专题04 几何证明（上海精编）-2021-2022学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版）（解析版）-A4

这是一份专题04 几何证明（上海精编）-2021-2022学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版）（解析版）-A4，共53页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2021·上海市奉贤区汇贤中学八年级期中）下列命题中，其命题是假命题是（ ）
A．周长相等的两个三角形全等
B．对顶角相等
C．等边对等角
D．两直线平行，同旁内角互补
【答案】A
【分析】
对各个命题逐一判断后找到错误的即可确定假命题．
【解析】
解：A、周长相等的两个三角形不一定全等，是假命题；
B、对顶角相等，是真命题；
C、等边对等角，是真命题；
D、两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质即可判定出命题正确性．
2．（2021·上海同济大学附属存志学校八年级期中）设m是非零实数，给出下列四个命题：①若﹣1＜m＜0，则＜m；②若m＞1，＜m；③若＜m，则m＞0；④若＞m，则0＜m＜1，其中是真命题的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
【答案】A
【分析】
根据不等式的性质，逐项判断，即可．
【解析】
解：①若﹣1＜m＜0，则＜m，是真命题；
②若m＞1，＜m，是真命题；
③若＜m，当 时， ，而 ，则原命题是假命题；
④若＞m，当 时， ，而 ，则原命题是假命题；
则真命题有①②．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了命题的真假，熟练掌握一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可是解题的关键．
3．（2019·上海·八年级课时练习）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．的三条中线的交点B．三边的中垂线的交点
C．三条角平分线的交点D．三条高所在直线的交点
【答案】C
【分析】
由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
【解析】
解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．掌握角的平分线的性质是解题关键．
4．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）到三角形三边的距离都相等的点是三角形的（ ）
A．三条角平分线的交点B．三条边的中线的交点
C．三条高的交点D．三条边的垂直平分线的交点
【答案】A
【分析】
由到三角形三边的距离都相等的点是三角形的三条角平分线的交点；到三角形三个顶点的距离都相等的点是三角形的三条边的垂直平分线的交点．即可求得答案．
【解析】
解：到三角形三边的距离都相等的点是三角形的三条角平分线的交点．
故选：A．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
5．（2020·上海松江·八年级期末）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．一个锐角和斜边对应相等B．两条直角边对应相等
C．两个锐角对应相等D．斜边和一条直角边对应相等
【答案】C
【分析】
由直角三角形全等判定依次判断可求解．
【解析】
解：A、若一个锐角和斜边分别对应相等，可用AAS证这两个直角三角形全等，故选项说法正确，不符合题意；
B、若两条直角边对应相等，可用SAS证这两个直角三角形全等，故选项说法正确，不符合题意；
C、若两个锐角对应相等，不能证这两个直角三角形全等，故选项说法错误，符合题意；
D、若斜边和一条直角边对应相等，可用HL证这两个直角三角形全等，故选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了直角三角形的全等判定，熟练运用直角三角形的全等判定是本题的关键．
6．（2020·上海市澧溪中学八年级阶段练习）在三角形内部，且到三角形三边距离相等的点是（ ）
A．三角形三条中线的交点B．三角形三条高线的交点
C．三角形三条角平分线的交点D．三角形三边垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】
利用角平分线的性质进行判断．
【解析】
解：在三角形内部，且到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点．
故选：C．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质．
7．（2021·上海浦东新·七年级期末）三角形三边长分别为①3，4，5②5，12，13③17，8，15④1，3，2．其中直角三角形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解析】
解：①32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
②52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
③82+152＝172，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
④，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
8．（2021·上海金山·八年级期末）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ；
B．每个命题都有逆命题；
C．每个定理都有逆定理；
D．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
【答案】C
【分析】
根据全等三角形的判定，命题与定理及角平分线的判定等知识一一判断即可．
【解析】
