中职数学苏教版（中职）第一册第5章 三角函数随堂练习题

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【典例1】（23-24高一下·广东中山·阶段练习）已知的一段图象如下图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调减区间；
(3)，求函数的值域．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由图象可知，求出，从而可求出的值，再将代入函数中可求出的值；
（2）由可求出函数减区间；
（3）由求出的范围，再结合正弦函数的性质可求出其值域.
【详解】（1）由图象可知，则，
所以，得，
所以，
因为的图象过点，
所以，得，
得，
因为，所以，
所以；
（2）由，得
，
所以，
所以的递减区间为；
（3）由，得，
所以，
所以，即，
所以，
所以的值域为.
【典例2】（23-24高一上·甘肃武威·期末）设函数.
(1)求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标；
(2)求在上的最值.
【答案】(1)对称轴方程为，，对称中心的坐标为，；
(2)，.
【分析】（1）因为，根据正弦函数的图像与性质，即可求解；
（2）由，所以，得到函数的单调性，进而求得函数的最值.
【详解】（1）解：因为，
令，解得，
所以的对称轴方程为，
令，可得，
可得函数图象的对称中心的坐标为.
（2）解：因为，所以，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又由，，
所以.
【变式1】（23-24高一下·江西上饶·期末）已知函数．
(1)求的最小正周期及单调递增区间；
(2)求在区间上的最大值、最小值及相应的的值．
【答案】(1)，
(2)的最小值为，此时；的最大值为，此时
【分析】（1）由题意，利用简单的三角恒等变换化简函数解析式，再根据正弦型函数的周期性得出结论；
（2）由题意，根据正弦型函数的定义域和值域求得函数在区间上的最值及相应的的值.
【详解】（1）
故；
由令
则
故函数的单调递增区间为；
（2）当时，，
则，即，
即在区间上的最小值和最大值分别为0，3，
即时，即时有最小值0，
当，即时有最大值3．
【变式2】（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知函数的最小正周期是．
(1)求的对称轴方程．
(2)求在上的最值及其对应的x的值．
【答案】(1)
(2)答案见详解
【分析】（1）由最小正周期可得，以为整体，结合正弦函数对称轴运算求解；
（2）以为整体，结合正弦函数的性质求解即得.
【详解】（1）因为函数的最小正周期是，且，
则，即，
令，解得，
所以的对称轴方程为.
（2）由（1）可知：，
因为，则，
可得，则
当，即时，取到最小值；
当，即时，取到最大值1.
【变式3】（23-24高一下·四川眉山·阶段练习）已知函数．
(1)求函数的最小正周期和对称中心；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)当时，求函数的最值及此时x的值．
【答案】(1)最小正周期为，对称中心为
(2)单调递减区间为
(3)当时有最小值为，当时最大值为.
【分析】（1）利用周期公式求周期，根据整体代入法结合正弦函数的对称性求解可得对称中心；
（2）根据整体代入法，利用正弦函数的单调递减区间可解；
（3）根据的范围求出的范围，利用正弦函数性质求解可得.
【详解】（1），
函数的最小正周期为．
令，则，
函数的对称中心为．
（2）令，
则，
函数的单调递减区间为．
（3），．
，．
当，即时，取得最小值；
当，即时，取得最大值.
题型02已知最值，求参数
【典例1】（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）若函数在上的值域是，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先根据函数的定义域求的范围，再根据函数的定义域确定右端点的取值范围.
【详解】当，，
由函数的值域为，可知，
解得：.
故答案为：
【典例2】（2024高一下·上海·专题练习）函数在闭区间上的最大值是1，则 ．
【答案】
【分析】令，即求在上的最大值，需要根据对称轴的位置进行分类讨论即可求出结果.
【详解】，
令，则，对称轴，
若，即时，在处取得最大值，即，解得，与矛盾，故不合题意，舍去；
若，即时，在处取得最大值，即，即，解得或，因为，所以；
若，即时，在处取得最大值，即，解得，与矛盾，故不合题意，舍去；
综上：.
故答案为：.
【典例3】（23-24高一下·上海·课后作业）已知函数．
（1）求的单调增区间；
（2）若在区间上的值域为，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用两角和与差的余弦公式和二倍角的余弦公式化简函数为，再利用余弦函数的性质求解.
（2）根据的值域为，则，再根据，利用余弦函数的性质求解.
【详解】（1），
，
，
令，，解得，，
∴的单调递增区间为，.
（2）∵的值域为，∴，
∵，∴，
结合余弦函数图象可知，解得，
∴的取值范围是.
【变式1】（23-24高三上·云南楚雄·期末）若函数在上的最小值大于，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】结合定义域和函数图像即可求得.
