2022年湖北省八校高三数学第一次联考试卷扫描版理

这是一份2022年湖北省八校高三数学第一次联考试卷扫描版理，共7页。试卷主要包含了已知集合，，则，函数是，已知函数，其中，则使得在等内容，欢迎下载使用。
的值为（ C ）
A．； B．； C．； D．
提示：，
．
2．若，则下列不等式中不一定成立的是 （ B ）
A． B． C． D．∣∣>
提示：B中，，而时不一定成立．
3．已知集合，，则
（ D ）
A． B． C． D．
提示：，，
．
4．设，，若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是（ A ）
A． B． C．∪ D．∪
提示：由得：，由得：，又是的必要而不充分条件，所以
且，．
5．已知函数的值域是，则它的定义域可以是（ A ）
A． B．C．D．
提示：由函数的值域为可得：，，
或，即或．
6．已知函数在区间上的最小值是，则的取值范围为（ C ）
A． B． C． D．
提示：若，则，由图象知：或，所以 或，即；若，同理可得：，故选C．
7．函数是 （ B ）
A．周期为的偶函数 B．周期为的非奇非偶函数
C．周期为的偶函数D．周期为的非奇非偶函数
提示：，定义域不关于原点对称，函数既不是奇函数又不是偶函数，又函数的周期为，去掉的点的周期为，所以函数的周期为，故选B．
8．已知函数，其中，则使得在
上有解的概率为（ A ）
A． B． C． D．
提示：任取的值有，而由图象可知当，时不满足条件，当
，时满足条件，所以概率为．
9．设双曲线的右顶点为，为双曲线上的一个动点（不是顶点），从点引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线分别交于两点，其中为坐标原点，则与的大小关系为（ C ）
A． B．
C． D．不确定
提示：取特殊点，则直线的方程为，又直线的方程为
，直线的方程为，解得的坐标为，
，易得．（若设任意点也可得此结果）
10．平面向量的集合到的映射由确定，其中为常向量．若映射满足对恒成立，则的坐标不可能是 （ B ）
A． B． C． D．
提示：令，则
即，或，故选B．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
50 55 60 65 70 75 体重
11．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，第小组的频数为，则抽取的学生人数是 ．
提示：由图可知前组的频率为，所以第组
的频率为，学生人数为．
A
B
C
H
M
12．如图，在中，于，为的中点，若，则 ．
提示：三点共线，，且，又，．
13．将抛物线按向量平移后所得抛物线的焦点坐标为 ．
提示：抛物线按平移后得抛物线的方程为：，所以其焦点坐标为 ．
14．若等差数列的前项和为，且，，，则
12 ．
提示：由得：，，又
，所以．
15．给出定义：若 (其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
①的定义域是，值域是；
②点是的图像的对称中心；
③函数的最小正周期为1；
④ 函数在上是增函数；
则其中真命题是__①③ ．
提示：依题意知，画图可知①③正确．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
16．（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知等比数列中，，分别为的三内角的对边，且．
（1）求数列的公比；
（2）设集合，且，求数列的通项公式．
解：（1）依题意知：，由余弦定理得：
，．．．．．．3分
而，代入上式得或，又在三角形中，
或；．．．．．．6分
（2），即且，．．．．．．8分
又，所以，或．．．．．．．10分
17．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知为坐标原点，向量，点是直线上的一点，且点分有向线段的比为．
（1）记函数，，讨论函数的单调性，并求其值域；
（2）若三点共线，求的值．
解：依题意知：，设点的坐标为，则：
，所以，点的坐标为
．．．．．．2分
（1）
，．．．．．．4分
由可知函数的单调递增区间为，
单调递减区间为，．．．．．．6分
所以，其值域为；．．．．．．8分
（2）由三点共线的，．．．．．．10分
，
．．．．．．．12分
18. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
若关于的实系数方程有两个根，一个根在区间内，另一根在区间内，记点对应的区域为．
（1）设，求的取值范围；
（2）过点的一束光线，射到轴被反射后经过区域，求反射光线所在直线经过区域内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线的方程．
解：方程的两根在区间和上的几何意义是：函数
与轴的两个交点的横坐标分别在区间和内，由此可得不等式组
a
b
A(-4, 3)
B
C
O
，即，则在坐标平面内，点对应的区域如图阴影部分所示，易得图中三点的坐标分别为
，．．．．．．4分
（1）令，则直线经过点时
取得最小值，经过点时取得最大值，即，
又三点的值没有取到，所以；．．．．．．8分
（2）过点的光线经轴反射后的光线必过点，由图可知
可能满足条件的整点为，再结合不等式知点符合条件，所以此时直线方程为：，即．．．．．．．12分
19．（本小题满分13分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数的反函数为，定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”．
（1）判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2）若，其中满足“2和性质”，则是否存在实数a，使得
对任意的恒成立？若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由．
解：（1）函数的反函数是，
而其反函数为
, 故函数不满足“1和性质”；
．．．．．．6分
（2）设函数满足“2和性质”，
，而，得反函数
由“2和性质”定义可知=对恒成立，
即函数，，在上递减，．．．．．．9分
所以假设存在实数满足，即对任意的恒成立，它等价于在上恒成立. ，，易得.而知所以.综合以上有当使得对任意的恒成立．．．．．．．13分
20．（本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且的最小值不小于为．
（1）求椭圆的离心率的取值范围；
（2）设椭圆的短半轴长为，圆与轴的右交点为，过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，求直线被圆截得的弦长的最大值．
F2
T
O
P
y
x
解：（1）依题意设切线长
∴当且仅当取得最小值时取得最小值，
而，．．．．．．2分
，，
从而解得，故离心率的取值范围是；．．．．．．6分
（2）依题意点的坐标为，则直线的方程为， 联立方程组
得，设，则有，，代入直线方程得，
，又，，
．．．．．．10分
，直线的方程为，圆心到直线的距离，由图象可知，
，，，所以．．．．．．．14分
21．（本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知曲线，从上的点作轴的垂线，交于点，再从点作轴的垂线，交于点，设
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，试比较与的大小；
（3）记，数列的前项和为，试证明：
解：（1）依题意点的坐标为，，，
．．．．．．2分
；
．．．．．．4分
（2），由，，，
当时，

；．．．．．．8分
（3），所以易证：，
当时，，
，（当时取“”）．．．．．．11分
另一方面，当时，有：
，
又，
，．所以
对任意的，都有．．．．．．．14分