解：A．两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项是正确；
B、每个命题都有逆命题，所以B选项正确；
C、每个定理不一定有逆定理，所以C选项错误；
D、在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，命题与定理以及角平分线的判定方法，熟练利用这些判定定理是解题关键．
9．（2021·上海长宁·八年级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（ ）
A．3B．6C．12D．16
【答案】B
【分析】
根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论．
【解析】
∵AB的垂直平分线交AB于点D，
∴AE＝BE，
∵△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BE+CE=AC+BC＝13，△ABC的周长＝AC+BC+AB＝19，
∴AB＝△ABC的周长﹣△ACE的周长＝19﹣13＝6，
故选：B．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形周长等知识，解答本题的关键是熟练掌握运用垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
10．（2021·上海市康城学校八年级期末）在下列四个条件：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（ ）．
A．①③B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】D
【分析】
利用勾股定理逆定理即可知①能确定是直角三角形，再根据三角形内角和为，可求出②③④中分别有一个角等于，所以②③④也能确定是直角三角形．
【解析】
①．，由勾股定理逆定理可知是直角三角形，故①能确定．
②．∵，即，
∴．
∴是直角三角形，故②能确定．
③．∵，，
∴，即．
∴是直角三角形，故③能确定．
④．，设，则，，
∵，即，
解得，
∴，
∴是直角三角形，故④能确定．
故选：D．
【点睛】
本题考查直角三角形的判定，根据勾股定理逆定理和利用三角形内角和等于来求出其中一个角为即判定该三角形为直角三角形是解答本题的关键．
11．（2021·上海市康城学校八年级期末）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）．
A．若，则B．同位角相等，两直线平行
C．对顶角相等D．若，，则
【答案】B
【分析】
分别写出各选项中命题的逆命题，然后判断其真假即可．
【解析】
解：A、逆命题为：若∣a∣=∣b∣，则a=b，是假命题；
B、逆命题为：两直线平行，同位角相等，是真命题；
C、逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题；
D、逆命题为：若a+b＞0，则a＞0，ab＞0，是假命题，
故选：B．
【点睛】
本题考查了互逆命题的知识，会判断命题的真假，正确写出原命题的逆命题是解答的关键．
12．（2020·上海市育才初级中学八年级期中）下列各命题中，假命题是（ ）
A．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
B．有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等
C．有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等
D．有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等
【答案】B
【分析】
根据全等三角形的判定定理进行证明并依次判断．
【解析】
解：、有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；
、高有可能在内部，也有可能在外部，是不确定的，不符合全等的条件，原命题是假命题；
、有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；
、有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；
故选：．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，灵活判定命题真假，熟记定理并灵活应用解决问题是解题的关键．
13．（2021·上海·九年级专题练习）下列命题中不正确的是（ ）
A．斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等
B．有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
C．有一条边相等的两个等腰三角形全等
D．有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等
【答案】C
【分析】
根据全等三角形的判定方法容易得出A、B、D是真命题，C是假命题，即可得出结论．
【解析】
解：A．斜边对应相等的两个等腰直角三角形，根据两三角形全等的判定定理“AAS”得出两个三角形全等；故本选项是真命题；
B．有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，则其根据为“SAS”可以得出两个三角形全等，故本选项是真命题；
C．有一条边相等的两个等腰三角形全等不一定全等；故本选项是假命题；
D．有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等根据两三角形全等的判定定理“HL”得出两个三角形全等；故本选项是真命题；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了命题与定理以及全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
14．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在中，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】D