【详解】因为，所以，因为，所以，
又，所以，
则解得.
故答案为：
【变式2】（23-24高三上·江西抚州·期末）若函数在的值域为，则的取值范围是
【答案】
【解析】先根据题意计算出的范围，再根据函数的单调性，结合值域，列出不等式，即可求得.
【详解】因为，且，
故可得，
因为在区间单调递减，在单调递增，
且，，
故要满足题意，只需
解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查由余弦型函数在区间上的值域，求参数范围的问题，属中档题.
【变式3】（23-24高一·全国·课后作业）设函数．
(1)当时，求的减区间；
(2)若时，的最大值为3，求实数a的值．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）代入，整体代入求解余弦型函数的单调递减区间即可；
（2）先计算时，，再讨论和时的最大值，令其等于3，解方程即得结果.
【详解】（1）解：当时，，
令，得，
故的减区间为．
（2）解：当时，，所以，
当时，时，，解得；
当时，时，，解得．
综上，或．
题型03 三角函数中的恒（能）成立问题
【典例1】（23-24高一下·湖北·期中）已知函数.
(1)求的对称中心；
(2)将函数的图象上所有的点向下平行移动个单位长度，然后保持各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象.
（i）求的值域；
（ii）当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii）.
【分析】（1）将化为，则由余弦函数的对称中心，可得的对称中心；
（2）（i）由（1）和已知得，则，利用换元法，由二次函数的性质即可求得函数的值域；
（ii）原不等式等价于，可化为恒成立，利用正、余弦函数的性质，分时，时，时，三种情况讨论不等式恒成立的条件，即可得到实数的取值范围.
【详解】（1）
，
令，得，
所以的对称中心为.
（2）由，
将函数的图象上所有的点向下平行移动个单位长度，
然后保持各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，
得，
（i）
，
令，，
则，其对称轴为，
故当时，；当时，，
所以函数的值域为.
（ii）原不等式等价于，
也即，
即恒成立，
①当时，恒成立，显然成立，故符合题意，
②当时，令，由可得，
此时，
所以，
当且仅当且即时等号成立，
所以的最小值为，
若要满足不等式恒成立则，得，
则，
③当时，同理可得，
当且仅当cst=1且即时等号成立，
所以的最小值为，
若要满足不等式恒成立则，得，
则，
综上所述，的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：当时，恒成立，即恒成立，令，，利用正、余弦函数的性质，讨论时，时，时，三种情况不等式恒成立的条件.
【典例2】（23-24高二下·广东梅州·期末）已知函数，的图象关于直线对称，且相邻两个零点的距离为．
(1)求ω和φ的值；
(2)若，，求的值．
(3)若，使得关于x的不等式成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)实数的取值范围为
【分析】（1）利用周期可求，由函数图象关于直线对称，可求；
（2）由已知可得，进而可求得，利用可求值；
（3）求得，可求实数的取值范围.
【详解】（1）因为相邻两个零点的距离为，所以周期为，所以，所以，
所以，函数的图象关于直线对称，
所以，所以，
所以，又，所以；
（2）所认，，所以，
所以，因为，所以，
又，所以，
所以，
；
（3）因为，又，
则有，所以，
由，使得关于的不等式成立，
所以，实数的取值范围为．
【典例3】（23-24高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数，其中.
(1)若，，求的对称中心；
(2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值；
(3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据三角恒等变换整理可得，结合周期可得，进而可求对称中心；
（2）根据图象变换结合零点可得，再结合周期性以及正弦函数零点分析求解；
（3）由（2）可得：，分析可知，结合三角函数的值域分析求解.
【详解】（1）由题意可得：；
因为，，可知最小正周期，
且，则，解得：，
所以；
令，解得：，此时，
所以的对称中心为.
（2）由题意可知：；
因为，
可得，
则或，
解得：或，
又因为，可得，
所以，其最小正周期；
令，即，
则或，
解得：或；
若在上恰有8个零点，则，
要使最小，则，恰好为的零点，
所以.
（3）由（2）知：，
设在上的值域为A；在上的值域为，
若对任意，存在，使得成立，则；
当时，则，
可得，所以；
当时，则，
可得，所以；
由可得：，且，解得，
所以实数的取值范围为.
【变式1】（23-24高一下·上海·期末）已知函数y=f(x)，其中，（，）
(1)若，，在用“五点法”作出函数y=f(x)，的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：
(2)若，，写出函数y=f(x)的最小正周期和单调增区间
(3)若y=f(x)的频率为，且恒成立，求函数y=f(x)的解析式.
