2025洛阳强基联盟高二上学期12月月考试题数学含解析

这是一份2025洛阳强基联盟高二上学期12月月考试题数学含解析，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列中，，，则（ ）
A.1B.0C.D.
2.双曲线C：的渐近线方程为（ ）
A.B.C.D.
3.顶点在原点，关于y轴对称，并且经过点的抛物线方程为（ ）
A.B.C.D.
4.已知等差数列的前n项和为，若，则的最大值为（ ）
A.2B.4C.6D.8
5.已知数列中，则数列前2024项的和为（ ）
A.0B.1012C.2024D.4048
6.若椭圆E：的周长为C，则（ ）
A.B.C.D.
7.已知直线l：与双曲线C：交于A，B两点，点是弦AB的中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A.B.C.D.
8.已知抛物线E：的准线交y轴于点M，过点M作直线l交E于A，B两点，且则直线l的斜率是（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列数列中，为递增数列的是（ ）
A.B.C.D.
10.已知点A，B是椭圆C：上关于原点对称且不与C的顶点重合的两点，，分别是C的左、右焦点，O为原点，则（ ）
A.C的离心率为
B.
C.的值可以为3
D.若的面积为，则
11.已知P为圆：上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点M，记点M的轨迹为曲线H，设，在曲线H上，且，，，则（ ）
A.曲线H的方程为
B.曲线H的离心率为
C.经过且与曲线H只有一个公共点的直线恰有两条
D.四边形面积的最小值为8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知椭圆的焦距为2，则________.
13.若数列满足，且，为其前n项和，则的最小值为________.
14.已知抛物线C：，P为抛物线C上任意一点，过点P向圆D：作切线，切点分别为A，B，则的最小值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知是数列的前n项和，若，是等差数列，.
（1）求；
（2）求数列的通项公式.
16.（本小题满分15分）
已知两点，，动点P在y轴上的射影是H，.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设直线l：与曲线C相交于A，B两点，当m为何值时，以线段AB为直径的圆经过点.
17.（本小题满分15分）
已知等差数列的前n项和为，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若是递增数列，，，求证：.
18.（本小题满分17分）
设F为抛物线C：的焦点，，，为C上三个不同的点，且，.
（1）求C的方程；
（2）设过点F的直线l交C于P，Q两点.
①若直线l交圆于M，N两点，其中P，M位于第一象限，求的最小值；
②过点F作l的垂线m，直线m交C于A，B两点，设线段PQ，AB的中点分别为D，E，求证：直线DE过定点.
19.（本小题满分17分）
已知O为坐标原点，椭圆C：的左、右焦点分别为，，，P为椭圆C的上顶点，以P为圆心且过，的圆与直线相切.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知直线l交椭圆C于M，N两点，若直线l的斜率等于1，求面积的最大值.
洛阳强基联盟高二12月联考·数学
参考答案、提示及评分细则
1.A 由等差数列的性质可知，所以.故选A.
2.B 由题意知，，双曲线C的焦点在y轴上，其渐近线的方程为，即.故选B.
3.C 由题意设抛物线方程为，将代入得，所以所求抛物线方程为.故选C.
4.B 因为所以，又，当且仅当时取等号，所以的最大值为4.故选B.
5.C 因为，，所以，，，，，…，所以数列是周期为4的周期数列，且，所以.故选C.
6.D 把化为标准方程为，以长轴为直径的圆周长为，边平行于E的对称轴的外切矩形的周长为，所以，，所以A，C错误；
以短轴为直径的圆周长为，以长轴和短轴为对角线的菱形的周长为，所以，，所以B错误，D正确.故选D.
7.D 设，，可得，，两式相减可得，点是弦AB的中点，且直线l：，可得，，，即有，即，
∴，，故双曲线C的离心率为，经验证此时直线与双曲线有两个交点.故选D.
8.B 抛物线E：的准线为，所以，因为直线l交E于两点，
所以直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为，，，
由消去y得，所以，即，，，
因为，所以，得，
所以或
所以，满足.故选B.