【分析】
如下图，首先确定DC＇＝DE＋EC＇＝DE＋CE的值最小，由已知条件得出BD和BC＇的长度，然后根据勾股定理计算得出DC＇，即为DE＋CE的值最小值．
【解析】
解：如图，过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC＇，交AB于E，此时DE＋CE＝DE＋EC′＝DC′的值最小，连接BC′．

在中， AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°．
由对称性可知∠ABC＇＝∠ABC＝45°．
∴∠CBC＇＝90°．
∵CC＇⊥AB，OC′＝OC，
∴BC＇＝BC＝2．
∵D是BC边的中点，
∴BD＝1．
根据勾股定理可得：DC＇＝＝．
故EC＋ED的最小值是．
故答案为：D．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，确定动点E何位置，使EC＋ED的值最小是关键．
15．（2019·上海·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E， =15，DE=3，AB=6，则AC长是( )
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AC边上的高，再利用S△ABD+S△ACD=S△ABC，即可得解．
【解析】
解：作DF⊥AC于F，如图：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=3，
∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，
∴，
∴AC=4．
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
16．（2020·上海闵行·八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H，AD平分∠BAC，与CH相交于点D，过点D作DE∥BC，与边AB相交于点E，那么下列结论中一定正确的是（ ）
A．DA=DEB．AC=ECC．AH＝EHD．CD＝ED
【答案】D
【分析】
根据题意可以分析出A、B、C三个选项要成立同时成立，所以D选项一定正确，可以通过证明，验证D选项正确．
【解析】
解：可以分析出A、B、C选项任何一个成立，那么都可以得到CH是AE的垂直平分线，那么就可以推出其他两个选项也都成立，但这是不可能的，所以A、B、C都不一定正确，
D选项一定正确，证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵AD平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明．
17．（2018·上海·八年级期中）如图，在中，平分，平分，且交于，若，则的值为
A．36B．9C．6D．18
【答案】A
【分析】
先根据角平分线的定义、角的和差可得，再根据平行线的性质、等量代换可得，然后根据等腰三角形的定义可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【解析】
平分，平分，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的定义、勾股定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．
18．（2020·上海市进才中学北校八年级阶段练习）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
先画出三角形，根据勾股定理和题目设好的未知数列出方程．
【解析】
解：如图，根据题意，，，
设折断处离地面的高度是x尺，即，
根据勾股定理，，即．
故选：D．
【点睛】
本题考查勾股定理的方程思想，解题的关键是根据题意利用勾股定理列出方程．
19．（2019·上海·青浦东方中学八年级期中）如图，在中，的垂直平分线交的平分线于E，如果，，那么的大小是（ ）
A．24°B．30°C．32°D．36°
【答案】C
【分析】
由是的垂直平分线，得到，根据等腰三角形的性质得到，由是的平分线，得到，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解析】
解：是的垂直平分线，
，
，
是的平分线，
，
，
，，
．
故选：．
【点睛】
本题主要考查线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
20．（2018·上海铁西·八年级期中）“赵爽炫图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽炫图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为,较短直角边长为，若(a+b)2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的边长为( )
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】
观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2=21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出小正方形的面积，即可得出小正方形的边长．
解：∵(a+b)2=21，
∴a2+2ab+b2=21，
∵大正方形的面积为13，
2ab=21−13=8，
∴小正方形的面积为13−8=5.
∴小正方形的边长为.
故选C.
21．（2019·上海奉贤·七年级期末）如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A．ASAB．SASC．SSSD．AAS
【答案】C
【分析】
如图，根据题意可得：OE=OD，EG=DG，OG=OG，进一步即可根据SSS判定△OEG≌△ODG，可得∠BOC=∠AOC，从而可得答案．
【解析】
解：如图，由作图可知：OE=OD，EG=DG，OG=OG，
