广东省茂名市直属学校八年级（上）期末数学试卷（含详细解析）

这是一份广东省茂名市直属学校八年级（上）期末数学试卷（含详细解析），共33页。
B．
C．2π
D．0.3232232223…（相邻两个3之间2的个数逐次加1）
2．（3分）点A（3，﹣2）关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣2，3）
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（ ）
A．6厘米B．8厘米C．厘米D．厘米
5．（3分）如果是方程ax+（a﹣8）y＝0的一组解，则a的值是（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
6．（3分）已知n是整数，则能使|n﹣|取最小值的是（ ）
A．4B．3C．2D．1
7．（3分）如图，直线l1∥l2，被直线l3、l4所截，并且l3⊥l4，∠1＝44°，则∠2等于（ ）
A．56°B．36°C．44°D．46°
8．（3分）甲、乙、丙、丁四个同学在玩推理游戏，要找出谁在数学测评中获奖．甲说：“是乙获奖．”乙说：“是丙获奖．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正我没有获奖．”如果这四个同学中只有一个人说了实话，请问是谁获奖（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
9．（3分）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且自信地对乌龟说：这次我让你先跑一段距离我再去追．这次兔子认真比赛，终于夺冠．则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，点CE＝1，AC＝4，则下列结论一定正确的个数是（ ）
①∠CDE＝∠DFB； ②BD＞CE； ③BC＝CD； ④△DEC与△BDF的周长相等．
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填写在题中横线上）
11．（4分）实数﹣27的立方根是 ．
12．（4分）点P（﹣2，）在第 象限．
13．（4分）给出下列四个命题：①以2cm、3cm、4cm为边长能构成直角三角形；②在x轴上的点，其纵坐标都为0；③直线y＝﹣2x+6的图象不经过第三象限；④若a＞b，则|a|＞|b|；其中是真命题的序号有 ．
14．（4分）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P，则关于x、y的二元一次方程组的解是 ．
15．（4分）本年度某单位常有集体外出学习活动，因此准备与出租车公司签订租车协议．现有甲、乙两家出租车公司供选择．设每月行驶x千米，应付给甲公司y1元，应付给乙公司y2元，y1、y2分别与x之间的函数关系如图所示，若这个单位估计每月需要行驶的路程为3500千米，那么为了省钱，这个单位应租 公司．
16．（4分）如图所示，在△ABC中，∠B＝50°，∠DAC和∠ACF是此三角形的两个外角，则∠DAC+∠ACF＝ °．
17．（4分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右→向下→向右→向上→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2，…，第n次移动到点An，则点A2022的坐标是 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：．
19．（6分）解方程组：
20．（6分）如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC，∠1＝∠2，请说明：∠F＝∠CBF．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）为了应对新冠肺炎疫情，做好防控工作，我市某校开学前拟为教职工购买口罩，计划购买普通口罩和N95口罩共4200个，已知每个普通口罩的价格为0.5元，每个N95口罩的价格为5元．
（1）若购买这两类口罩的总金额为3000元，求两种口罩各购买了多少个？
（2）为弘扬“好心茂名”精神，某企业决定给采购口罩的学校实行以下优惠：普通口罩每购满100个减10元，每个N95口罩打7折．若按（1）中的购买数量，实行优惠后学校需要支付多少钱？
22．（8分）已知点P（2，3）是第一象限内的点，直线PA交y轴于点B（0，2），交x轴于点A，连接OP．
（1）求直线PA的表达式．
（2）求△AOP的面积．
23．（8分）某学校八（2）班组织了一次数学速算比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩（10分制）如图所示统计图所示．
（1）此次比赛，甲队中获得8分的人数是 人；
（2）观察统计图，甲队成绩的众数是 分，乙队成绩的中位数是 分；
（3）请列式计算甲队成绩的平均分；
（4）已知甲队的方差是1.4，乙队的平均分是9分，求乙队成绩的方差，并判断哪队成绩较平稳．（参考公式：s2＝）
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．
（1）求正方形ABCD的面积；
（2）求点C，D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（10分）已知在△DEF中，∠E+∠F＝70°现将△DEF放置在△ABC上，使得∠D的两条边DE，DF分别经过点B、C．
（1）如图①所示，若∠A＝50°，且BC∥EF时，∠ABC+∠ACB＝ 度，∠DBC+∠DCB＝ 度，∠ABD+∠ACD＝ 度；
（2）如图②，改变△ABC的位置，使得点D在△ABC内，且BC与EF不平行时，请探究∠ABD+∠ACD与∠A之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论；
（3）如图③，改变△ABC的位置，使得点D在△ABC外，且BC与EF不平行时，请探究∠ABE、∠ACF、∠A之间存在怎样的数量关系，请直接写出你的结论．
2020-2021学年广东省茂名市直属学校八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案代号填在下面表格中）
1．（3分）下列各数中，不是无理数的是（ ）
