精品解析:期中素养评估(第二十六、二十七章) 课时作业 2023-2024学年 人教版数学九年级下册(解析版)-A4
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这是一份精品解析:期中素养评估(第二十六、二十七章) 课时作业 2023-2024学年 人教版数学九年级下册(解析版)-A4,共26页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1. 已知点P(-3,2)是反比例函数图象上的一 点,则该反比例函数的表达式为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】设反比例函数的解析式为,
把P点(-3,2)代入可求得k=-6,
因此反比例函数的解析式为.
故选:D
2. 如图,已知一组平行线a//b//c,被直线m、n所截,交点分别为A、B、C和D、E、F,且AB=2,BC=3,DE=l.6,则EF=( )
A. 2.4B. 1.8C. 2.6D. 2.8
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到,然后利用比例性质可求出EF的长.
【详解】解:∵a∥b∥c,
∴,
即,
∴EF=2.4.
故选A.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
3. 已知点均在反比例函数的图象上,则的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可.
【详解】解:∵,
∴图象在一三象限,且在每个象限内y随x的增大而减小,
∵,
∴.
故选:B.
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质,反比例函数(k是常数,)的图象是双曲线,当,反比例函数图象的两个分支在第一、三象限,在每一象限内,y随x的增大而减小;当 ,反比例函数图象的两个分支在第二、四象限,在每一象限内,y随x的增大而增大.
4. 已知△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'是它们的对应中线,若AD=10,A'D'=6,则△ABC与△A'B'C'的周长比是( )
A. 3:5B. 9:25C. 5:3D. 25:9
【答案】C
【解析】
【分析】相似三角形的周长比等于对应的中线的比.
【详解】∵△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'是它们的对应中线,AD=10,A'D'=6,
∴△ABC与△A'B'C'的周长比=AD:A′D′=10:6=5:3.
故选C.
【点睛】本题考查相似三角形的性质,解题的关键是记住相似三角形的性质,灵活运用所学知识解决问题.
5. 一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图像可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质,根据四个选项中的图象,先由反比例函数图象得到的正负,进而得到直线图象即可得到答案,熟记一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质是解决问题的关键.
【详解】解:A、如图所示:
反比例函数中的,则直线中,即直线过第一三四象限,该选项不符合题意;
B、如图所示:
反比例函数中的,则直线中,即直线过第一三四象限,该选项符合题意;
C、如图所示:
反比例函数中的,则直线中,即直线过第一二四象限,该选项不符合题意;
D、如图所示:
反比例函数中的,则直线中,即直线过第一二四象限,该选项不符合题意;
故选:B.
6. 在平面直角坐标系中,各顶点的坐标分别为:,,,以为位似中心,与位似,若B点的对应点的坐标为,则A点的对应点坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据坐标确定位似比,再运用位似比计算坐标.
【详解】解:∵与关于成位似图形,且的对应点的坐标为,
∴
∵,
∴,
故选:A.
【点睛】本题考查了坐标系中位似计算,熟练掌握位似计算的基本要领是解题的关键.
7. 如图,点是反比例函数与⊙的一个交点,图中阴影部分的面积为,则该反比例函数的表达式为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据圆的对称性和反比例函数的对称性得到阴影部分的面积正好等于圆的面积的四分之一,然后根据阴影的面积为求出半径PO的长度,最后根据点P的坐标利用勾股定理列出方程即可求出a的值,然后代入表达式即可求出该反比例函数的表达式.
【详解】解:∵由图像可知,圆和反比函数的图像都关于原点中心对称,
∴阴影部分的面积正好等于圆的面积的四分之一,
∴如图所示,连接OP,作PA⊥x轴于点A,
∴,
解得:,即,
又∵点,
∴,,
∴在中,,
即,解得:,
∴P点坐标为,
将P点坐标代入,得:,
∴该反比例函数的表达式为.
故选:D.
【点睛】此题考查了圆的面积,反比例函数的图像和性质,勾股定理等知识,解题的关键是根据题意得到阴影部分的面积正好等于圆的面积的四分之一.
8. 凸透镜成像的原理如图所示,.若物体H到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为,则物体被缩小到原来的( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用,从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行求解是解题的关键.先证出四边形为矩形,得到,再根据,求出,从而得到物体被缩小到原来的几分之几.