所以△OEG≌△ODG（SSS），
所以∠BOC=∠AOC，即OC是∠AOB的平分线．
所以用到的三角形全等的判定方法是SSS．
故选：C．
【点睛】
本题考查了尺规作角平分线以及全等三角形的判定与性质，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握基础知识是解题的关键．
22．（2020·上海·同济大学附属实验中学八年级阶段练习）在正方形方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点的连线为边的三角形叫做格点三角形．如图是5×5的正方形方格纸，以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ）
A．2个B．4个C．6个D．8个
【答案】B
【分析】
由网格知，AC=3，根据勾股定理解得AB、BC的长，再由全等三角形对应边相等的性质，作图即可．
【解析】
如图，共4个三角形，
故选：B．
【点睛】
本题考查网格作图、勾股定理、全等三角形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
23．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，在中，∠C=90°，∠B=30°，D是AB的中点，DE⊥BC于E，图中等于60°的角有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【分析】
由已知条件可得AD=DB=CD，所以可得到，故可得出等于的角有多少个．
【解析】
，，D是AB的中点，
AD=DB=CD，，
是等边三角形，
，
．
故选D．
【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质，关键是根据斜边中线定理得到线段的等量关系，进而得到角的等量关系．
24．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，的三个内角比为1：1：2，且，则∠CBD是（ ）
A．5°B．10°C．15°D．45°
【答案】C
【分析】
先依据三角形的内角和是180°，可计算出∠A=90°，∠ABC=45°，再利用含30度角的直角三角形的性质求得∠ABD=30°，即可求解．
【解析】
∵的三个内角比为1：1：2，
∴∠A=180°=90°，
∴∠ABC=45°，
在Rt△ABD中，，
∴∠ABD=30°，
∴∠CBD=∠ABC -∠ABD =15°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，利用按比例分配的方法确定出三角形的类别是解题的关键．
25．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，在Rt⊿ABC中，∠BAC=90°，AD、AE、AF分别是中线、角平分线和高，∠CAF=30°，BF=40cm，则下列说法中，正确的是（ ）
A．∠BAD=30°B．AF=30cmC．CF=20cmD．∠DAE=10°
【答案】A
【分析】
根据直角三角形斜边中线的性质和角平分线的性质及三角函数的性质求解即可；
【解析】
解析：∵∠BAC=90°，AD、AE、AF分别是中线、角平分线和高，
∴AD=BD，，，
又∵，
∴∠BAD=30°，∠DAE=15°，
又∵BF=40cm，
∴，
．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的求解，准确利用角平分线、斜边中线性质是解题的关键．
26．（2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图，为的外角平分线上一点，过作于，交的延长线于，且满足，则下列结论：①≌；②；③；④．其中正确的结论有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再证明，即可证明Rt△CDE和Rt△BDF全等；
根据全等三角形对应边相等可得CE=BF，利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，可得AE=AF，然后求出CE=AB+AE；
∠FDE与∠BAC都与∠FAE互补，可得∠FDE=∠BAC，于是可证；
利用外角定理得2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC +∠ACB，由Rt△CDE≌Rt△BDF可得∠ABD=∠DCE，BD=DC，故∠DBC=∠DCB，于是可证明∠DAF=∠CBD．
【解析】
解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF，=
∵，
∴，
在Rt△CDE和Rt△BDF中
，
∴Rt△CDE≌Rt△BDF，故①正确；
∴CE=BF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE=AF，
∴CE=AB+AF=AB+AE，故②正确；
∵=，
∴∠EDF+∠FAE=，
∵∠BAC+∠FAE=，
∴∠FDE=∠BAC，
∵∠FDE=∠BDC，
∴∠BDC =∠BAC，故③正确；
∵∠FAE是△ABC的外角，
∴2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC +∠ACB，
∵Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴∠ABD=∠DCE，BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∴2∠DAF=∠DCE +∠DBC +∠ACB=∠DBC +∠DCB=2∠DBC，
∴∠DAF=∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④共4个．
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等．
二、填空题
27．（2021·上海市奉贤区汇贤中学八年级期中）命题“等腰三角形底边上的高上任意一点到两腰的距离相等”是 ___命题．（填“真”或“假”）
【答案】真
【分析】
