第15讲 三角函数 章末题型大总结（12类热点题型讲练）（解析版）-A4

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第15讲 三角函数 章末题型大总结题型01三角函数的概念 【典例1】（2024高二上·新疆·学业考试）已知角的终边与单位圆交于点，则（   ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据余弦函数的定义即可得到答案.【详解】由题意得.故选：B.【典例2】（23-24高一下·河南南阳·期中）已知角的终边经过点，且，则（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据余弦的定义计算即可.【详解】由题知，解得．故选：B.【典例3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知角的终边过点，求角的正弦、余弦、正切及余切值．【答案】答案见解析【分析】根据任意角的三角函数的定义求解.【详解】设为坐标原点，则，根据任意角三角函数的定义，，，，【变式1】（23-24高一下·河南南阳·期末）已知角的终边经过点，且，则（    ）A．3 B． C．5 D．【答案】B【分析】根据任意角的三角函数的定义求解.【详解】因为已知角的终边经过点，且，所以，解得，故选：B.【变式2】（23-24高一下·上海·期中）已知的终边过点，则 ．【答案】【分析】先根据求出，再根据三角函数定义求出即可求解.【详解】由题得，所以，所以.故答案为：.【变式3】（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）已知角的终边与单位圆交于点，其中．(1)求实数的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由题意可得，再结合可求得答案；（2）根据任意角的三角函数的定义求解即可.【详解】（1）由角的终边与单位圆交于点，有，又由，解得；（2）因为角的终边与单位圆交于点，所以．题型02 扇形的弧长与面积（含最值）【典例1】（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知扇形的周长是，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是（    ）A．2 B．1 C． D．3【答案】A【分析】根据二次函数的性质求得正确答案.【详解】设扇形的圆心角为，弧长为，半径为，则周长，面积，所以当时面积取得最大值为，此时，对应.故选：A【典例2】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）如图1所示的是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱塘江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征善新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设的长度是，的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，已知，.(1)求；(2)若几何图形的周长为4，则当为多少时，最大？【答案】(1)3(2)【分析】（1）通过弧长比可以得到与的比，再利用扇形面积公式即可求解；（2）由题意得，，然后利用基本不等式求最值即得.【详解】（1）由，则，，所以，即，，.（2）由（1）知，，几何图形的周长为，，当且仅当，即时，最大值为1.【典例3】（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为.(1)若，，求扇形的弧长；(2)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大?【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据扇形的弧长公式进行计算即可．（2）根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解；（3）根据扇形的扇形公式结合基本不等式的应用进行求解即可．【详解】（1）由题意知，所以弧长.（2）由题意得，解得（舍），，故扇形圆心角为.（3）由题意知，所以，所以当时，取得最大值，此时，.【变式1】（23-24高一上·黑龙江·期末）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇环的圆心角的弧度数为2.5，则该扇环的内弧长为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设弧的长为，弧的长为，根据弧长公式结合已知可推得.结合已知条件得出方程组，求解即可得出答案.【详解】如图，设弧的长为，弧的长为.因为该扇形的圆心角的弧度数为2.5，所以，，即，.因为，所以.又因为，联立可得，解得，所以该扇环的内弧长为.故选：A【变式2】（23-24高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）若有一扇形的周长为60cm，那么当扇形的面积最大时，圆心角的弧度数为 弧度.