2023-2024学年上海市浦东新区浦东模范中学八年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年上海市浦东新区浦东模范中学八年级（上）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x21B．x2+1＝（x﹣1）2
C．x2＝2D．2x2﹣1＝y
3．（2分）下列函数中，函数值y随x的增大而增大的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）已知三点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（1，﹣2）都在反比例函数的图象上，若x1＜0＜x2，则下列式子正确的是（ ）
A．y1＜y2＜0B．y1＜0＜y2C．y1＞y2＞0D．y1＞0＞y2
5．（2分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．，，B．4，5，6C．7，14，15D．9，12，15
6．（2分）下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数．它们的逆命题成立的个数是（ ）
A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个
二、填空题（每题2分，共24分）
7．（2分）化简得 ．
8．（2分）化简： ．
9．（2分）二次根式的有理化因式可以是 ．
10．（2分）方程﹣4x＝x2的解为 ．
11．（2分）在实数范围内分解因式：x2﹣3x﹣2＝ ．
12．（2分）已知：，那么f（5）＝ ．
13．（2分）如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃（靠墙处不用篱笆），中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为19米（恰好用完），围成的大长方形花圃的面积为24平方米，设垂直于墙的一段篱笆长为x米，可列出方程为 ．
14．（2分）平面内到点O的距离等于3厘米的点的轨迹是 ．
15．（2分）已知点A（3，3），B（0，t），C（7，0），且AB＝AC，则t＝ ．
16．（2分）如图，DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，则∠DAE＝ °．
17．（2分）对于任意正数m，n，定义运算※如下：m※n计算（3※2）×（8※12）的结果为 ．
18．（2分）如图，在△ABC中，，，BC＝6，点P为边BC上一点，点P关于直线AB的对称点为点Q，连接PQ、CQ，PQ与边AB交于点D．当∠BQC＝90°时，则CQ＝ ．
三、计算题（每题5分，共30分）
19．（5分）计算：．
20．（5分）计算：．
21．（5分）解方程
（2x﹣1）2＝3（1﹣2x）
22．（5分）解方程：2x2+4x﹣11＝0．
23．（5分）已知关于x的方程x2+2kx+（k﹣2）2＝2x．
（1）此方程有一个根为0时，求k的值和此方程的另一个根；
（2）此方程有实数根时，求k的取值范围．
24．（5分）已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例．当x＝1时，y＝7；当x＝2时，y＝5．求y关于x的函数表达式．
四、解答题（6分+6分+6分+7分+9分，共34分）
25．（6分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，计划2020年底，全省5G基站数量将达到6万座，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
26．（6分）有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．如图所示是反映所挖河渠长度y（米）与挖掘时间x（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：
（1）乙队开挖到30米时，用了 小时；开挖6小时时，甲队比乙队多挖了 米；
（2）请你写出：
①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式 ；
②乙队在0≤x≤2的时段内，y与x之间的函数关系式 ；
（3）开挖6小时后，甲、乙两个工程队的挖掘效率不变，如果两段河渠长度都为80米时，请计算说明甲比乙早几小时完工？
27．（6分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，MN是AD的垂直平分线，交AD于点M，交AB于点N．求证：．
28．（7分）在平面直角坐标系中，直线yx经过点A（m，2），反比例函数y（k≠0）的图象经过点A和点B（8，n）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直线yx上有一点C，使得S△ABC，直接写出点C的坐标．
29．（9分）如图，已知，等边三角形ABC的边长是4，D是边BC上的一个动点（与点B、C不重合），连接AD，作AD的垂直平分线分别与边AB、AC交于点E、F．
（1）△BDE和△DCF的周长之和为 ；
（2）设CD为x，△BDE的周长为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△CDF是直角三角形时，求CD的长．
2023-2024学年上海市浦东新区浦东模范中学八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题2分，共12分）
1．（2分）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】将选项中的各个数化到最简，即可得到哪个数与是同类二次根式，本题得以解决．
【解答】解：∵2，，，3，
∴与是同类二次根式的是，
故选：D．
【点评】本题考查同类二次根式，解题的关键是明确什么是同类二次根式，注意要将数化到最简，再找哪几个数是同类二次根式．