根据等腰三角形的性质得到底边上的中线也是顶角的平分线即可得到答案．
【解析】
解：根据等腰三角形的三线合一的性质可得：等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线互相重合，
∵角平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴“等腰三角形底边中线上任意一点到两腰的距离相等”是真命题，
故答案为：真．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟练掌握三线合一定理和角平分线的性质．
28．（2021·上海同济大学附属存志学校八年级期中）“三角形的一个外角大于任何一个内角”是 ___命题（填“真”或“假”）．
【答案】假
【分析】
利用举反例法，当三角形的一个内角为120°，则该角的外角为60°，而 ，即可求解．
【解析】
解：“三角形的一个外角大于任何一个内角”是假命题，理由如下：
当三角形的一个内角为120°，则该角的外角为60°，而 ，
即原命题为假命题．
故答案为：假
【点睛】
本题主要考查了命题的真假，熟练掌握一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可是解题的关键．
29．（2021·上海市傅雷中学八年级期中）将命题“对顶角相等”改为“如果…那么…”的形式为：______．
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【分析】
先找到命题的题设和结论，再写成“如果…，那么…”的形式．
【解析】
解：原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”，
命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【点睛】
本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
30．（2021·上海虹口·九年级阶段练习）在高出海平面100米的山崖上观测到海平面上一艘小船的俯角为30°，则船与观测者之间的水平距离为____m．
【答案】
【分析】
根据题意作出示意图，求得即可得出答案．
【解析】
如图，设观测者位于点，船位于点，于点，
∵在高出海平面100米的山崖上观测到海平面上一艘小船的俯角为30°，则
∴船与观测者之间的水平距离米．
故答案为：100米．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，俯角的定义，理解题意是解题的关键．
31．（2021·上海市复旦初级中学九年级阶段练习）中，如果cm，cm，那么的重心到的距离是________cm．
【答案】1
【分析】
根据等腰三角形的三线合一，知三角形的重心在BC边的高上．根据勾股定理求得该高，再根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，求得G到BC的距离．
【解析】
解：∵AB＝AC＝5cm
∴△ABC是等腰三角形
∴三角形的重心G在BC边的高上，
∴BD=DC=4，
设该高为a，
根据勾股定理得：a2＋42＝52
则a＝3cm，
根据三角形的重心性质
∴G到BC的距离GD=a=1cm．
故答案为：1．
【点睛】
考查了等腰三角形的三线合一的性质以及三角形的重心的概念和性质，解题的关键是熟知等腰三角形的性质、勾股定理及重心的特点．
32．（2017·上海市廊下中学八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，边AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为点O，连接BD，则∠DBC的度数为_____°．
【答案】30
【分析】
先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝70°，再根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则∠DBA＝∠A＝40°，然后计算∠ABC﹣∠DBA即可．
【解析】
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵OD垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝70°﹣40°＝30°．
故答案为30．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等．也考查了线段垂直平分线的性质．
33．（2021·上海长宁·八年级期末）如果四边形中的一条对角线长度是另一条对角线的两倍，那么称这个四边形为倍长对角线四边形．如图，四边形是倍长对角线四边形，且，四边形中最小的内角的度数是________．
【答案】30°
【分析】
由AC=BD，想到构造BD的一半或AC的2倍．再结合∠BAD=∠BCD=90°，可分析出是取BD的中点，证明△AEC为等边三角形，根据等边三角形的性质求解．
【解析】
解：如图，在BD上取中点E，连接AE、CE．
∵∠BAD=∠BCD=90°
∴AE=BD，CE=BD，
又∵AC=BD，
∴AE=AC=EC，
即△AEC为等边三角形，
所以∠AEC=60°，
又∵AE=BE=CE，
∴∠ABE=∠BAE=∠AED，∠BCE=∠CBE=∠CED，
∴∠ABC=∠AEC=30°．
故答案为：30°．
【点睛】
本题以新定义为载体，考查了学生的阅读理解能力以及直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的应用．通过线段2倍关系以及直角的条件，取斜边中点，作出辅助线是关键．
34．（2021·上海奉贤·三模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，如果，那么的值是________．
【答案】16
【分析】
根据正方形的面积和勾股定理即可求解．
【解析】
解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，
由题意可知：S1=（a+b）2，S2=a2+b2，S3=（a-b）2，
因为S1+S2+S3=48，