【答案】2【分析】直接利用扇形的周长公式和面积公式及基本不等式求出结果．【详解】设扇形半径为，弧长为，由扇形的周长为60cm ，所以，故扇形的面积，当且仅当时，等号成立，故圆心角的弧度数为．故答案为：2．【变式3】（2024高三·北京·专题练习）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R.若扇形的周长为定值C，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大值.【答案】弧长为2，最大面积为【分析】分析根据扇形周长的计算公式表示出半径与角度之间的关系，写出扇形面积的表达式，利用基本不等式，可得答案.【详解】由，得，则，由，则，当且仅当时，等号成立，当时，扇形面积有最大值.题型03 同角三角函数基本关系【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角函数关系式中的商关系，结合平方差公式，三角函数关系中平方和为1进行代换求解即可.【详解】.故选：B【典例2】（24-25高一上·全国·课后作业）若，，则 ．【答案】【分析】先由得出，再结合平方关系得出的值.【详解】∴..故答案为：.【典例3】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，，求的值．【答案】【分析】法一：由已知可得，结合同角的正余弦平方关系可得，进而可求得的值，可求的值.法二：两边平方可得，进而可得的值，可求的值.【详解】法一：由，得．又，代入得，整理得，即，解得或．又，所以，故．所以，．法二：因为，所以，又，两边平方，整理得，所以，所以，又，所以．【变式1】（安徽省部分学校2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试题）已知，则 .【答案】【分析】由,然后用齐次化的方法求解即可.【详解】.故答案为：.【变式2】（24-25高三上·宁夏银川·开学考试）若，则 ．【答案】【分析】根据正余弦的齐次式化为正切函数即可得解.【详解】因为，所以.故答案为；【变式3】（23-24高一上·四川遂宁·阶段练习）已知，.则= ，= ．【答案】 /【分析】对平方即可求解，根据完全平方公式，联立方程即可求解，即可求解.【详解】，.，，又，；由得： 或（舍），.故答案为：；题型04 利用诱导公式化简【典例1】（2024高二下·陕西西安·学业考试）已知角终边上一点，则 ．【答案】【分析】利用诱导公式化简原式，由三角函数定义求出，代入计算即可.【详解】，因为角终边上一点，所以，则，所以故答案为：【典例2】（23-24高一下·江西萍乡·期中）在①，②两个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答.已知角，且________.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）若选①，根据同角三角函数关系结合齐次化方法，可得，解方程求，若选②，根据同角关系由求，再求；（2）根据诱导公式化简求值.【详解】（1）若选①，因为，所以，则，解得：或，因为角，所以；若选②，因为，角，所以，所以；（2）由（1）可知，，所以【典例3】（23-24高一下·四川达州·期中）已知，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，，得到，利用同角三角函数间的基本关系即可求出的值；（2）利用诱导公式化简，代入，即可得到答案.【详解】（1）由题意有，，所以，又因为，所以，又因为，所以.（2），又由（1）可得，所以，故的值为.【变式1】（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用诱导公式化简，即可求出结果；（2）利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的关系，即可求解；（3）利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的关系，即可求解；（4）利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简，再利用同角三角函数间的关系，即可求解.【详解】（1）.（2）.（3）.（4）.【变式2】（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知是第三象限角，且.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知直接利用同角三角函数基本关系式化简求值；（2）利用诱导公式求解.【详解】（1）因为是第三象限角，且，所以，所以（2）【变式3】（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数(1)化简；(2)若，求､的值；(3)若，求的值.【答案】(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）由诱导公式化简即可得出答案；（2）利用同角三角函数的基本关系即可得出答案；（3）由已知求出，结合的范围，由诱导公式即可求出的值.【详解】（1）（2）因为，所以为第三象限角或第四象限角.当为第三象限角时，；当为第四象限角村，.（3）因为，所以.因为，所以.故.因此.