2．（2分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x21B．x2+1＝（x﹣1）2
C．x2＝2D．2x2﹣1＝y
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：A．等号左边是分式，不属于一元二次方程，不符合题意；
B．化简以后不含二次项，不属于二元二次方程，不符合题意；
C．是一元二次方程，符合题意；
D．含有两个未知数，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的定义，一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
3．（2分）下列函数中，函数值y随x的增大而增大的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由一次函数和反比例函数的增减性判断．
【解答】解：A、∵0，
∴函数yx的函数值y随x的增大而减小，故选项A错误，不符合题意；
B、∵0，
∴函数yx的函数值y随x的增大而增大，故选项B正确，符合题意；
C、∵k＝1＞0，
∴函数y在第一象限和第三象限内的函数值y随x的增大而减小，故选项C错误，不符合题意；
D、∵k＝﹣1＜0，
∴函数y在第二象限和第四象限内的函数值y随x的增大而增大，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的增减性，解题的关键是熟知一次函数和反比例函数的增减性和系数之间的关系．
4．（2分）已知三点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（1，﹣2）都在反比例函数的图象上，若x1＜0＜x2，则下列式子正确的是（ ）
A．y1＜y2＜0B．y1＜0＜y2C．y1＞y2＞0D．y1＞0＞y2
【分析】先求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质求解即可．
【解答】解：∵点P3（1，﹣2）在反比例函数的图象上，
∴，解得k＝﹣2，
∴反比例函数解析式为，
∵点P1（x1，y1），P2（x2，y2）都在反比例函数的图象上，x1＜0＜x2，
∴y1＞0＞y2，
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
5．（2分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．，，B．4，5，6C．7，14，15D．9，12，15
【分析】直接利用勾股定理逆定理进行判断即可．
【解答】解：A、，不符合题意；
B、42+52≠62，不符合题意；
C、72+142≠152，不符合题意；
D、92+122＝152，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了用勾股定理逆定理判定直角三角形，解题关键是牢记判定方法：如果一个三角形的两条较短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
6．（2分）下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数．它们的逆命题成立的个数是（ ）
A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：①对顶角相等逆命题是相等的角是对顶角，不成立；
②全等三角形的对应边相等逆命题是对应边相等的三角形是全等三角形，成立；
③如果两个实数是正数，它们的积是正数逆命题是如果两个数的积是正数，那么这两个数是正数，不成立．
故选：B．
【点评】本题主要考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
二、填空题（每题2分，共24分）
7．（2分）化简得 ．
【分析】根据化简二次根式的步骤，应用二次根式的基本性质化简即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质和化简，要熟练掌握，化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
8．（2分）化简： π﹣3 ．
【分析】二次根式的性质：a（a≥0），根据性质可以对上式化简．
【解答】解：π﹣3．
故答案为：π﹣3．
【点评】本题考查的是二次根式的性质和化简，根据二次根式的性质，对代数式进行化简．
9．（2分）二次根式的有理化因式可以是 ．
【分析】运用平方差公式可找到的有理化因式．
【解答】解：∵，
∴的有理化因式为．
故答案为：．
【点评】本题考查有理化因式，解题的关键是两个含有根号的代数式相乘，使它们的积不含有根式．
10．（2分）方程﹣4x＝x2的解为 x1＝0，x2＝﹣4 ．
【分析】根据解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答．
【解答】解：﹣4x＝x2，
x2+4x＝0，
x（x+4）＝0，
x＝0或x+4＝0，
x1＝0，x2＝﹣4，
故答案为：x1＝0，x2＝﹣4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．
11．（2分）在实数范围内分解因式：x2﹣3x﹣2＝ ．
【分析】首先令x2﹣3x﹣2＝0，利用公式法即可求得此一元二次方程的解，继而可将此多项式分解．
【解答】解：令x2﹣3x﹣2＝0，
则a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，
∴x，
∴x2﹣3x﹣2．
故答案为：．
【点评】本题考查实数范围内的因式分解．注意掌握公式法解一元二次方程的知识．
12．（2分）已知：，那么f（5）＝ 5 ．
【分析】令x＝5，代入式子即可求出结果．
【解答】解：f（5）5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了函数值的问题，解题的关键是将数值代入来求出结果．