【详解】解:,
,,
,
∴四边形矩形,
,
,
,
,
,
,
,
∴物体被缩小到原来的,
故选:.
9. 在平面直角坐标系中,点A在y轴的正半轴上,平行于x轴,点B,C的横坐标都是3,,点D在上,且其横坐标为1,若反比例函数()的图像经过点B,D,则k的值是( )
A. 1B. 2C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】设,则根据反比例函数的性质,列出等式计算即可.
【详解】设,
∵点B,C的横坐标都是3,,平行于x轴,点D在上,且其横坐标为1,
∴,
∴,
解得,
∴,
∴,
故选C.
【点睛】本题考查了反比例函数解析式的确定,熟练掌握k的意义,反比例函数的性质是解题的关键.
10. 如图,正方形与中,分别与,相交于点、点,若的面积为,正方形的面积为,则与的长度比为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质,矩形的判定和性质,三角形的面积公式,添加恰当辅助线构造直角三角形是解答本题的关键.
由正方形的性质可求,,由面积的和差关系可求,即可求,,由相似三角形的判定和性质可求解.
【详解】解:如下图:过点作于,交于,
,
,
四边形是矩形,
,
正方形的面积是,
,,
又,
,
,
,
,
,
,
故选:C.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11. 已知下列函数①,②,③,④(为常数),其中是反比例函数是_____(填序号).
【答案】②③##③②
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的定义:形如的函数叫反比例函数;直接根据反比例函数的定义求解即可.
【详解】解:下列函数①,②,③,④(为常数),其中是反比例函数的是,,
故答案为:②③.
12. 如图,在平面直角坐标系中,正方形和正方形是位似图形,已知且点在x轴上,那么这两个正方形的位似中心的坐标是_____.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查位似变换,掌握对应顶点的连线的交点为位似中心是解题的关键.连接与交于点,根据相似三角形的判定与性质可得出的长,即可得出位似中心的坐标.
【详解】为正方形,
且点,
,
点坐标为,
正方形和正方形是位似图形
点与点对应,点与点对应,
连接与交于点,
,
,
点坐标为,
,
设为,则,
,
,
即,
解得,
,,
这两个正方形的位似中心的坐标是1,0,
故答案为:1,0.
13. 一批零件200个,一个工人每小时做10个,用关系式表示人数y(个)与完成任务所需的时间x(小时)之间的函数关系式为_______.
【答案】y=
【解析】
【分析】根据等量关系“x个工人所需时间=工作总量÷x个工人工效”即可列出关系式.
【详解】解:由题意得:人数x与完成时间y之间的函数关系式为y=200÷10x=.
故答案为y=.
【点睛】此题考查了反比例函数在实际生活中的应用,找出等量关系是解决此题的关键.
14. 如图,为边长为的等边三角形,,,P为边上动点,以的速度从B向C运动,假设P点运动时间为,当______s时,与相似.
【答案】12或16或21
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定,等边三角形的性质,解题的关键是分类讨论.
先根据等边三角形的性质得,再分和两种情况求出答案即可.
【详解】解:∵是等边三角形,
,
,
当时,,
即,
解得:或;
当时,时,
即,
解得:.
∴或16或21.
故答案为:12或16或21.
15. 如图所示,正方形的顶点均在坐标轴上且边长为,当它与反比例函数的图象有且仅有四个公共点时,边长的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出直线的解析式,再将直线的解析式与联立,得到关于x的一元二次方程,结合根的判别式可得关于a的不等式,由此可解.
【详解】解:正方形的顶点均在坐标轴上且边长为,
,
直线的解析式为,
联立,
得:,
正方形与反比例函数的图象有且仅有四个公共点,
的图象与直线有两个公共点,
,
解得或(舍),
故答案为:.
【点睛】本题考查正方形的性质,反比例函数的图象及性质,一元二次方程的根的判别式等,解题的关键是通过联立直线的解析式与,得到关于x的一元二次方程.
16. 母亲节,小敏准备送礼物给妈妈,他用正方形纸板,制作一个正方体礼品盒(如图所示裁剪).已知正方形纸板边长为10分米,则这个礼品盒的边长__________分米.
【答案】
【解析】
【分析】设分米,判断出和为等腰直角三角形,证明,得到,可求出,即可得到正方体礼品盒的棱长.