题型05 三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性【典例1】（多选）（江西省九江市十校2023-2024学年高三第二次联考数学试题）已知，，若函数的图象关于对称，且函数在上单调，则（    ）A．的最小正周期为 B．C．为偶函数 D．【答案】BC【分析】根据题意，求得函数，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题设的图象关于对称，可得，所以，由，，可得，又由函数在上单调，所以，解得，当时，，此时，可得的最小正周期为，所以A不正确；由，所以B正确；由，所以C正确；由，所以D错误．故选：BC.【典例2】（多选）（2024·山东淄博·二模）已知函数，满足：，成立，且在上有且仅有个零点，则下列说法正确的是（　　）A．函数的最小正周期为B．函数在区间上单调递减C．函数的一个对称中心为D．函数是奇函数【答案】BCD【分析】依题意可得为最大值，则得，再由在上有且仅有个零点，可得，再结合的范围可出的值，从而可求出的解析式，然后逐个分析判断即可.【详解】因为，恒成立，所以的最大值为，所以，即，当时，，又，因为在上有且仅有个零点，所以，所以，即，得，所以，因为，所以，所以；对于A：函数的最小正周期，故A错误；对于B：当时，，又在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，故B正确；对于C：因为，所以函数的一个对称中心为，故C正确；对于D：因为，为奇函数，故D正确.故选：BCD【典例3】（多选）（23-24高一下·安徽滁州·期末）若函数的图象经过点，则（    ）A．点为函数图象的对称中心B．函数的最小正周期为C．函数在区间上的函数值范围为D．函数的单调增区间为【答案】ACD【分析】先求出解析式，对于A，求出函数的对称中心即可判断；对于B，由解析式及最小正周期公式求解即可；对于C，根据变量范围得出角的范围即可得出函数的函数值范围；对于D，求出正切型函数的单调递增区间以及零点即可根据正切（型）函数图象性质得出函数的单调增区间.【详解】由题，又，故，所以， 对于A，令，则，所以的对称中心为，当时，，故点为函数图象的一个对称中心，故A正确；对于B，由上的最小正周期为，故B错误；对于C，当，，故，故C正确；对于D，令，所以，所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间，令即，所以即，所以函数的零点为，  所以函数的单调递增区间为，故D正确.故选：ACD.【变式1】（多选）（23-24高一下·山东临沂·期中）已知，则（    ）A．是奇函数B．的最小正周期是C．图象的一个对称中心是D．上单调递增【答案】AC【分析】由三角恒等变换化简解析式，由定义判断A；由周期公式判断B；由性质判断CD.【详解】，对于A：，即是奇函数，故A正确；对于B：的最小正周期是，故B错误；对于C：令，当时，图象的对称中心是，故C正确；对于D：，函数在上单调递增，所以上单调递减，故D错误；故选：AC【变式2】（多选）（2024·山西太原·二模）函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）A． B．的周期C．图象关于点对称 D．在区间上递减【答案】BC【分析】由图象求出，求出可判断A；由求出，再由求出可判断B；利用可判断C；求出的范围根据的单调性判断出的单调性可判断D.【详解】对于A，由图象可得，，，所以，因为，所以，或，因为点附近的图象呈下降趋势，所以，故A错误；对于B，可得，又，所以，所以，得，由图知，，所以，所以，可得，所以，，故B正确； 对于C，因为，故C正确；    对于D，当时，，因为在上单调递增，所以在区间上单调递增，故D错误.故选：BC.【变式3】（多选）（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数，则（    ）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．在上单调递减D．是偶函数【答案】BCD【分析】根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】因为，对于A：，所以的图象关于对称，不关于直线对称，故A错误；对于B：，所以的图象关于对称，故B正确；对于C：当时，因为在上单调递减，所以在上单调递减，故C正确；对于D：为偶函数，故D正确.故选：BCD题型06 三角函数图象变换【典例1】（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平移变换知识先求出的解析式，再根据三角函数的奇偶性得关于的方程即可计算求解.【详解】由题意，因为函数为奇函数，所以，，又，所以当时，有最小值是.故选：C.【典例2】（23-24高一下·福建泉州·期中）已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到函数的图象，若函数在上有且仅有4个零点，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数图像变换确定的解析式，再根据函数零点的个数结合余弦函数的性质,列出不等式求实数的取值范围.【详解】由题意，函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得.