A．0.5
B．
C．2π
D．0.3232232223…（相邻两个3之间2的个数逐次加1）
【考点】无理数；算术平方根．
【答案】A
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，进行判断即可．
【解答】解：A、0.5不是无理数，符合题意；
B、是无理数，不符合题意；
C、2π是有理数，不符合题意；
D、0.3232232223…（相邻两个3之间2的个数逐次加1）是无理数，不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了无理数的定义，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式．
2．（3分）点A（3，﹣2）关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣2，3）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【答案】A
【分析】①关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
【解答】解：∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴点A（3，﹣2）关于x轴的对称点为（3，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】二次根式的加减法；二次根式的乘除法．
【答案】D
【分析】根据二次根式的加减法、乘除法运算法则，二次根式的性质与化简逐项计算判断即可．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（3分）直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（ ）
A．6厘米B．8厘米C．厘米D．厘米
【考点】勾股定理．
【答案】D
【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，
∴斜边长＝＝13（厘米），
∴斜边上的高＝＝（厘米）．
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
5．（3分）如果是方程ax+（a﹣8）y＝0的一组解，则a的值是（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
【考点】二元一次方程的解．
【答案】B
【分析】将方程的解代入得到关于a的方程，从而可求得a的值．
【解答】解：∵是方程ax+（a﹣8）y＝0的一组解，
∴3a+（a﹣8）＝0，
解得a＝2．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是二元一次方程的解的定义，得到关于a的一元一次方程是解题的关键．
6．（3分）已知n是整数，则能使|n﹣|取最小值的是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【考点】估算无理数的大小；绝对值．
【答案】C
【分析】先根据绝对值的非负性得出当时，|n﹣|的值最小，然后估算的取值范围，即可求出满足条件的整数n的值．
【解答】解：∵，
∴当时，|n﹣|的值最小，即n＝，
∵，
∴，
∴最接近的整数为2，
即能使|n﹣|取最小值的n取整数2，
故选：C．
【点评】本题考查了无理数的估算，绝对值，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
7．（3分）如图，直线l1∥l2，被直线l3、l4所截，并且l3⊥l4，∠1＝44°，则∠2等于（ ）
A．56°B．36°C．44°D．46°
【考点】平行线的性质；垂线．
【答案】D
【分析】依据l1∥l2，即可得到∠1＝∠3＝44°，再根据l3⊥l4，可得∠2＝90°﹣44°＝46°．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1＝∠3＝44°，
又∵l3⊥l4，
∴∠2＝90°﹣44°＝46°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
8．（3分）甲、乙、丙、丁四个同学在玩推理游戏，要找出谁在数学测评中获奖．甲说：“是乙获奖．”乙说：“是丙获奖．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正我没有获奖．”如果这四个同学中只有一个人说了实话，请问是谁获奖（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【考点】推理与论证．
【答案】D
【分析】若甲说的是真话，则乙是假话，丙说的是真话，和已知不符合．故甲说的是假话，不是乙获奖；若乙说的是真话，则丁说的也是真话，和已知不符合．故乙说的是假话，不是丙获奖．显然丙说的是真话，丁说的是假话，则是丁获奖．
【解答】解：本题可分三种情况：
①如果甲是真命题，则乙是假命题，丙是真命题，丁是真命题；显然与已知不符；
②如果甲是假命题，乙是真命题，则丙是假命题，丁是真命题；显然与已知不符；
③如果甲是假命题，乙是假命题，则丙是真命题，丁是假命题；在这种情况下，只有丙说了实话，而其他人都说了假话，因此这种情况符合题意．
在③的条件下，丁说了假话，因此丁一定获奖．
故选：D．
【点评】此题主要考查了推理与论证，此类题可以用假设的方法，进行分析排除．
9．（3分）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且自信地对乌龟说：这次我让你先跑一段距离我再去追．这次兔子认真比赛，终于夺冠．则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数的图象．
【答案】C
【分析】根据乌龟比兔子早出发，而后到终点逐一判断即可得．
【解答】解：由于乌龟比兔子早出发，而后到终点；
故C选项正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查函数图象，解题的关键是弄清函数图象中横、纵轴所表示的意义及实际问题中自变量与因变量之间的关系．
10．（3分）如图在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，点CE＝1，AC＝4，则下列结论一定正确的个数是（ ）