9.AD 对于A.所以，
所以为递增数列，故A正确；
对于B，，所以为递减数列，故B错误；
对于C，因为，则，，所以不单调，故C错误；
对于D，，所以，所以为递增数列，故D正确.故选AD.
10.ABD 对于A，椭圆C：中，，，，离心率为，A正确；
对于B，由对称性可得，所以，B正确；
对于C，设，且，则，故
所以，，C错误；
对于D，不妨设A在第一象限，，则，则，则，则，，故，故D正确.故选ABD.
11.AC 圆：的圆心为，半径，因为线段的垂直平分线交直线于点M，则，所以，所以点M的轨迹是以，为焦点的双曲线，其中，，所以，所以曲线H的方程为，故A正确；
对于B，因为，，所以该双曲线的离心率为2，故B错误；
对于C，经过且与曲线H相切的直线恰有一条，满足条件；经过的直线与曲线H的渐近线平行时，也满足条件，所以符合条件的直线恰有两条，故C正确；
对于D，因为，，则A，B分别在两支上，且A，B都在x轴上方或x轴下方，不妨设都在x轴上方，又，则A在第二象限，B在第一象限，如图所示，延长交双曲线于点N，延长交双曲线于点Q，由对称性知四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍.由题设，直线AN的方程为，直线BQ的方程为，联立消去x并整理得，易得，因为，所以，所以，两条直线AN与BQ间的距离，所以，令，，
所以，因为在上单调递减，且，
所以在上单调递增，当即时，取得最小值为12，故D错误.故选AC.
12.5或7 由题意知，所以.当椭圆的焦点在x轴上时，且，解得；当椭圆的焦点在y轴上时，且，解得，故m的值为5或7.
13.10 由，解得，所以数列中，只有，为负数，所以的最小值为或或，又，，所以的最小值为10.
14. 圆D：的标准方程是，则圆心为，半径为，
设，，
所以，
所以的最小值为.
15.解：（1）设数列的公差为d，则由，得，1分
所以，即，4分
所以，，5分
因为，
所以，解得，7分
所以8分
（2）由（1）知，
所以时，，11分
上面这个式子对也适合，12分
所以时，.13分
16.解：（1）设动点，则，所以，，，2分
因为，所以.
即轨迹C的方程为.5分
（2）联立方程消去y并整理得，6分
所以，且，所以且，8分
设，，则，.9分
若以AB为直径的圆过点，则，所以，
即，
所以，12分
所以，
化简，得，解得，满足，
所以.15分
17.证明：（1）设等差数列的公差为d，
则，3分
所以，6分
所以数列是公差为的等差数列8分
（2）由（1）知数列是公差为的等差数列，
因为，9分
即，10分
因为，所以，11分
所以，12分
所以
15分
18.（1）解：由题意得焦点，设，，，
因为，所以，
即，2分
所以|
解得，
所以C的方程为.5分
（2）①解：圆化为标准式为，其圆心恰为F，半径为1，6分
当直线l斜率存在时，根据题意可设直线l的方程为，，，
由得，，7分
，，8分
因为，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
当直线l斜率不存在时，，，，
所以的最小值为4.11分
②证明：由题知直线l的斜率k存在且不为0，
由①得，，则.12分
用替换k得点.13分
当，即时，直线DE的斜率，14分
所以直线DE的方程为，整理得，
所以直线DE恒过点；16分
当时，直线DE的方程为，也过点.
综上所述，直线DE恒过点.17分
19.解：（1）因为，所以，即，2分
又且以P为圆心的圆与直线相切，所以此圆半径，
又圆过点，所以，即，解得，5分
所以，即，故椭圆C的方程为.7分
（2）如图所示，
不妨令直线l：，，，
联立消去y并整理得，9分
所以，解得，即，
又11分
所以13分
又点O到直线l的距离为，14分
所以15分
当且仅当，即时，取到最大值，此时满足，
所以面积的最大值为.17分