由，得.令，由，得，即，欲使方程在上有且仅有4个实根，则，所以，故选:C.【典例3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ）A．是偶函数 B．的图象关于直线对称C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点中心对称【答案】B【分析】A选项，由函数的平移变换得到的解析式，可判断出奇偶性；B选项，由A选项求出的解析式求解对称轴可判断，同时可判断C选项； D选项，代入法可判断对称中心.【详解】A选项，，由于的定义域为R，且，故为奇函数，故A错误；B选项，由选项A可知错误，故的图象的对称轴为，即，令可得，即的图象关于直线对称，故B正确；C选项，由由选项B可知不存在，使得对称轴为，故C错误；D选项，由选项A可知，故点不是图象的中心对称，故D错误.故选：B【变式1】（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象.关于函数，下列说法正确的是（    ）A．在上单调递增 B．其图象关于直线对称C．函数是偶函数 D．在区间上的值域为【答案】D【分析】先利用辅助角公式将其化成正弦型函数，利用平移变换化简得到，对于A，取，求得，由正弦函数的图象即可判断；对于B，使解得，，取值检验即得；对于C，利用奇偶性定义判断；对于D，取，求得，结合正弦函数的图象单调性即可求得.【详解】，由函数的零点构成一个公差为的等差数列，得周期满足，即，解得，，即，把函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则，对于A，取，由可得，而在单调递减，则y=gx在上单调递减，故A错误；对于B，由，得时，y=gx的图象关于直线对称，故y=gx关于直线不对称，即B错误；对于C，因，故y=gx是奇函数，即C错误；对于D，当时，取，观察函数在上的图象可得，函数的值域为，故D正确.故选：D.【变式2】（23-24高三上·贵州黔东南·开学考试）若函数的图象向左平移个单位长度后，恰好得到函数的图象，则的值可能为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先对变形为，再将的图象向左平移个单位长度求出解析式等于，两式对照可求出的值.【详解】，将的图象向左平移个单位长度，得，所以，即，当时，，当时，，当时，，所以ABC错误，D正确.故选：D【变式3】（2024·陕西榆林·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位，到得函数的图象，则的最小值为（    ）A． B． C． D．4【答案】A【分析】根据平移理论结合已知条件得，再利用诱导公式得，进而得到，从而求出，再结合已知条件即可求出的最小值.【详解】由题意得，又所以，所以，，又因为，所以的最小值为.故选：A.题型07 根据图象求解析式【典例1】（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式是（    ）  A． B．C． D．【答案】A【分析】由图可知最大值为2，最小值为−2，，进而求出，再将最高点带入可求.【详解】由图可知，所以，排除B,D.当时，，所以，将最高点代入可得所以，即，取，则.所以，A正确；当时，，所以，将最高点代入可得，所以，即，取k=1,则，所以，C错误.故选：A.【典例2】（2024·新疆·二模）已知函数的部分图象如图所示，图象的一个最高点为，图象与轴的一个交点为，且点M，N之间的距离为5，则（    ）  A． B． C． D．2【答案】D【分析】由函数图象可得函数周期，即可得，结合特殊点的坐标计算可得，即可得.【详解】函数的最大值为4．设的最小正周期为，依题意，得，解得，所以，解得，所以，又点在函数的图象上，所以，结合图象，知，解得，所以，所以．故选：D．【典例3】（23-24高三上·江苏无锡·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数y=gx的图象，则下列说法正确的是（   ）  A．在值域为B．的最小正周期是C．的图象关于直线对称D．在区间上单调递减【答案】B【分析】由函数图象可知，则可求出，由为的零点，结合的范围，可求出，从而可求出的解析式，再利用三角函数图象变换规律求出，然后逐个分析判断.【详解】由图知，，则，即，因为，所以.因为为的零点，则，得.由图知，，则，所以，从而.由题设，，由，则，或观察图形便知A错误；的最小正周期，所以B正确；当时，，则的图象不关于直线对称，所以C错误；当时，，因为在上不单调，所以在上不单调，所以D错误.故选：B【变式1】（24-25高三上·广东·阶段练习）已知（，）的部分图象如图所示，点是与坐标轴的交点，若是直角三角形，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正弦函数性质得三点坐标，再由，结合有，建立方程即可求出，最后将代入函数解析式即可得解.【详解】由正弦函数性质有，，，由是直角三角形，可得，结合有，，，解得或（舍去），，，.故选：C.【变式2】（2024·天津和平·二模）已知函数的部分图象如下图所示，则以下说法中，正确的为（    ）A．B．C．不等式的解集为D．函数的图象的对称中心为【答案】C【分析】由图象求出函数的解析式，然后利用正弦函数的相关性质求解即可逐项判断出来.