①∠CDE＝∠DFB；
②BD＞CE；
③BC＝CD；
④△DEC与△BDF的周长相等．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．
【答案】A
【分析】依据∠CDE+∠BDF＝135°，∠DFB+∠B＝135°，即可得到∠CDE＝∠DFB；依据CD＝＝2，CE＝1，即可得到BD＞CE；依据BC＝4，CD＝4，即可得到BC＝CD；依据△DCE的周长＝1+3+2＝4+2，△BDF的周长＝DF+BF+BD＝AF+BF+BD＝AB+BD＝4+（4﹣2）＝4+2，即可得出△DCE与△BDF的周长相等．
【解答】解：等腰直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°，
由折叠可得，∠EDF＝∠A＝45°，
∴∠CDE+∠BDF＝135°，∠DFB+∠BDF＝135°，
∴∠CDE＝∠DFB，故①正确；
由折叠可得，DE＝AE＝3，
∴CD＝＝2，
∴BD＝BC﹣DC＝4﹣2＞1，
∴BD＞CE，故②正确；
∵BC＝4，CD＝4，
∴BC＝CD，故③正确；
∵AC＝BC＝4，∠C＝90°，
∴AB＝4，
∵△DCE的周长＝1+3+2＝4+2，
由折叠可得，DF＝AF，
∴△BDF的周长＝DF+BF+BD＝AF+BF+BD＝AB+BD＝4+（4﹣2）＝4+2，
∴△DCE与△BDF的周长相等，故④正确；
故选：A．
【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填写在题中横线上）
11．（4分）实数﹣27的立方根是 ﹣3 ．
【考点】立方根．
【答案】见试题解答内容
【分析】由立方根的定义和乘方的关系容易得出结果．
【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，
∴实数﹣27的立方根是﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了立方根的定义、乘方的意义；熟练掌握立方根的定义是解决问题的关键．
12．（4分）点P（﹣2，）在第 二 象限．
【考点】点的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据四个象限内点的坐标符号可判定P点所在象限．
【解答】解：点P（﹣2，）在第二象限．
故答案为：二．
【点评】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
13．（4分）给出下列四个命题：①以2cm、3cm、4cm为边长能构成直角三角形；②在x轴上的点，其纵坐标都为0；③直线y＝﹣2x+6的图象不经过第三象限；④若a＞b，则|a|＞|b|；其中是真命题的序号有 ②③ ．
【考点】命题与定理；绝对值；一次函数的性质；勾股定理的逆定理．
【答案】②③．
【分析】根据勾股定理的逆定理判断①；根据各象限内的坐标特征和坐标轴上点的坐标特征判断②；根据一次函数的性质判断③；根据绝对值的定义判断④．
【解答】解：①∵22+32＝13≠42，∴以2cm、3cm、4cm为边长不能构成直角三角形，故命题是假命题；
②在x轴上的点，其纵坐标都为0，故命题是真命题；
③直线y＝﹣2x+6的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，故命题是真命题；
④3＞﹣4，而|3|＜|﹣4|，故原命题是假命题．
故四个命题是真命题的序号是②③．
故答案为：②③．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
14．（4分）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P，则关于x、y的二元一次方程组的解是 ．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【答案】．
【分析】先求出P点坐标，再利用数形结合即可得出结论．
【解答】解：∵点P在直线y＝x+2上，且点P的纵坐标为3，
∴3＝x+2，
解得x＝1，
∴P（1，3），
∴关于x、y的二元一次方程组的解是．
故答案为：．
【点评】本题考查的是一次函数与二元一次方程，能利用数形结合求出方程组的解是解题的关键．
15．（4分）本年度某单位常有集体外出学习活动，因此准备与出租车公司签订租车协议．现有甲、乙两家出租车公司供选择．设每月行驶x千米，应付给甲公司y1元，应付给乙公司y2元，y1、y2分别与x之间的函数关系如图所示，若这个单位估计每月需要行驶的路程为3500千米，那么为了省钱，这个单位应租 甲 公司．
【考点】一次函数的应用．
【答案】甲．
【分析】观察图象，当x＝3500时比较y1、y2的大小即可得出结论．
【解答】解：由图象可知，当x＝3500时，y1＜y2，
∴租甲公司省钱．
故答案为：甲．
【点评】本题考查一次函数的应用，从图象中获取有用的信息是解题的关键．
16．（4分）如图所示，在△ABC中，∠B＝50°，∠DAC和∠ACF是此三角形的两个外角，则∠DAC+∠ACF＝ 230 °．
【考点】三角形的外角性质．
【答案】230．
【分析】由三角形的外角性质可得∠DAC＝∠B+∠ACB，∠ACF＝∠B+∠BAC，再由三角形的内角和可得∠ACB+∠BAC＝130°，从而可求解．
【解答】解：∵∠DAC和∠ACF是△ABC的两个外角，
∴∠DAC＝∠B+∠ACB，∠ACF＝∠B+∠BAC，
∵∠B＝50°，
∴∠ACB+∠BAC＝180°﹣∠B＝130°，
∴∠DAC+∠ACF
＝∠B+∠ACB+∠B+∠BAC
＝2∠B+（∠ACB+∠BAC）
＝100°+130°
＝230°．
故答案为：230．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
17．（4分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右→向下→向右→向上→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2，…，第n次移动到点An，则点A2022的坐标是 （1011，﹣1） ．
【考点】轨迹；规律型：点的坐标．
【答案】（1011，﹣1）．
【分析】由题意可知，智能机器人的运动路径规律为每八次一个循环，再结合点的坐标即可求解．
【解答】解：由题意可知，智能机器人的运动路径规律为每八次一个循环，