【答案】(1)答案见详解
(2)；，
(3)
【分析】（1）根据题意，可得，完成五点法列表；
（2）利用解析式结合正弦函数的单调递增区间，即可求出的单调递增区间；
（3）根据题意可得，求得，又恒成立，可得，求得，得解.
【详解】（1）若，，则，，五点法列表如下：
（2）若，，则，所以最小正周期，
由的单调性可知，，即，
所以y=fx的单调增区间为，.
（3）由题意可得y=fx的周期，则，
所以，又恒成立，
所以，即，即，
又，所以，
所以.
【变式2】（23-24高一下·四川内江·期中）函数的一段图象如图所示．
(1)求函数的解析式及单调递增区间；
(2)求函数在上的值域；
(3)若不等式对，上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，单调递增区间为.
(2)
(3)
【分析】（1）由图象直接得到，求出函数的周期，即可求出，利用图象经过，结合的范围求出的值，得解析式，最后求单调递增区间即可；
（2）根据，得，再通过整体法计算函数值域即可；
（3）由（2）得函数在区间的最大值为，即，进一步将不等式转化为能成立，使用基本不等式求解即可．
【详解】（1）由图象可知，,
所以,
将图象上点代入函数中得，，
结合图象知，
所以，
又因为，
所以，
故.
由，
解得，
故函数的单调递增区间为.
（2）因为，
所以，
当时，函数最大值为，
当时，函数最小值为，
所以，
故函数在区间的值域为.
（3）因为对，不等式恒成立，
所以，
由（2）知，函数在区间的值域为，
所以，
即能成立，
所以，
又因为，
当且仅当，即时取等号，
所以.
故实数的取值范围为.
【变式3】（23-24高一下·广东佛山·期中）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)请将上表数据补充完整，并求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象．若方程在区间上有解，求的取值范围．
【答案】(1)表格见解析，
(2)
【分析】（1）通过表格中的数据可以得到振幅的值，和周期的大小，然后就可以求出，再通过代入最低点，求得的值，即可得到函数解析式；
（2）图象往左移，即可得到新的图象对应到的解析式，再通过研究其在给定区间的值域，即可得到的取值范围.
【详解】（1）由表中数据，得．
因为，所以，于是．
代入数据，可得，解得．
所以．
数据补全如下表：
（2）将函数的图象向左平移个单位后得到
的图象，
因为，则有，
所以，所以，
方程在区间上有解，
题型04 函数零点（根）的问题
【典例1】（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知函数．
(1)求的值；
(2)若，求的最大值和最小值；
(3)若，讨论根的情况．
【答案】(1)
(2)最小值为，最大值为
(3)个根
【分析】（1）根据函数解析式求得的值.
（2）化简的解析式，然后根据三角函数最值的求法求得正确答案.
（3）通过分离常数法，结合三角函数的图象来求得正确答案.
【详解】（1）依题意，，
所以.
（2）
.
由于，所以，
当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为.
（3）由上述分析可知，
由于，所以，所以.
依题意，所以，，
由得，
则，画出在区间上的图象如下图所示，
由于，，
结合图象可知方程有个根.
【典例2】（23-24高一下·福建泉州·期中）已知函数的图象与x轴的两个相邻交点之间的距离为，直线是的图象的一条对称轴.
(1)求函数的解析式；
(2)将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数m的最大值.
(3)若，方程存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据函数的图象性质，求解函数的解析式；
（2）首先求函数ℎx，利用函数单调性求参数的取值范围.
（3）先解方程，再根据方程有4个根，再根据交点个数求参.
【详解】（1）由条件可知，周期，所以，又，得，
，因为，所以，
即函数；
（2）将图象上所有的点向左平移个单位长度，，
若对于任意的，
当时，恒成立，
所以，单调递减，
单调递减，
所以，
所以,m的最大值为.
（3）因为，
可得或，
当，设，
由条件转化为y=fx与的交点，
在上的图象恰有2个不同的交点，
方程存在4个不相等的实数根，
则y=fx与必有2个交点，
即在上的值域为时，函数fx与有2个交点，
则或，即或
【点睛】方法点睛：先解方程，再根据方程有4个根，再根据交点个数结合给定范围值域求参.
【变式1】（23-24高一下·广东佛山·期中）已知函数过点．
(1)求的对称轴方程、对称中心以及单调递减区间；
(2)若关于的方程在区间上有解，求的取值范围．
【答案】(1)，对称中心为，递减区间为
(2)
【分析】（1）结合余弦函数的对称性及单调区间计算；
（2）先应用换元法，转化有解式子应用函数单调性结合.
【详解】（1）由题意可得π6+φ=π2+kπ,k∈Z，
即，又因为，
故，故，
令，
得，
故函数的对称轴方程为；
令，
得，
故对称中心为．
令，
得，
故函数的递减区间为．
（2）令，
因为，
所以，
所以，
则有，则关于的方程在上有解，
由可得，
令，则，
因为函数、在上均为减函数，
所以，函数在上为减函数，则，
所以，，解得，故实数的取值范围是．
【变式2】（23-24高一下·上海·期中）已知函数（）.