【详解】由图象可知，，所以，所以，所以，将代入得：，所以，由于，所以，所以，故A错误；，故B错误；由，所以，所以，解得，即不等式的解集为，故C正确；令，解得，所以的图象的对称中心为，故D错误.故选：C【变式3】（2024·西藏拉萨·二模）已知函数的部分图象如图，是相邻的最低点和最高点，直线的方程为，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据直线方程，结合两点斜率公式，求出，得到最小正周期，求出，再将代入，求出，得到解析式，再代值计算即可.【详解】连接，与轴交于点，由图象的对称性，知点也在函数的图象上，所以点的坐标为.设，由，得，所以的最小正周期满足，解得，即，解得，所以.因为点是图象的一个最高点，所以，结合，解得，所以，所以.故选：D.题型08 拼凑角【典例1】（2024·广东·一模）已知 ，则 （    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用两角和差公式以及倍角公式化简求值可得答案.【详解】由题干得 所以 ，故选：B.【典例2】（2024·四川·模拟预测）已知满足，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先应用两角和的正弦化简得出，再应用两角差的正弦计算即可.【详解】，所以，所以，故选:C．【典例3】（24-25高三上·广东·开学考试）若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由条件得，进而，再用两角和的正切公式求解即可.【详解】因为所以，等式左边，所以，即，故．故选：A.【变式1】（2024高三·北京·专题练习）设，，则的值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由，再利用两角差的正切公式进行求解即可.【详解】，将，代入，得原式．故选：B.【变式2】（24-25高三上·湖北·阶段练习）若 则 （    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可代入求解.【详解】故选：C【变式3】（23-24高二下·湖南·期中）已知均为锐角，且.则（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意，可求得及，利用两角差的正切可求得，由即可求得答案．【详解】为锐角，，，．，又是锐角，．故选：D．题型09 三角函数值域与最值【典例1】（23-24高一·全国·课后作业）若函数的最小值为-6，则实数a的值为 .【答案】-7或7【解析】设，则原函数化为，分别讨论，，时函数的最小值即可求出a.【详解】设.因为，所以，则原函数化为，对称轴方程为直线.①若，即，则当时，，所以，不符合题意，舍去；②若，即，则二次函数在上单调递增，当时，，所以；③若，即，则二次函数在上单调递减，当时，，所以.综上所述，实数a的值为-7或7.故答案为：-7，7【点睛】本题考查了正切函数的值域和二次函数的最值，考查了换元法和分类讨论法，属于中档题.【典例2】（2024·安徽安庆）函数的值域是 .【答案】【分析】先化简，再根据余弦函数和二次函数的性质求解即可.【详解】，因为，，令，，所以，对称轴为，因为在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以函数的值域是.故答案为：.【典例3】（23-24高一下·江西宜春·期中）已知函数 在区间上的最大值记为 M，则M的取值范围为 【答案】【分析】先由周期公式得到区间的长度为，再利用正弦函数的单调性和图象的对称性分别找到最大值和最小值，求出即可.【详解】函数的周期，而区间的长度为1，即，由正弦函数的单调性可知的最大值为2，又函数的递减区间为，即，如图所示，  当函数的图象的最低点位于区间的图象上，且函数关于对称时，取得最小值，此时最小值，所以则M的取值范围为.故答案为：【变式1】（23-24高一下·安徽宿州·期中）函数，的值域为 ．【答案】【分析】由的范围求出的范围，再根据二次函数的性质即可得出答案.【详解】因为，所以，，则当时，，当时，，所以函数的值域为.故答案为：.【变式2】（23-24高一上·吉林长春·期末）函数，的值域为 ．【答案】【分析】根据同角三角函数的平方关系结合二次函数的性质及余弦函数的性质计算即可.【详解】由，当时，，易知，故时，取得最小值，时，，时，，又，故的最大值为.故答案为：【变式3】（23-24高一下·湖北·开学考试）若函数在上的值域为，则的取值范围为 ．【答案】【分析】依题意可得，令则，结合函数的值域，求出所对应的的值，再结合正弦函数的性质可得.【详解】因为，，令，则，因为，当时，，此时；令即，解得，又，，结合图象可知：，所以的取值范围为.故答案为：题型10 五点法作图问题【典例1】（23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知函数 (1)试用“五点法”画出函数 在区间 的简图；   (2)若 时，函数 的最小值为 ，试求出函数 的最大值并指出 取何值时，函数 取得最大值．  【答案】(1)答案见解析(2) 时 最大，最大值为 【分析】（1）先列表，再描点连线，可得简图；（2）根据得，继而得，则可求得，进一步计算即可求解.【详解】（1）先列表，再描点连线，可得简图．  （2） ，   ，，，， ， ，当 即 时 最大，最大值为 ．