即智能机器人从原点O出发，每运动8次到达点的横坐标增加4个单位长度，
∵2022÷8＝252……6，
∴智能机器人共运动了252个循环加6次，
则252×4+3＝1011，
∴此时A2022（1011，﹣1），
故答案为：（1011，﹣1）．
【点评】本题考查了轨迹，点的坐标﹣规律型，正确得出智能机器人的运动路径规律为每八次一个循环是解题的关键．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．
【答案】﹣15+6．
【分析】利用二次根式混合运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝2﹣6﹣（2+9﹣6）
＝﹣4﹣（11﹣6）
＝﹣4﹣11+6
＝﹣15+6．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，可利用乘法公式进行简化运算，正确的计算是解题的关键．
19．（6分）解方程组：
【考点】解二元一次方程组．
【答案】见试题解答内容
【分析】用加减法，先把y的系数转化成相同的或相反的数，然后两方程相加减消元，从而求出x的值，然后把x的值代入一方程求y的值．
【解答】解：，
①×3+②得：16x＝48，
解得：x＝3，
把x＝3代入①得：y＝2．
所以原方程组的解为．
【点评】解二元一次方程组的基本思想是消元．消元的方法有代入法和加减法，本题主要考查了加减消元法．
20．（6分）如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC，∠1＝∠2，请说明：∠F＝∠CBF．
【考点】平行线的性质．
【答案】证明见解析过程．
【分析】根据平行线的性质得出∠1＝∠C，得出∠C＝∠2，根据平行线的判定得出AF∥BC，再根据平行线的性质即可得出∠F＝∠CBF．
【解答】解：∵DE∥AC，
∴∠1＝∠C，（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2，
∴∠C＝∠2，（等量代换），
∴AF∥BC，（内错角相等，两直线平行），
∴∠F＝∠CBF．（两直线平行，内错角相等）．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定知识点，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）为了应对新冠肺炎疫情，做好防控工作，我市某校开学前拟为教职工购买口罩，计划购买普通口罩和N95口罩共4200个，已知每个普通口罩的价格为0.5元，每个N95口罩的价格为5元．
（1）若购买这两类口罩的总金额为3000元，求两种口罩各购买了多少个？
（2）为弘扬“好心茂名”精神，某企业决定给采购口罩的学校实行以下优惠：普通口罩每购满100个减10元，每个N95口罩打7折．若按（1）中的购买数量，实行优惠后学校需要支付多少钱？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【答案】（1）普通口罩购买了4000个，N95口罩购买了200个；
（2）按（1）中的购买数量，实行优惠后学校需要支付2300元钱．
【分析】（1）设普通口罩购买了x个，N95口罩购买了y个，根据购买普通口罩和N95口罩共4200个，购买这两类口罩的总金额为3000元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）求出普通口罩和N95口罩需要支付的费用，即可解决问题．
【解答】解：（1）设普通口罩购买了x个，N95口罩购买了y个，
由题意得：，
解得：，
答：普通口罩购买了4000个，N95口罩购买了200个；
（2）∵普通口罩需要支付：4000×0.5﹣4000÷100×10＝2000﹣400＝1600（元），
N95口罩需要支付：200×5×0.7＝700（元），
∴1600+700＝2300（元），
答：按（1）中的购买数量，实行优惠后学校需要支付2300元钱．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
22．（8分）已知点P（2，3）是第一象限内的点，直线PA交y轴于点B（0，2），交x轴于点A，连接OP．
（1）求直线PA的表达式．
（2）求△AOP的面积．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．
【答案】（1）；
（2）6．
【分析】（1）利用待定系数法求直线PA的解析式即可；
（2）先根据解析式求出A（﹣4，0），再根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）设直线PA的表达式为y＝kx+b（k≠0），把点B、P的坐标代入得：
，
解得，
∴直线PA的表达式为；
（2）令y＝0，即，
解得x＝﹣4，
故A（﹣4，0），
∴S△AOP＝4×3＝6．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标适合解析式，也考查三角形的面积．
23．（8分）某学校八（2）班组织了一次数学速算比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩（10分制）如图所示统计图所示．
（1）此次比赛，甲队中获得8分的人数是 1 人；
（2）观察统计图，甲队成绩的众数是 10 分，乙队成绩的中位数是 9 分；
（3）请列式计算甲队成绩的平均分；
（4）已知甲队的方差是1.4，乙队的平均分是9分，求乙队成绩的方差，并判断哪队成绩较平稳．（参考公式：s2＝）
【考点】方差；加权平均数；中位数；众数．
【答案】（1）1；
（2）10，9；
（3）9分；
（4）乙队成绩较平稳．
【分析】（1）用总人数乘以获8分的人数占比即可；
（2）10分出现的次数最多，则甲队成绩的众数为10分；乙队成绩最中间的分数为9分，9分，计算中位数即可；
（3）首先根据分数占比计算甲队成绩，然后利用加权平均数的公式计算即可；
（4）首先计算乙队的方差，然后根据方差的意义判断．
【解答】解：（1）10×（1﹣50%﹣20%﹣20%）＝1（人），
∴此次比赛，甲队中获得8分的人数是 1人．
故答案为：1；
（2）由扇形图得，甲队成绩中获10分的人数最多，
∴甲队成绩的众数是10分；
∵乙队成绩最中间的分数为9分，9分，
∴乙队成绩的中位数是＝9（分）．
故答案为：10，9；
（3）甲队中获10分的人数为：10×50%＝5（人），