13．（2分）如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃（靠墙处不用篱笆），中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为19米（恰好用完），围成的大长方形花圃的面积为24平方米，设垂直于墙的一段篱笆长为x米，可列出方程为 x（19﹣3x）＝24 ．
【分析】若设垂直于墙的一段篱笆长为x米，则平行于墙的一段篱笆长为（19﹣3x）米，根据围成的大长方形花圃的面积为24平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：若设垂直于墙的一段篱笆长为x米，则平行于墙的一段篱笆长为（19﹣3x）米，
依题意得：x（19﹣3x）＝24．
故答案为：x（19﹣3x）＝24．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（2分）平面内到点O的距离等于3厘米的点的轨迹是 以点O为圆心，3厘米长为半径的圆 ．
【分析】只需根据圆的定义就可解决问题．
【解答】解：平面内到点O的距离等于3厘米的点的轨迹是以点O为圆心，3厘米长为半径的圆．
故答案为：以点O为圆心，3厘米长为半径的圆．
【点评】本题主要考查的是圆的定义，其中圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
15．（2分）已知点A（3，3），B（0，t），C（7，0），且AB＝AC，则t＝ 7或﹣1 ．
【分析】利用勾股定理求得AB、AC的长度，然后结合已知条件AB＝AC列出关于t的方程，解方程即可．
【解答】解：依题意，得．
解得t＝7或t＝﹣1．
故答案为：7或﹣1．
【点评】本题主要考查了勾股定理和两点间的距离公式，解方程时注意：t的值有2个．
16．（2分）如图，DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，则∠DAE＝ 40 °．
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝70°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据等腰三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣110°＝70°，
∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝70°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝40°，
故答案为：40．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
17．（2分）对于任意正数m，n，定义运算※如下：m※n计算（3※2）×（8※12）的结果为 2 ．
【分析】根据定义新运算可得：（）×（），然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
（3※2）×（8※12）
＝（）×（）
＝（）×（22）
＝2×（）（）
＝2×（3﹣2）
＝2×1
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，理解定义新运算是解题的关键．
18．（2分）如图，在△ABC中，，，BC＝6，点P为边BC上一点，点P关于直线AB的对称点为点Q，连接PQ、CQ，PQ与边AB交于点D．当∠BQC＝90°时，则CQ＝ ．
【分析】首先由勾股定理的逆定理可得出∠ACB＝90°，由直角三角形的性质可得∠ABC＝30°，再根据轴对称图形的性质及等腰三角形的性质，可求出∠BCQ＝30°，由直角三角形的性质得出，再由勾股定理可得出答案．
【解答】解：∵，，BC＝6，
∴，，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵，，
∴，
∴∠ABC＝30°，
∵点P关于直线AB的对称点为点Q，
∴BD垂直平分PQ，
∴PB＝BQ，
∴∠QBD＝∠PBD＝30°，
∴∠PBQ＝60°，
∵∠BQC＝90°，
∴∠QCB＝90°﹣∠CBQ＝90°﹣60°＝30°，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，轴对称图形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
三、计算题（每题5分，共30分）
19．（5分）计算：．
【分析】根据二次根式的性质将，，进行化简后，再根据二次根式加减法的计算方法进行计算即可．
【解答】解：原式＝45
．
【点评】本题考查二次根式的加减法，掌握二次根式的性质以及二次根式加减法的计算方法是正确解答的关键．
20．（5分）计算：．
【分析】先根据绝对值，零指数幂进行计算，同时分母有理化，再根据二次根式的加法和减法法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝5﹣21
＝5﹣21+（2）2
＝5﹣21+5+4+4
＝13+2．
【点评】本题考查了零指数幂，分母有理化和二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
21．（5分）解方程
（2x﹣1）2＝3（1﹣2x）
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程变形得（2x﹣1）2+3（2x﹣1）＝0，
分解因式得：（2x﹣1）（2x﹣1+3）＝0，
可得2x﹣1＝0或2x+2＝0，
解得：x1，x2＝﹣1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
22．（5分）解方程：2x2+4x﹣11＝0．
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答．