【详解】解:如图,在正方形中,分米,
设分米,
由此裁剪可得:和为等腰直角三角形,
∴,
∴,即,
解得:分米,
∴分米,
∴正方体礼品盒的棱长为分米,
故答案为:.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,解题的关键是理解题意,读懂裁剪的方法,找到相似三角形.
17. 如图,已知直线交y轴正半轴于点A,,与双曲线其中一个交点为,图中阴影部分是以为对角线且面积为3的矩形(该矩形有一组邻边恰好在坐标轴上),则的长是__________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题,待定系数法,值的几何意义,求出直线和反比例函数的解析式,联立后求出点坐标,进而求出的长即可.
【详解】解:∵,
∴,代入,得:,
∴,
∵图中阴影部分是以为对角线且面积为3的矩形(该矩形有一组邻边恰好在坐标轴上),
∴,
∴,
联立,解得:或,
∴由图可知:,
∴.
故答案为:.
18. 如图,菱形的边长为6,,过点作,交的延长线于点,连接分别交,于点,,则的长为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】首先根据菱形的性质得到,,,然后勾股定理求出,,然后证明出,得到,求出,然后证明出,得到,求出,进而求解即可.
【详解】解:菱形的边长为6,,
,,,
,
,
,
在中,,
,
,
,
,
,
在中,,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
故答案为:.
【点睛】此题考查了菱形的性质,相似三角形的性质和判定,勾股定理,角直角三角形性质等知识,解题的关键是掌握以上知识点.
三、解答题(共66分)
19. 如图,在中,D在上,.
(1)求证:;
(2)若,求的值.
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定,熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.
(1)由题意得出,然后问题可求证;
(2)由(1)及题意得出,然后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可得,然后问题可求解.
【小问1详解】
解:∵,
∴,
,
.
【小问2详解】
解:由(1)可知,
,
,
,
,
.
20. 已知反比例函数的图象的一支位于第一象限.
(1)判断该函数图象的另一支所在的象限,并求m的取值范围;
(2)如图,O为坐标原点,点A在该反比例函数位于第一象限的图象上,点B与点A关于x轴对称,若的面积为6,求反比例函数的解析式.
【答案】(1)该函数图象的另一支在第三象限,
(2)
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用:
(1)根据反比例函数的图象和性质,进行求解即可;
(2)根据值的几何意义,列出方程进行求解即可.
【小问1详解】
解:根据反比例函数的图象关于原点对称可知,该函数图象的另一支在第三象限,且,
则;
【小问2详解】
设与x轴交于点C.
∵点B与点A关于x轴对称,
∴轴,
∵的面积为6,
∴的面积为3,
∴,
解得,
∴反比例函数的解析式为.
21. 小雅和小希所在的数学实践小组想利用镜子的反射测量校园内一棵树的高度.如图,小雅把高度为0.4米的支架放在离树适当距离的水平地面上的点处,再把镜子水平放在支架上的点处,小希站在处,眼睛到地面的距离米,这时恰好在镜子里看到树的顶端.小组其他同学用皮尺分别量得米,米.已知,,均垂直于地面,且,,在同一条直线上,请你根据以上数据,帮忙求出这棵树的高度.
【答案】这棵树的高度为4.15米
【解析】
分析】本题考查了相似三角形的应用,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.过点作,垂足为,延长交于点,根据题意可得:米,米,米,,从而可得,米,再根据题意可得:,从而可得,然后利用相似三角形的性质求出的长,从而利用线段的和差关系进行计算,即可解答.
【详解】解:过点作,垂足为,延长交于点,
由题意得:米,米,米,,
,
米,
(米,
由题意得:,
,
,
,
解得:,
(米,
这棵树的高度为415米.
22. 如图,已知直线y=﹣2x经过点P(﹣2,a),点P关于y轴对称点P′在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)直接写出当y<4时x的取值范围.
【答案】(1)y=;(2)反比例函数自变量x的范围为x>2或x<0;一次函数自变量x的范围是x>-2
【解析】
【分析】(1)把P的坐标代入直线的解析式,即可求得P的坐标,然后根据关于y轴对称的两个点之间的关系,即可求得P'的坐标,然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式;
(2)根据反比例函数的增减性即可求得x的范围.