获9分的人数为：10×20%＝2（人），
获7分的人数为：10×20%＝2分，
∴＝9（分），
即甲队成绩的平均分为9分；
（4）乙队成绩的方差为：[（7﹣9）2+2×（8﹣9）2+3×（9﹣9）2+4×（10﹣9）2]＝1，
∵1.4＞1，
∴乙队成绩较平稳．
【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图，求加权平均数、中位数、众数、方差，掌握加权平均数、中位数、众数、方差的计算方法是解答本题的关键．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．
（1）求正方形ABCD的面积；
（2）求点C，D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【答案】（1）5；
（2）C（﹣1，3）；D（﹣3，2）；
（3）存在，点M的坐标为（﹣1，0）．
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，进而可得出OA，OB的长，利用勾股定理可求出AB的长，再利用正方形的面积计算公式，即可求出正方形ABCD的面积；
（2）利用正方形的性质可得出AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝90°，过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作CF⊥x轴于点F，易证△BCE≌△ABO，△DAF≌△ABO，再利用全等三角形的性质结合点C，D所在的位置，即可得出点C，D的坐标；
（3）作点B关于y轴的对称点B′，连接B′D交x轴于点M，此时BM+DM取得最小值，即△MDB的周长最小，由点B的坐标可得出点B′的坐标，利用待定系数法可求出直线B′D的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点M的坐标．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝×0+1＝1，
∴点B的坐标为（0，1），
∴OB＝1；
当y＝0时，x+1＝0，
解得：x＝﹣2，
∴点A的坐标为（﹣2，0），
∴OA＝2．
在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝1，
∴AB＝＝＝，
∴正方形ABCD的面积为AB2＝（）2＝5．
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝90°．
过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作CF⊥x轴于点F，如图1所示．
∵∠CBE+∠ABC+∠ABO＝180°，∠ABC＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO．
在△BCE和△ABO中，
，
∴△BCE≌△ABO（AAS），
∴BE＝AO＝2，CE＝BO＝1，
∴点C的坐标为（﹣1，1+2），即（﹣1，3）；
同理，可证出：△DAF≌△ABO，
∴DF＝AO＝2，AF＝BO＝1，
∴点D的坐标为（﹣2﹣1，2），即（﹣3，2）．
（3）作点B关于y轴的对称点B′，连接B′D交x轴于点M，此时BM+DM取得最小值，即△MDB的周长最小，如图2所示．
∵点B的坐标为（0，1），
∴点B′的坐标为（0，﹣1）．
设直线B′D的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将B′（0，﹣1），D（﹣3，2）代入y＝kx+b，
得：，解得：，
∴直线B′D的解析式为y＝﹣x﹣1．
当y＝0时，﹣x﹣1＝0，
解得：x＝﹣1，
∴点M的坐标为（﹣1，0）．
∴在x轴上存在点M，使△MDB的周长最小，点M的坐标为（﹣1，0）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征及勾股定理，求出AB的长；（2）利用全等三角形的性质，求出BE，CE，AF，DF的长；（3）利用两点之间线段最短，找出点M的位置．
25．（10分）已知在△DEF中，∠E+∠F＝70°现将△DEF放置在△ABC上，使得∠D的两条边DE，DF分别经过点B、C．
（1）如图①所示，若∠A＝50°，且BC∥EF时，∠ABC+∠ACB＝ 130 度，∠DBC+∠DCB＝ 70 度，∠ABD+∠ACD＝ 60 度；
（2）如图②，改变△ABC的位置，使得点D在△ABC内，且BC与EF不平行时，请探究∠ABD+∠ACD与∠A之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论；
（3）如图③，改变△ABC的位置，使得点D在△ABC外，且BC与EF不平行时，请探究∠ABE、∠ACF、∠A之间存在怎样的数量关系，请直接写出你的结论．
【考点】几何变换综合题．
【答案】（1）130，70，60；
（2）结论：∠ABD+∠ACD+∠A＝110°．证明见解析；
（3）结论：∠ABE+∠ACF﹣∠BAC＝110°．证明见解析．
【分析】（1）利用三角形内角和定理，平行线的性质求解；
（2）如图②中，结论：∠ABD+∠ACD+∠A＝110°．连接AD，延长AD到H．利用三角形的外角的性质证明即可；
（3）如图③中，结论：∠ABE+∠ACF﹣∠BAC＝110°．连接AD，利用三角形的外角的性质证明即可．
【解答】解：（1）如图①中，
∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°．
∵BC∥EF，
∴∠DBC＝∠E，∠DCB＝∠F，
∵∠E+∠F＝70°，
∴∠DBC+∠DCB＝70°，
∴∠ABD+∠ACD＝130°﹣70°＝60°．
故答案为：130，70，60；
（2）如图②中，结论：∠ABD+∠ACD+∠A＝110°．
理由：连接AD，延长AD到H．
∵∠E+∠F＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°＝110°，
∵∠BDH＝∠ABD+∠ABD，∠CDH＝∠ACD+∠CAD，
∴∠ABD+∠ACD+∠BAC＝∠BDC＝110°；
（3）如图③中，结论：∠ABE+∠ACF﹣∠BAC＝110°．
理由：连接AD．
∵∠E+∠F＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°＝110°，