【解答】解：2x2+4x﹣11＝0，
x2+2x0，
x2+2x，
x2+2x+11，
（x+1）2，
x+1＝±，
x1＝﹣1，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
23．（5分）已知关于x的方程x2+2kx+（k﹣2）2＝2x．
（1）此方程有一个根为0时，求k的值和此方程的另一个根；
（2）此方程有实数根时，求k的取值范围．
【分析】（1）将x＝0代入原方程，解之即可求出k值．
（2）根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出Δ＝8k﹣12≥0，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：（1）将x＝0代入原方程得（k﹣2）2＝0，
∴k＝2，
∴方程为x2+2x＝0，
x（x+3）＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣2，
∴另一个根为x＝﹣2；
（2）∵关于x的方程x2+2kx+（k﹣2）2＝2x有实数根，
∴Δ＝[2（k﹣1）]2﹣4（k﹣2）2＝8k﹣12≥0，
解得：k．
故k的取值范围是k．
【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）将x＝0代入原方程求出k值；（2）根据方程有实数根，找出Δ＝8k﹣12≥0．
24．（5分）已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例．当x＝1时，y＝7；当x＝2时，y＝5．求y关于x的函数表达式．
【分析】首先根据题意，分别表示出应表示出y1与x，y2与x的函数关系式，再进一步表示出y与x的函数关系式，然后根据已知条件，得到方程组，即可求解．
【解答】解：∵y1与x成正比例，y2与x成反比例，
∴y1＝kx，y2．
∵y＝y1+y2，
∴y＝kx，
∵当x＝1时，y＝7；当x＝2时，y＝5，
∴7＝k+m，5＝2k，
解得k＝1，m＝6．
∴y＝x．
【点评】本题考查了待定系数法确定反比例函数和正比例函数的解析式的方法，解决本题的关键是得到y与x的函数关系式，需注意两个函数的比例系数是不同的．
四、解答题（6分+6分+6分+7分+9分，共34分）
25．（6分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，计划2020年底，全省5G基站数量将达到6万座，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
【分析】设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年及2022年底全省5G基站的数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，
依题意，得：6×（1+x）2＝17.34，
解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（不合题意，舍去）．
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26．（6分）有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．如图所示是反映所挖河渠长度y（米）与挖掘时间x（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：
（1）乙队开挖到30米时，用了 2 小时；开挖6小时时，甲队比乙队多挖了 10 米；
（2）请你写出：
①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式 y＝10x ；
②乙队在0≤x≤2的时段内，y与x之间的函数关系式 y＝15x ；
（3）开挖6小时后，甲、乙两个工程队的挖掘效率不变，如果两段河渠长度都为80米时，请计算说明甲比乙早几小时完工？
【分析】（1）通过观察图象作答即可；
（2）①②利用待定系数法求解即可；
（3）利用待定系数法求出乙队在2＜x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；当x＞6时，分别令两队的函数值为80，解方程求出对应x的值并求其差值即可．
【解答】解：（1）根据图象可知，乙队开挖到30米时，用了2小时；
开挖6小时时，甲队挖了60米，乙队挖了50米，
60﹣50＝10（米），
∴开挖6小时时，甲队比乙队多挖了10米，
故答案为：2，10．
（2）①设y＝kx（k为常数，且k≠0）．
将x＝6，y＝60代入y＝kx，
得6k＝60，解得k＝10，
∴甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式为y＝10x，
故答案为：y＝10x．
②设y＝k1x（k1为常数，且k1≠0）．
将x＝2，y＝30代入y＝k1x，
得2k1＝30，解得k1＝15，
∴乙队在0≤x≤2的时段内，y与x之间的函数关系式为y＝15x．
（3）10x＝80，解得x＝8，
∴当河渠长度为80米时，甲需要8小时可以完工．
设乙队在2＜x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式为y＝k2x+b（k2、b为常数，且k2≠0）．
将x＝2，y＝30和x＝6，y＝50代入y＝k2x+b，
得，解得，
∴乙队在2＜x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式为y＝5x+20．
5x+20＝80，解得x＝12，
∴当河渠长度为80米时，乙需要12小时可以完工．
12﹣8＝4（小时），
∴如果两段河渠长度都为80米时，甲比乙早4小时完工．
【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数关系式是解题的关键．