【详解】(1)把P(﹣2,a)代入直线y=-2x解析式得:a=4,即P(﹣2,4),
∴点P关于y轴对称点P′为(2,4),
代入反比例解析式得:k=8,
则反比例解析式为y=;
(2)当y<4时,反比例函数自变量x的范围为x>2或x<0;一次函数自变量x的范围是x>-2.
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式,以及反比例函数的性质,容易出现的错误是在求x的范围时忽视x≠0这一条件.
23. 如图,已知AC为的直径,直线PA与相切于点A,直线PD经过上的点B且,连接OP交AB于点M.求证:
(1)PD是的切线;
(2)
【答案】(1)见解析 (2)见解析
【解析】
【分析】(1)连接OB,由等边对等角及直径所对的圆周角等于90°即可证明;
(2)根据直线PA与相切于点A,得到,根据余角的性质得到,继而证明,根据相似三角形的性质即可得到结论.
【小问1详解】
连接OB,
,
,
AC为的直径,
,
,
,
,
PD是的切线;
【小问2详解】
直线PA与相切于点A,
,
∵PD是的切线,
,
,
,
,
,
.
【点睛】本题考查了切线的判定和性质,相似三角形的判定和性质,圆周角定理,等腰三角形的性质,熟练掌握知识点是解题的关键.
24. 如图,已知是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求直线与x轴的交点C的坐标及的面积;
(3)求不等式的解集(请直接写出答案)
【答案】(1),
(2)6 (3)或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合问题,以及和不等式相结合的问题,正确理解函数的图象的坐标,函数与自变量的关系是解决本题的关键.
(1)将代入,即可得到m,从而得到反比例函数解析式,然后将A、B代入,即可得到一次函数的解析式;
(2)在一次函数上,当时,即可得到的坐标,从而得到的长,然后由求出的面积;
(3)根据图象即可求出的解析,即不等式的解集.
【小问1详解】
解:反比例函数经过点,
,
,
将,代入反比例解析式得:,
,
将与坐标代入一次函数解析式得:
,
解得:,
.
【小问2详解】
解:在直线中,当时,,
,即,
.
【小问3详解】
解:由图象知:当或时,,
故不等式的解集是或.
25. 如图1,点光源射出光线沿直线传播,将胶片上的建筑物图片AB投影到与胶片平行的屏幕上,形成影像CD.已知,胶片与屏幕的距离为定值,设点光源到胶片的距离长为单位:,CD长为单位:,当x=6时,.
(1)求的长.
(2)求关于的函数解析式,在图2中画出图像,并写出至少一条该函数性质.
(3)若要求CD不小于,求的取值范围.
【答案】(1)
(2),图象及性质见解析
(3)
【解析】
【分析】(1)根据得出,根据相似三角形的性质即可求解.
(2)由(1)得,,进而求得解析式,画出函数图形,根据函数图象写出一条性质即可求解;
(3)由,,解不等式即可求解.
【小问1详解】
解∵,
∴,
∴,
∴,
解得.
【小问2详解】
由(1)得,,
∴,
∴或,
画出图像如下:
性质:当x>0时,随的增大而减小;
【小问3详解】
由,,
则,
解得,
∴的取值范围为:.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定,反比例函数的性质,熟练掌握以上知识是解题的关键.
26. 某校数学活动小组在一次活动中,对一个数学问题作如下探究.
【问题发现】
(1)如图①,在等边中,点是边上一点,且,连接,以为边作等边,连接.则的长为______;
【问题提出】
(2)如图②,在等腰中,,点是边上任意一点,以为腰作等腰,使,连接.试说明与相等;
【问题解决】
(3)如图(3),在正方形中,点是边上一点,以为边作正方形,点是正方形的对称中心,连接.若正方形的边长为12,,求正方形的边长.
【答案】(1);(2)见解析;(3)
【解析】
【分析】(1)证明,即可得到结论;
(2)证明,则,由得到,则,即可证明结论;
(3)连接,证明,得到,求出,设,则,在中,,则,求出,即可得到答案.
【详解】解:(1)证明:∵与都是等边三角形,
∴,
∴,
∴,
在和中,
,
∴,
∴;
故答案为:.
(2)在等腰中,,
.
在等腰中,,
.
,
.
.
.
,
.
.
.
(3)如图③,连接,
四边形是正方形,
.
点是正方形的对称中心,
.
.
.
,
.
.
,
.
设,则,
在中,,即,
解得.
,
.
正方形的边长为.
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等知识,熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键.
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