即（a+b）2+a2+b2+（a-b）2=21，
∴3（a2+b2）=48，
∴3S2=48，
∴S2的值是16．
故答案为16．
【点睛】
本题考查了勾股定理，正方形的面积，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积．
35．（2021·上海·二模）我们把反比例函数图象上到原点距离相等的点叫做反比例函数图象上的等距点．如果第一象限内点A（2，4）与点B是某反比例函数图象上的等距点，那么点A、B之间的距离是_____．
【答案】
【分析】
根据题意，结合反比例函数和轴对称的性质，得出B的坐标，然后根据勾股定理即可求得点A、B之间的距离，即可完成求解．
【解析】
由题意可知，点B与点A关于直线y=x对称，
∵点A（2，4），
∴点B（4，2），
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数、轴对称、直角坐标系、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，从而完成求解．
36．（2021·上海·奉教院附中八年级期末）我们定义：一个三角形最小内角的角平分线将这个三角形分割得到的两个三角形它们的面积之比称为“最小角割比Ω”（），那么三边长分别为7，24，25的三角形的最小角割比Ω是______．
【答案】．
【分析】
根据题意作出图形，然后根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积和最小角割比Ω的定义计算即可．
【解析】
解：如图示，，，，
则，根据题意，作的角平分线交于点，
过点，作交于点，
过点，作交于点，
则
∵，，
则（）
故答案是：．
【点睛】
本题考查了三角形角平分线的性质和三角形的面积计算，熟悉相关性质是解题的关键．
37．（2021·上海金山·八年级期末）已知，如图，在中，是上的中线，如果将沿翻折后，点的对应点，那么的长为__________．
【答案】．
【分析】
先用勾股定理求得BC，利用斜边上的中线性质，求得CD，BD的长，再利用折叠的性质，引进未知数，用勾股定理列出两个等式，联立方程组求解即可．
【解析】
如图所示，
∵，
∴BC==8，
∵CD是上的中线，
∴CD=BD=AD=5，
设DE=x，BE=y，
根据题意，得
，
，
解得x=，y=,
∴,
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理，斜边上中线的性质，方程组的解法，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质，正确构造方程组计算是解题的关键．
38．（2021·上海金山·八年级期末）如果点的坐标为，点的坐标为，那么两点的距离等于_________．
【答案】．
【分析】
根据两点间的距离公式计算即可．
【解析】
解：∵的坐标为，点的坐标为，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了两点间的距离公式，解题关键是熟练运用勾股定理进行计算．
39．（2021·上海市康城学校八年级期末）如图，垂直平分，垂直平分，若，则__________°．
【答案】
【分析】
先由已知求出∠B+∠C=70°，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质证得∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，则有∠BAD+∠CAE=70°，进而求得∠DAE的度数．
【解析】
解：∵在△ABC中，∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，
∵垂直平分，垂直平分，
∴AD=BD，AE=CE，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAE=70°，
∴∠ADE=∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）=110°﹣70°=40°，
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和等理，熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质是解答的关键．
40．（2021·上海市康城学校八年级期末）如图，在中，，，，平分，，垂足为，则__________．
【答案】
【分析】
先利用勾股定理可得，再根据角平分线的性质可得，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，设，从而可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【解析】
在中，，，，
，
平分，，
，
在和中，，
，
，
，
设，则，
在中，，即，
解得，
即，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、直角三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
41．（2020·上海浦东新·八年级期末）在中，，以的边为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在的斜边上，则这个等腰三角形的腰长为_________.
【答案】或2
【分析】
先求出AC的长，再分两种情况：当AC为腰时及AC为底时，分别求出腰长即可.
【解析】
在中，，
∴AB=2BC=4，
∴,
当AC为腰时，则该三角形的腰长为；
当AC为底时，作AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如图，此时△ACD是等腰三角形，则AE=,
设DE=x，则AD=2x，
∵,
∴
∴x=1（负值舍去），
∴腰长AD=2x=2，
故答案为：或2
【点睛】
此题考查勾股定理的运用，结合线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题时注意：“AC为一边的等腰三角形”没有明确AC是等腰三角形的腰或底，故应分为两种情况解题，这是此题的易错之处.
