
(1)求数列的通项公式．
(2)设数列前n项和为，求．
(3)证明：，
(1)(2)
【详解】（1）因为①，
当时，②，
由①②，得到，所以，
又时，，得到，满足，
所以数列的通项公式为.
（2）由题意，
所以③，得到④，
由③④，得到，
所以.
（3）因为，，所以时，，
当时，，
当时，，
当时，
，
综上，，.
19. 极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应的极线为.已知椭圆的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合，对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线，，的斜率分别为，，（，，均存在）.
（1）求极线的方程；
（2）求证：；
（3）已知过点且斜率为2的直线与椭圆交于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.
由椭圆的长轴长为，
则，解得，
又因为椭圆左焦点与抛物线的焦点重合，
所以，解得.
所以椭圆的方程为.
由题意可知，对于椭圆，
极点对应的极线的方程为，即.
【小问2详解】
证明：设，由题意知过的直线的斜率必存在，
故设直线，，
联立方程，消去得，
，
，即，
所以，，
则
.
又，所以，得证.
【小问3详解】
当中有横坐标为时，纵坐标为，
则或，
直线或与椭圆相切，不符合题意，所以的斜率都存在.
由（2）得，，又，
所以，所以是和的交点.
因为，所以，设，
则，所以，直线的方程为，
即，
令得，所以恒过定点.