∵∠ABE＝∠BAD+∠ADB，∠ACF＝∠CAD+∠ADC，
∴∠ABE+∠ACF＝∠BAD+∠ADB+∠CAD+∠ADC，
∴∠ABE+∠ACF﹣∠BAC＝110°．
【点评】本题考查几何变换综合题，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
3．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
4．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
5．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
6．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
7．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
8．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
9．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
10．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
11．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
12．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
13．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
14．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
15．规律型：点的坐标
1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律
3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
16．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
17．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
18．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
19．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
20．一次函数与二元一次方程（组）
（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系
（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．
21．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
22．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
23．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
24．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
25．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
26．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
27．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
28．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
29．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
30．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
31．推理与论证
（1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程．
①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊．
②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般．
（2）论证：用论据证明论题的真实性．
证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”．
简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式．
32．轨迹
轨迹 数学概念轨迹数学概念：在数学中，轨迹是由满足坐标关系的特定方程的所有点，或由一个点、线或运动曲面构成的曲线或其他形状．所有的形状，如圆、椭圆、抛物线、双曲线等．
33．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
34．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
35．几何变换综合题
这种题型主要考查旋转、平移以及动点问题，经常是四边形和圆的综合题目，难度大．
36．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
37．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
38．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
39．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
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题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
D
D
B
C
D
D
C
A