【典例2】（23-24高一下·全国·课后作业）用五点法做出函数 的图象．(1)填表：(2)五个关键点的坐标为＿、＿、＿、＿、＿；(3)用五个关键点做出函数y= 在区间 上的图象．由 的周期性，把图象向左右延拓，就可得到它在R上的图象，【答案】(1)答案见解析(2)(3)答案见解析【分析】（1）由表格中的值可得x的值；（2）由表格可得5个关键点；（3）将5个关键点画在坐标系中，用平滑的曲线连接起来即可得图像.【详解】（1）表格如下图所示：（2）；（3）【典例3】（23-24高一上·广东广州·期末）设函数，将该函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，函数的图象关于y轴对称.(1)求的值，并在给定的坐标系内，用“五点法”列表并画出函数在一个周期内的图象；(2)求函数的单调递增区间；(3)设关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.【答案】(1)，图象见解析；(2)(3)【分析】（1）化简解析式，通过三角函数图象变换求得，结合关于轴对称求得，利用五点法作图即可；（2）利用整体代入法求得的单调递增区间.（3）化简方程，利用换元法，结合一元二次方程根的分布求得的取值范围.【详解】（1）.所以，将该函数的图象向左平移个单位后得到函数，则，该函数的图象关于轴对称，可知该函数为偶函数，故，，解得，.因为，所以得到.所以函数，列表：作图如下：（2）由函数，令，，解得，，所以函数的单调递增区间为（3）由（1）得到，化简得，.令，，则.关于的方程，即，解得，.当时，由，可得；要使原方程在上有两个不相等的实数根，则，解得.故实数的取值范围为.【变式1】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数，.(1)在用“五点法”作函数在区间上的图象时，列表如下：将上述表格填写完整，并在坐标系中画出函数的图象；(2)求函数的单调递增区间；(3)求函数在区间上的最值以及对应的的值.【答案】(1)答案见解析(2)，．(3)时，取最大值，时，取最小值，【分析】（1）分别计算五点坐标，利用五点法即可画出图形．（2）利用整体法结合正弦函数的单调性即可得解．（3）利用正弦函数的性质即可得解．【详解】（1）描点，连线，可得图象如下：（2）令，，解得，，可得函数的单调递增区间为，．（3）因为，可得， 故当时，即时，取最大值，当时，即时，取最小值.【变式2】（23-24高一上·云南玉溪·期末）已知函数．(1)求的最小正周期和对称中心；(2)填上面表格并用“五点法”画出在一个周期内的图象．【答案】(1)，它的对称中心为，(2)答案见解析.【分析】（1）：根据二倍角与辅助角公式化简函数为一名一角即可求解；（2）：根据五点法定义列表作图即可．【详解】（1） ∴函数的最小正周期；令，，解得，，可得它的对称中心为，．（2）【变式3】（23-24高一上·海南海口·期末）已知函数.(1)利用“五点法”完成下面表格，并画出函数在区间上的图像.(2)解不等式.【答案】(1)表格、图象见解析；(2)，.【分析】（1）根据正弦函数的性质，在坐标系中描出上或的点坐标，再画出其图象即可.（2）由正弦函数的性质得，，即可得解集.【详解】（1）由正弦函数的性质，上的五点如下表：函数图象如下：（2）由，即，故，，所以，，故不等式解集为，.题型11 三角函数中零点（根）个数问题【典例1】（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知函数的一系列对应值如表：(1)根据表格提供的数据求函数的一个解析式；(2)根据（1）的结果，若函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．【答案】(1)，(2).【分析】（1）根据表格提供数据分别求得的值，从而求得解析式.（2）先利用周期公式求k的值，利用换元法，结合三角函数的图象求得m的取值范围.【详解】（1）由表格知，函数的最小正周期，，由，解得，由，得，，则当时，，所以.（2）由（1）得，则，即，于是，令，由，得，依题意，，即在上恰有两个不同的解，即函数在上的图象与直线有两个交点，在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象，观察图象，当，即时，直线函数在上的图象有两个交点，所以实数m的取值范围是.【典例2】（23-24高一下·广西梧州·阶段练习）已知函数．(1)求函数的最小正周期和对称轴方程；(2)若函数在上有2个零点，求实数的取值范围．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）利用正弦函数的周期性和对称性即可得到答案.（2）求出函数的解析式及对应的相位范围，再把函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题即可求出的范围.【详解】（1）依题意，函数的最小正周期；由，得，所以函数对称轴方程为．（2），故条件等价于方程在上有个解.由，得，且和一一对应，所以条件等价于方程在上有两个解.作出在上的图象如下：由于在和上递增，在上递减，且，，，.故方程在上有两个解等价于或，解得或.所以的取值范围是.【变式1】（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）设，函数，.