(1)化简y=fx的解析式，并写出函数y=fx的最小正周期；
(2)求函数y=fx的单调增区间；
(3)用五点法画出函数y=fx，的图像；若函数在内有两个相异的零点，求实数k的取值范围.
【答案】(1)；最小正周期为
(2)
(3)图象见解析；
【分析】（1）化简函数为，结合最小正周期的公式，即可求解；
（2）由（1）知，结合三角函数的性质，即可求解；
（3）根据五点作图法，画出函数y=fx的图象，根据题意，转化为y=fx和的图象在内有两个不同的交点，结合图象，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，
所以函数的最小正周期为.
（2）解：由（1）知，
令，解得，
所以函数的单调递增区间.
（3）解：由，可得，
列表：
描点、连线

由函数在内有两个相异的零点，
即在内有两个相异的实根，
即y=fx和的图象在内有两个不同的交点，
因为，可得，
当时，即，可得；
当时，即，可得；
当时，即，可得，
要使得y=fx和的图象在内有两个不同的交点，
结合图象，可得，解得，即实数的取值范围为.

题型05 求函数零点（根）的代数和问题
【典例1】（23-24高一下·河南南阳·期中）已知在上是单调函数，函数的图象关于点中心对称，且对任意的，都有.
(1)求解析式；
(2)若函数在上有两个零点，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的对称性求周期求参，再根据最值求参即可得出解析式；
（2）根据零点结合对称性得出参数值，再应用解析式求函数值.
【详解】（1）由题对任意，都有，故当时，取得最大值.
因为在是单调函数，且的图象关于点对称，
所以得，所以
又因为函数在时取得最大值，所以，，
即，.因为，所以，
所以：.
（2）因为，令，则
在内的图象如图所示，

由题函数在有两个零点，，
即与在内有两个交点，，
数形结合可得：，，即，
所以.
【典例2】（23-24高一下·江西·阶段练习）已知函数，函数为偶函数．
(1)证明：为定值．
(2)若函数在内存在零点，且零点为，记，请写出X的所有可能取值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)的所有可能取值为.
【分析】（1）根据给定条件，借助正弦型函数是偶函数的特性求出，求出解析式即可计算得证.
（2）由（1）求出，换元并构造函数，探讨函数单调性，结合图象求出的所有可能取值.
【详解】（1）依题意，，
由为偶函数，得，解得，而，则，
又，
所以，为定值.
（2）由（1）得，令，由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
，
，
则函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
，

当时，有3个零点，，
因此；
当时，有4个零点，，
因此；
当时，有3个零点，，
因此；
当时，有2个零点，，
因此；
当时，有1个零点，，因此，
所以的所有可能取值为.
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出的解；(2)图象法：作出函数的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
【变式1】（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)记方程在上的从小到大依次为，，⋯，，试确定n的值，并求的值．
【答案】(1)，；
(2)5，.
【分析】（1）对合理化简后求出单调递增区间即可.
（2）先用换元法求出方程根的个数，进而确定n的值，再利用性质求和即可.
【详解】（1）由题意知：

令，，则，
所以的单调递增区间为：，
（2）令，则，
∵，∴
令，则函数在上的图象如下图所示，
由图可知，与共有5个交点，
∴在上共有5个根，即，
∵
∴，
故的值为.
【变式2】（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知函数．
(1)求函数的单调递增区间，并解不等式；
(2)关于的方程在上有两个不相等的实数解，求实数的取值范围及的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）由题意分别令，，解不等式即可得解.
（2）由题意得在上有两个不相等的实数解，结合三角函数单调性、最值即可求出的取值范围，结合对称性代入求值即可得的值.
【详解】（1）由题意令，解得，
即函数的单调递增区间为，
令，所以，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
（2）由题意即，
即在上有两个不相等的实数解，
当时，，而在上单调递减，在上单调递增，
所以当即时，，
当即时，，
又即时，，
所以若在上有两个不相等的实数解，
则实数的取值范围为，
因为，所以是的对称轴，

0

0
0
0
1
0
0
0
0
3
0
0
0
3
0
-3
0


1
3
1

1