42．（2019·上海闵行·八年级期末）在中，，，点是中点，点在上，，将沿着翻折，点的对应点是点，直线与交于点，那么的面积__________．
【答案】或
【分析】
通过计算E到AC的距离即EH的长度为3，所以根据DE的长度有两种情况：①当点D在H点上方时，②当点D在H点下方时，两种情况都是过点E作交AC于点E，过点G作交AB于点Q，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AH,DH的长度，进而可求AD的长度，然后利用角度之间的关系证明，再利用等腰三角形的性质求出GQ的长度，最后利用即可求解．
【解析】
①当点D在H点上方时，
过点E作交AC于点E，过点G作交AB于点Q，
，点是中点，
．
∵，
．
，
，
．
，
，
，，
，
．
由折叠的性质可知，，
，
，
．
又 ，
．
，
．
，
即，
．
，
；
②当点D在H点下方时，
过点E作交AC于点E，过点G作交AB于点Q，
，点是中点，
．
∵，
．
，
，
．
，
，
，，
，
．
由折叠的性质可知，，
，
，
．
又 ，
．
，
．
，
即，
．
，
，
综上所述，的面积为或．
故答案为：或．
【点睛】
本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，能够作出图形并分情况讨论是解题的关键．
三、解答题
43．（2019·上海市继光初级中学八年级期中）如图，，M是BC的中点，DM平分，求证：AM平分．
【答案】见解析
【分析】
由题意利用角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，以及到角两边距离相等的点在角的角平分线上进行分析证明．
【解析】
解：如图，过点M作ME⊥AD于F，
∵∠C=90°，DM平分∠ADC，
∴ME=MC，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
∴BM=EM，
又∵∠B=90°，
∴点M在∠BAD的平分线上，
∴AM平分∠DAB．
【点睛】
本题考查角平分线性质和角平分线的判定，熟练掌握角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键．
44．（2021·上海同济大学附属存志学校期末）我们知道：“三角形的内角和为180°”，如图所示，在中，，的角平分线交于点I，已知，求的度数．
【答案】
【分析】
根据三角形内角和以及已知条件可求出的值，再利用角平分线的性质可得到，运算即可求出最终结果．
【解析】
三角形的内角和为180°，，
，
又，的角平分线交于点I，

，
．
【点睛】
本题主要考查三角形的内角和以及角平分线的性质，属于基础题，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
45．（2021·上海市进才中学北校八年级期中）点在轴上，且点到点的距离是它到点距离的2倍，求点的坐标．
【答案】点的坐标为或．
【分析】
设，根据勾股定理计算两点距离，列出方程，进而求解即可．
【解析】
设，由题意得：
，
两边平方得，
整理得，，
，
，
解得：．
点的坐标为或．
【点睛】
本题考查了勾股定理求坐标系中两点距离，解一元二次方程，根据题意列出方程是解题的关键．
46．（2021·上海市市北初级中学八年级期末）作图题：在等边ABC所在平面上找这样一点P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，请用尺规画出所有具有这样性质的点P．
【答案】作图见解析
【分析】
分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN并延长，同理作出AC，BC的垂直平分线；以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直 平分线于点P1，P9两点，；以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于P4，这样在BC的垂直平分线上就有3个点满足题意，同理在AC，AB的垂直平分线上均有3个点满足题意，一共有9个点；还有一点是三边的垂直平分线的交点，即可求解.
【解析】
解：分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN并延长，同理作出AC，BC的垂直平分线；
以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直 平分线于点P1，P9两点，；以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于P4，这样在BC的垂直平分线上就有3个点满足题意，同理在AC，AB的垂直平分线上均有3个点满足题意，一共有9个点；
还有一点是三边的垂直平分线的交点，
∴一共有10个点；
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
47．（2021·上海市市北初级中学八年级期末）如图，已知ABC，分别画出AB，AC边上的高，以及它们所在直线的交点D．
【答案】作图见解析
【分析】
按照三角形高的尺规作图方法正确的作出图形即可.
【解析】
解：以B点为圆心，以AB的长为半径，画弧，与CA延长线交于P，分别以AP为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧交于B、M两点，连接BM交AP于H，线段BH即为AC边上的高；
同理线段CE即为AB边上的高，直线CE与BH的交点D即为所求.
【点睛】
本题主要考查了尺规作图—三角形边上的高，解题的关键在于能够熟练掌握三角形高的作法.
48．（2021·上海·奉教院附中八年级期末）如图，中，，．
（1）利用直尺，圆规在边上找一点E，使得；（不需要写作法，但要保留作图痕迹）
（2）若厘米，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）9厘米
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质可知点E在线段AC的垂直平分线上，又因为点E在AB边上，从而可确定点E的位置；
（2）过点C作交AB于点D，首先根据等腰三角形三线合一得出，进而得出，然后利用含30°的直角三角形的性质求解即可．