27．（6分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，MN是AD的垂直平分线，交AD于点M，交AB于点N．求证：．
【分析】过D点作DH⊥AB于H点，连接DN，如图，先根据角平分线的定义和角平分线的性质得到∠BAD∠BAC＝15°，DC＝DH，再根据线段垂直平分线的性质得到NA＝ND，则根据等腰三角形的性质得到∠NDA＝∠NAD＝15°，接着利用三角形外角性质得到∠DNH＝30°，则根据含30度角的直角三角形三边的关系得到DHDN，然后利用等线段代换得到结论．
【解答】证明：过D点作DH⊥AB于H点，连接DN，如图，
∵∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴∠BAD∠BAC＝15°，DC＝DH，
∵MN是AD的垂直平分线，
∴NA＝ND，
∴∠NDA＝∠NAD＝15°，
∴∠DNH＝∠NDA+∠NAD＝30°，
在Rt△DNH中，DHDN，
而DN＝AN，DC＝DH，
∴CDAN．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了角平分线的性质．
28．（7分）在平面直角坐标系中，直线yx经过点A（m，2），反比例函数y（k≠0）的图象经过点A和点B（8，n）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直线yx上有一点C，使得S△ABC，直接写出点C的坐标．
【分析】（1）先依据题意，把点A（m，2）代入yx求出m，再把点A的坐标代入y求出k即可；
（2）依据题意，连接AB、OB，分别过A，B作AG⊥OH于G，作BH⊥OH于H，先求出点B的坐标，再结合A，可得S△AOB＝S△AOG+S梯形AGHB﹣S△BOH，进而可以计算得解；
（3）依据题意，点C可能在A的上方或下方两种情形，进而分析计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意，∵直线yx经过点A（m，2），
∴2．
∴m＝4．
∴A（4，2）．
∵反比例函数y的图象经过点A，
∴2．
∴k＝8．
∴反比例函数解析式为y．
（2）如图，连接AB、OB，分别过A，B作AG⊥OH于G，作BH⊥OH于H．
∵B（8，n）在反比例函数y上，
∴n＝1．
∴B（8，1）．
∵A（4，2），
∴S△AOB＝S△AOG+S梯形AGHB﹣S△BOH
OG•AG（AG+BH）•GHOH•BH
4×2（2+1）×48×1
＝4+6﹣4
＝6．
∴S△AOB＝6．
（3）由题意，作图如下．
①C在A上方．作CE⊥OH于E．
∵S△ABC，
∴AC•hOA•h．
∴ACOA．
∴．
∵CE⊥OH，AG⊥OH，
∴AG∥CE．
∴．
∴CEAG3，OEOG6．
∴C（6，3）．
②当C在A下方时，作CD⊥OH．
∵S△ABC，
∴AC•hOA•h．
∴ACOA．
∵CD⊥OH，AG⊥OH，
∴AG∥CD．
∴．
∴ODOG2，CDAG1．
∴C（2，1）．
综上，C（6，3）或（2，1）．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
29．（9分）如图，已知，等边三角形ABC的边长是4，D是边BC上的一个动点（与点B、C不重合），连接AD，作AD的垂直平分线分别与边AB、AC交于点E、F．
（1）△BDE和△DCF的周长之和为 12 ；
（2）设CD为x，△BDE的周长为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△CDF是直角三角形时，求CD的长．
【分析】（1）由等边三角形的性质得AB＝BC＝AC＝4，再由线段垂直平分线的性质得AE＝DE，AF＝DF，然后得出△BDE的周长+△DCF的周长BC+AC+AB，即可求解；
（2）求出△BDE的周长＝BE+DE+BD＝AB+BD，得出y＝8﹣x，再由4﹣x＞0，且x＞0，得出0＜x＜4；
（3）分两种情况，①∠CFD＝90°时，由含30°角的直角三角形的性质得CFCDx，则DFx，再由DF+CF＝AF+CF＝AC＝4，得xx＝4，求解即可；
②∠CDF＝90°时，由含30°角的直角三角形的性质得CF＝2CD＝2x，则DFx，再由DF+CF＝AF+CF＝AC＝4，得x+2x＝4，求解即可．
【解答】解：（1）∵等边三角形ABC的边长是4，
∴AB＝BC＝AC＝4，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE＝DE，AF＝DF，
∴△BDE的周长+△DCF的周长＝BE+BD+DE+CD+DF+CF＝BC+AC+AB＝4+4+4＝12，
故答案为：12；
（2）∵CD＝x，BC＝4，
∴BD＝4﹣x，
∵DE＝AE，
∴△BDE的周长＝BE+DE+BD＝BE+AE+BD＝AB+BD，
∴y＝4+4﹣x＝8﹣x，
即y关于x的函数解析式为y＝8﹣x，
∵4﹣x＞0，
∴x＜4，
又∵x＞0，
∴0＜x＜4；
（3）∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
分两种情况：
①当∠CFD＝90°时，如图1所示：
则∠CDF＝90°﹣∠C＝30°，
∴CFCDx，
∴DFx，
∵DF+CF＝AF+CF＝AC＝4，
∴xx＝4，
解得：x＝44，
即CD＝44；
②当∠CDF＝90°时，如图2所示：
则∠CFD＝90°﹣∠C＝30°，
∴CF＝2CD＝2x，
∴DFx，
∵DF+CF＝AF+CF＝AC＝4，
∴x+2x＝4，
解得：x＝8﹣4，
即CD＝8﹣4；
综上所述，当△CDF是直角三角形时，CD的长为44或8﹣4．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质以及三角形周长的计算等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证出AE＝DE，AF＝DF是解题的关键，属于中考常考题型．
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2
3
4
5
6
答案
D
C
B
D
D
B