(1)当时，求的值域；(2)讨论的零点个数.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）利用换元法及二次函数的性质计算可得；（2）令，可得，令，求出函数的单调性与值域，结合余弦函数的单调性，将问题转化为与的交点个数.【详解】（1）当时，，因为，所以，令，则，令，，则在上单调递减，在12,1上单调递增，则，又，故的值域为，即的值域为.（2）令，即，得.因为，所以，令，则，令，，则在上单调递减，在12,1上单调递增，又，，所以，即，，因为在上单调递减，所以的零点个数等价于的零点个数，即与的交点个数，当或时，无解；当时，仅有一解；当时，有两解.综上，当或时，无零点；当时，有一个零点；当时，有两个零点.【变式2】（23-24高一下·安徽淮北·阶段练习）已知函数，.(1)若，求实数的值；(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，计算求值，即得答案；（2）令，则可得，即，求出，结合以及正弦函数的单调性，讨论t的取值范围，确定解的个数，即可求得答案.【详解】（1）由题意知，故，∴，∴.（2）令，因为，故，则，由得，∵在上是增函数，在上是减函数，且，，，∴时，有两个值；或时，有一个值，∴时，，（-1不合题意），函数只有1个零点，时，，要有2个零点，需有，∴，时，，要有2个零点，需有，∴，综上，有两个零点时，的取值范围是.题型12 三角函数中零点（根）的代数和问题【典例1】（2024高一·全国）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，当时，.(1)求的值；(2)求的函数表达式；(3)如果关于的方程有解，记为方程所有解的和，求.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由对称性可将转化为，转化为，由已知可得解；（2）利用对称性可得当时的解析式，从而得到函数的解析式；（3）画出函数的图像，通过图像可得解．【详解】（1）因为定义在上的函数y=fx的图象关于直线对称，所以，则,.（2）因为，所以，所以，又当时，函数，所以.（3）作函数的图象如图所示，显然，若有解，则．①若有两解，；②若有三解，；③若有四解，；④若有两解，.综上所述，当或时，有两解，；当时，有三解，；当时，有四解，.所以【典例2】（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数．(1)判断并证明的奇偶性，并求出使成立的的取值范围；(2)设（1）中的取值范围为集合现有函数，其定义域为，若对A中任意一个元素，都存在个不同的实数，，，，，使（其中，，，，，，）则称为A的“重对应函数”试判断是否为A的“重对应函数”？如果是，写出并计算出；如果不是，请说明理由．【答案】(1)函数为偶函数，证明见解析(2)是，．【分析】（1）根据对数运算法则将函数化简之后判断奇偶性与单调性，从而将不等式进行转化，即可得解；（2）在上的图象，数形结合即可得解．【详解】（1）函数为偶函数，证明如下：函数，其定义域为，又，则函数为偶函数．设，则，又由，则，，故，故函数在上为增函数；又由，则，即，变形可得，解得，即的取值范围是．（2）因为，所以，作出在上的图象如下图，由图象可知，当时，函数与在上的图象恒有个交点，根据定义可得是的“重对应函数”，即．由的对称性知：，，则，所以是的“重对应函数”，．【变式1】（23-24高一上·全国·期末）已知函数（）的最小正周期为．(1)求函数在区间上的最大值和最小值；(2)若函数在区间上恰有2个零点，求的值．【答案】(1)最大值和最小值分别为；(2).【分析】（1）求出函数的解析式，再利用余弦函数的性质求解即得.（2）利用余弦函数图象的对称性，结合诱导公式计算.【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，解得，当时，，则当，即时，，当，即时，，所以函数在区间上的最大值和最小值分别为.（2）由，得，即，由函数在区间上恰有2个零点，得在上恰有2个根，而当时，，显然余弦函数在上递增，在上递减，且在上的图象关于直线对称，因此函数在上单调递增，在上单调递减，在上的图象关于直线线对称，因此，.【变式2】（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数，.(1)求函数的单调递增区间；(2)若函数在区间上有两个零点，求的取值范围.(3)若函数有且仅有3个零点，求所有零点之和.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据正弦函数的单调增区间即可得出答案；（2）由题可知在区间内有两个相异的实根，即图像与的图像有两个不同的交点结合图像可得结果.（3）关于成中心对称，而关于成中心对称，设三个零点为，则，即可得出答案.【详解】（1）由，得.故函数的单调递增区间为：（2）若函数在区间上有两个零点，令，即与在区间上有两个交点，令，由，则，即与在区间上有两个交点，画出与在区间上的图象，如下：  由图可知：.（3）函数有且仅有3个零点，因为关于成中心对称，而关于成中心对称，设三个零点为，则，001000π2πx010-100π2πx010-10000000fx 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