【解析】
（1）如图：
（2）过点C作交AB于点D，
，
，
．
，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查作垂直平分线，等腰三角形三线合一，含30°的直角三角形的性质，掌握这些性质是解题的关键．
49．（2021·上海金山·八年级期末）已知：如图，中，分别是上的中线，相交于点，联结．求证：
（1）；
（2）垂直平分．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）利用三角形的全等，得到一对对应角，后利用等角对等边证明即可；
（2）逆用线段垂直平分线的判定证明即可．
【解析】
（1）∵分别是上的中线，
∴BE=CD，∠EBC=∠DCB，
∵BC=CB，
∴△EBC≌△DCB，
∴∠ECB=∠DBC，
∴OB=OC；
（2）设AO与DE的交点为F，
∵△EBC≌△DCB，
∴EC=DB，
∵OB=OC；
∴OD=OE，
∴点O在线段DE的垂直平分线上，
∵AE=AD，
∴点A在线段DE的垂直平分线上，
∴直线AO是线段DE的垂直平分线，
∴垂直平分．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的全等，中线的定义，垂直平分线的判定和性质，同一个三角形中，等角对等边，熟练掌握线段垂直平分线的逆定理是解题的关键．
50．（2021·上海市康城学校八年级期末）已知：在中，，，点为边上一动点（与点不重合），连接，以始边作．

（1）如图一，当且时，试说明和的位置关系和数量关系；
（2）如图二，当且点在边上时，求证：．
【答案】（1），，理由见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用等腰直角三角形的性质证明：≌，利用全等三角形的性质可得答案；
（2）将绕点逆时针旋转，得到．连接， 同（1）理证明：，，再证明：≌，可得：，由勾股定理可得：，等量代换后可得结论．
【解析】
解：（1）∵，
∴．
又，，
∴≌（SAS），
∴，．
，，
，
∴，
∴．
∴与位置关系是，数量关系是．
（2）将绕点逆时针旋转，得到．连接， 如图二，
同（1）理：可得，．
∵，，
∴，
∵，，
∴≌（SAS）．
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查的是等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
51．（2020·上海市奉贤区弘文学校八年级期末）如图，已知四边形ABCD中，AB=24，AD=15，BC=20，CD=7，∠ADB+∠CBD=90°．
（1）在BD的上方作△A'BD，使△A'BD≌△ADB（点A与点不重合）（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见详解；（2）234
【分析】
（1）作BD的中垂线MN，作点A关于MN的对称点A′，连接A′D、A′B，则△A′BD即为所求；
（2）由（1）中作图得知：∠A′BD=∠ADB，A′B=AD=15，A′D=AB=24，如图2，连接A′C，由∠ADB+∠CBD=90°，得到∠A′BD+∠CBD=90°，证得∠A′BC=90°，根据勾股定理得到A′C=25，根据勾股定理的逆定理得到△A′DC是直角三角形，于是得到结果．
【解析】
解：（1）如图1所示，△A′BD即为所求；
（2）由（1）中作图得知：∠A′BD=∠ADB，A′B=AD=15，A′D=AB=24，连接A′C，如图2，
∵∠ADB+∠CBD=90°，
∴∠A′BD+∠CBD=90°，
即∠A′BC=90°，
∴A′B2+BC2=A′C2，
∵A′B=15，BC=20，
∴A′C=25，
在△A′CD中，A′D=24，CD=7，
∴A′D2+CD2=576+49=625，
∵A′C2=625，
∴A′D2+CD2=A′C2．
∴△A′DC是直角三角形，且∠A′DC=90°，
∴S四边形A′BCD＝S△A′BC+S△A′CD
∵S△A'BD=S△ABD，
∴S四边形ABCD=S四边形A'BCD=234．
【点睛】
】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，作图-复杂作图，正确的画出图形是解题的关键．
52．（2020·上海市奉贤区弘文学校八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，CB=CD，点E、F分别在AB、AD上，AE=AF．连接CE、CF．
（1）求证：CE=CF；
（2）如果∠BAD=60°，CD=．
①当AF=时，设，求与的函数关系式；（不需要写定义域）
②当AF=2时，求△CEF的边CE上的高．
【答案】（1）见解析；（2）①；②．
【分析】
（1）先证明△ACD≌△ACB，再证明△CAF≌△CAE即可；
（2）①分别求出AO，EO和CO的长，再根据三角形面积公式求解即可；
②先求出CE的长，再求出△CEF的面积即可．
【解析】
（1）证明：连接AC，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
在Rt△ACD和RT△ACB中，
，
∴△ACD≌△ACB（HL），
∴∠CAF=∠CAE，
在△CAF和△CAE中，
，
∴△CAF≌△CAE(SAS)，
∴CE=CF；
（2）①设AC与EF交于点O，
∵AE=AF，∠BAD=60°
∴△AFE是等边三角形，
由（1）知∠CAF=∠CAE=30°，
∴AC⊥FE，
∵AF=x，
∴EF=x，FO=，AO=，
∵∠ADC=90°，∠CAF =30°，CD=，
∴AC=，
∴CO=-，
∵，
∴；
②作FH⊥EC于H，
∵△ACD≌△ACB，∠DAB=60°，
∴AD=AB，∠CAD=∠CAB=30°，
在Rt△ACD中，∠D=90°，CD=2，
∴AC=2CD=4，AD=，
∴DF=AD-AF=4，CE=CF==，
由（2）①可得：当AF=2时，S△EFC=，
又∵S△EFC=CE•FH，
∴3=×2FH，
∴FH=，
∴△CEF的边CE上的高为．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，求高想到求面积，属于中考常考题型．