初中数学湘教版（2024）七年级上册（2024）第3章 一次方程（组）*3.8 三元一次方程组教学设计

这是一份初中数学湘教版（2024）七年级上册（2024）第3章 一次方程（组）*3.8 三元一次方程组教学设计，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学用具等内容，欢迎下载使用。
一、教学目标
1.经历三元一次方程组解法的探索过程，进一步体会“化未知为已知”的化归思想.
2.会用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组，进一步体会“消元”的思想.
3.教会学生面对三元一次方程组时，选择适当的解法，以提高运算的效率.
4.感受“三元”化归到“二元”，再由“二元”化归到“一元”的数学思想，使学生真正体验到数学的应用价值.
二、教学重难点
重点：掌握三元一次方程组的解法.
难点：三元一次方程组如何化归到二元一次方程组.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
教学过程设计
环节一 创设情境
【复习回顾】
教师活动：引导学生复习二元一次方程及方程组的概念，巩固解方程组的基本思路.
问题1：什么是二元一次方程？
预设：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.
追问：什么是二元一次方程组？
预设：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.
问题2：解二元一次方程组有哪些方法？
预设：代入消元法和加减消元法.
追问：解二元一次方程组的基本思路是什么？
预设：将二元一次方程组消元转化为一元一次方程.
提问：若含有3个未知数的方程组该如何求解呢？
设计意图：通过问题串，引导学生复习已学知识，为新课的学习做准备，同时激发学生的学习兴趣，点明本章所要解决的主要问题.
环节二 探究新知
【思考】
已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的2倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数.
分析：在上述问题中，设甲数为x，乙数为y，丙数为z，找出等量关系，列出对应的方程.
甲数+乙数+丙数=23
x+y+z=23. ①
（2）甲数-乙数=1
x-y=1. ②
甲数的2倍+乙数-丙数=20
2x+y-z=20. ③
由题意知，三个数必须同时满足上述三个方程，故将三个方程联立在一起.
方程组：x+y+z=23,x−y=1,2x+y−z=20.
提问：这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？
归纳：在这个方程组中，x+y+z=23和2x+y-z=20都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程.
像这样，含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程组叫作三元一次方程组.
三元一次方程组必备条件：
(1)是整式方程；
(2)共含三个未知数；
(3)三个都是一次方程；
注意：方程组中共有三个未知数即可，不必每个方程都是三元一次方程.
设计意图：通过问题引入，引发学生思考与讨论，激发学生的学习兴趣.在此基础上通过类比的方法引出三元一次方程组的概念.
【做一做】
已知一个三位数的个位数字是十位数字与百位数字之和的 2 倍，百位数字是十位数字的 3 倍，三位数字之和为 12，这个三位数是什么？设个位数字x，十位数字为y，百位数字为z，请列出这个方程组.
分析：等量关系：(1) 个位数字＝2(十位数字＋百位数字)
百位数字＝3×十位数字，(3) 个位数字 + 十位数字 + 百位数字＝12.
根据题意，所求方程组为x=2(y+z),z=3y,x+y+z=12.
对于未知数为 x， y，z 的三元一次方程组，若x， y，z 分别用数 c1，c2，c3 代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把 (c1，c2，c3 ) 叫作这个方程组的一个解.记住x=c1,y=c2,z=c3.
【思考】
解二元一次方程组的思路是通过消元将其转化为一元一次方程来求解，这种思路是否适合解三元一次方程组呢？
以x+y+2z=3,①−2x−y+z=−3,②x+2y−4z=−5 .③为例来探究三元一次方程组的解法.
如何解这个方程组呢？
解：将方程①两边都乘2，得2x+2y+4z=6 . ④
④+②，得 y+5z=3 . ⑤
①-③，得 -y+6z=8 . ⑥
解由方程⑤和⑥组成的二元一次方程组，得y=-2，z=1.
把y=-2，z=1代入方程①，得x=3.
因此，x=3,y=−2,z=1是原三元一次方程组的解.
思考：解三元一次方程组的基本思路是什么？
通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
设计意图：类比二元一次方程组的求解思路，提示解三元一次方程组的思路，让学生进一步体会化未知为已知的化归思想：通过“消元”，将“三元”化成“二元”，把新问题化归成已经会解决的问题.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师活动：提出问题，学生先独立思考，然后再小组交流探讨.教师板书一道例题书写过程，其余题目可由学生代表板书完成，最终教师展示答题过程.
例1 解三元一次方程组：5x+4y+z=0,3x+y−4z=1,x+y+z=−2.
解：③×5－①，得y＋z＝－10. ④
③×3－②，得 2y＋7z＝－7. ⑤
④×2－⑤，得 z＝－13.
把 z 用－13 代入方程④，得y＝42.
把 y 用42，z 用－13 代入方程③，得 x＝－31.
因此，x=−31,y=42,z=−13是原三元一次方程组的解.
注意：消元的方法仍是代入消元法或加减消元法.检验可以口算或在草稿纸上演算，可不必写出！
例2 解三元一次方程组：5x−3y+2z=−15,①2x−y+3z=−9,②3x+y−5z=−14.③
解：②×3－①，得x＋7z＝－12. ④
②＋③，得 5x－2z＝－23. ⑤
④×5－⑤，得 37z＝－37.
两边都除以 37，得z＝－1.
把 z 用－1 代入方程④，得x＝－5.
把 x 用 －5，z 用－1 代人方程②，得 y＝－4.
因此，x=−5,y=−4,z=−1是原三元一次方程组的解.
【做一做】
自己动手求出本节开篇“做一做”栏目中的三位数.
x=2(y+z),①z=3y,②x+y+z=12.③
解：③-①，得y+z=4 . ④
④-②，得4y=4 .
两边都除以4，得y=1 .
把y用1代入方程②，得z=3 .
把z用3，y用1代入方程③，得x=8 .
因此，这个三位数是318.
设计意图：通过例题与做一做环节，巩固解三元一次方程组的解法及基本思路.
环节四 巩固新知
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.解下列三元一次方程组：
(1)x+y=7,①2y+z=6,②x−z=7.③ (2)2x+5y+z=−11,①3x−2y+5z=24,②x+3y+4z=−15.③
解：(1) ②+③，得 x+2y=13. ④
④-①，得y=6.
把y用6代入方程①，得x=1.
把x用1代入方程③，得z=-6.
因此，x=1,y=6,z=−6是原三元一次方程组的解.
(2) ③×2-①，得y+7z=-19. ④
③×3-②，得11y+7z=-69. ⑤
⑤-④，得10y=-50，
两边同时除以10，得y=-5.
把y用-5代入方程④，得z=-2.
把z用-2，y用-5代入方程③，得x=8.
因此，x=8,y=−5,z=−2是原三元一次方程组的解.
2. 有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年龄之和为15岁，乙、丙的年龄之和为16岁，丙、甲的年龄之和为17岁，则甲、乙、丙三人的年龄分别为多少岁？
解：设甲、乙、丙三人的年龄分别为 x 岁，y 岁，z 岁，
则x+y=15,y+z=16,x+z=17
解得x=8,y=7,z=9
答：甲、乙、丙三人的年龄分别为8岁，7岁，9岁.
设计意图：通过练习，加深对三元一次方程组解法的理解和掌握，提高了学生解答问题的能力，进一步加强了学生对本章内容的掌握程度，拓展了学生的思维.
环节五 课堂小结
以思维导图的形式呈现：
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.