初中数学人教版（2024）九年级上册第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系精品课件ppt

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1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系.2.灵活运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题.3.经历探索一元二次方程的根与系数的关系，发展学生的逻辑推理和数学运算的核心素养，培养学生观察、分析、归纳和判断的能力.
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
根与系数的关系还有其他的表示吗？
思考 从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般形式，得方程 x2-(x1+x2)x+x1x2=0  
这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-(x1+x2)，常数项q=x1x2.  
于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： (x1+x2)=-p，x1x2=q.
思考 一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
根据求根公式可知，
因此，方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.
如果把上述方程ax2+bx+c=0（a≠0)的两边同除以a，能否得出该结论？
(x1+x2)=-p x1x2=q
注意：(1)不是一般式的，要化成一般式. (2)在方程有实数根的条件下应用，即b2-4ac≥0.
例4 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根x1,x2的和与积. (1)x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2
解:(1)a=1，b=-6，c=-15. Δ=b2 -4ac=(-6)2-4×1×(-15)=96>0. ∴方程有两个实数根. ∴x1+x2=6,x1x2=-15.
例5 已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以：x1+x2=1+x2=6， 即：x2=5. 由于x1•x2=1×5= 得：m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.
3.不解方程，求下列方程两根的和与积： (1)x2-3x=15 (2)3x2+2=1-4x (3)5x2-1=4x2+x (4)2x2-x+2=3x+1
解：由根与系数的关系得x1+x2=-k,x1.x2=k+2， ∵x12+ x22 =4 ,即(x1+ x2)2 -2x1x2=4 ∴k2- 2(k+2）=4 解得：k=4或k=-2 ∵ △= k2-4k-8 当k=4时， △＜0 当k=-2时，△＞0 ∴ k=-2.
一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，那么
1.若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是( ) A.1 B.5 C.-5 D.62.以3, -1为根，二次项系数为3的一元二次方程是( ) A.3x2-2x+3=0 B.3x2+2x-3=0 C.3x2-6x-9=0 D.3x2+6x-9=0