人教版数学九年级上册 第二十四章检测题

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第二十四章检测题(时间：100分钟　　满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．(2020·宜昌)如图，E，F，G为圆上的三点，∠FEG＝50°，P点可能是圆心的是( C )2．⊙O的半径为4 cm，点A到圆心O的距离OA＝6 cm，则点A与⊙O的位置关系为( C )A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定3．(2020·广安 )如图，点A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD＝68°，AO∥DC，则∠B的度数为( C )A．40° B．60° C．56° D．68° eq \o(\s\up7(),\s\do5(第3题图)) 　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第5题图)) 　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第6题图)) 　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第7题图)) 4．(2020·东营)用一个半径为3，面积为3π的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为( D )A．π B．2π C．2 D．15．(2020·赤峰 )如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为( D )A．3π B．4π C．6π D．9π6．(2020·广州)往直径为52 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48 cm，则水的最大深度为( C )A．8 cm B．10 cm C．16 cm D．20 cm7．(2020·阜新)如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBiCiDiEi，则正六边形OAiBiCiDiEi(i＝2020)的顶点Ci的坐标是( A )A.(1，－ eq \r(3) ) B．(1， eq \r(3) ) C．(1，－2) D．(2，1)解析：由题意得旋转8次为一个循环，∵2020÷8＝252……4，∴Ci的坐标与C4的坐标相同，∵C(－1， eq \r(3) )，点C与C4关于原点对称，∴C4(1，－ eq \r(3) )，∴顶点Ci的坐标是(1，－ eq \r(3) )，故选：A8．(2020·包头 )如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在直径AB的两侧．若∠AOC∶∠AOD∶∠DOB＝2∶7∶11，CD＝4，则 eq \o(CD,\s\up8(︵)) 的长为( D )A．2π B．4π C． eq \f(\r(2)π,2)  D． eq \r(2) π eq \o(\s\up7(),\s\do5(第8题图))  　　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第9题图))  　　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第10题图)) 9．(2020·武汉)如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是 eq \o(AC,\s\up8(︵)) 的中点，AC与BD交于点E.若E是BD的中点，则AC的长是( D )A． eq \f(5,2)  eq \r(3)  B．3 eq \r(3)  C．3 eq \r(2)  D．4 eq \r(2) 10．(2020·南京)如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D.若⊙P的半径为5，点A的坐标是(0，8).则点D的坐标是( A )A．(9，2) B．(9，3) C．(10，2) D．(10，3)解析：设⊙O与x，y轴相切的切点分别是F，E点，连接PE，PF，PD，延长EP与CD交于点G，则PE⊥y轴，PF⊥x轴，∵∠EOF＝90°，∴四边形PEOF是矩形，∵PE＝PF，∴四边形PEOF为正方形，∴OE＝OF＝PE＝PF＝5，∵A(0，8)，∴OA＝8，∴AE＝8－5＝3，∵四边形OACB为矩形，∴BC＝OA＝8，BC∥OA，AC∥OB，∴EG∥AC，∴四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形，∴CG＝AE＝3，EG＝OB，∵PE⊥AO，AO∥CB，∴PG⊥CD，∴CD＝2CG＝6，∴DB＝BC－CD＝8－6＝2，∵PD＝5，DG＝CG＝3，∴PG＝4，∴OB＝EG＝5＋4＝9，∴D(9，2).故选：A二、填空题(每小题3分，共15分)11．(2020·河池)如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝__35__°. eq \o(\s\up7(),\s\do5(第11题图)) 　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第13题图)) 　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第14题图)) 　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第15题图)) 12．(2020·呼伦贝尔 )若一个扇形的弧长是2πcm，面积是6πcm2，则扇形的圆心角是__60__度．13．(湘潭中考)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝ eq \f(1,2) (弦×矢＋矢2).弧田是由圆弧和其所对的弦围成(如图中的阴影部分)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理(当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB)可以求解．现已知弦AB＝8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为__10__平方米．14．(盘锦中考)如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F.若OD＝2，则BC＝__4 eq \r(5) __．15．(2020·鄂州)如图，半径为2 cm的⊙O与边长为2 cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中心，直线OE过F点．当正方形ABCD沿直线OF以每秒(2－ eq \r(3) )cm的速度向左运动__1或(11＋6 eq \r(3) )__秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为( eq \f(2,3) π－ eq \r(3) )cm2.三、解答题(共75分)16．(8分)(2020·益阳)如图，OM是⊙O的半径，过M点作⊙O的切线AB，且MA＝MB，OA，OB分别交⊙O于C，D.求证：AC＝BD.证明：∵OM是⊙O的半径，过M点作⊙O的切线AB，∴OM⊥AB，∵MA＝MB，∴OA＝OB，∵OC＝OD，∴OA－OC＝OB－OD，即AC＝BD17．(9分)(2020·张家界)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点C作直线CD交AB的延长线于点D，使∠BCD＝∠A.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DE平分∠ADC，且分别交AC，BC于点E，F，当CE＝2时，求EF的长．(1)证明：如图，连接OC，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，又∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB，∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD＋∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∵OC是圆O的半径，∴CD是⊙O的切线　(2)解：∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADE，又∵∠BCD＝∠A，∴∠A＋∠ADE＝∠BCD＋∠CDF，即∠CEF＝∠CFE，∵∠ACB＝90°，CE＝2，∴CE＝CF＝2，∴EF＝ eq \r(CE2＋CF2) ＝2 eq \r(2) 18.(9分)(邵阳中考)如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F.(1)求由弧EF及线段FC，CB，BE围成图形(图中阴影部分)的面积；(2)将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h.解：(1)∵在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，∴∠B＝30°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴BD＝ eq \r(3) AD＝6 eq \r(3) ，∴BC＝2BD＝12 eq \r(3) ，∴由弧EF及线段FC，CB，BE围成图形(图中阴影部分)的面积＝S△ABC－S扇形EAF＝ eq \f(1,2) ×6×12 eq \r(3) － eq \f(120π·62,360) ＝36 eq \r(3) －12π　(2)设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝ eq \f(120π×6,180) ，解得r＝2，这个圆锥的高h＝ eq \r(62－22) ＝4 eq \r(2) 19．(9分)(2020·天津)在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°.(1)如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；(2)如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．解：(1)∵∠APC是△PBC的一个外角，∴∠C＝∠APC－∠ABC＝100°－63°＝37°，由圆周角定理得：∠BAD＝∠C＝37°，∠ADC＝∠ABC＝63°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝∠ADB－∠ADC＝90°－63°＝27°　(2)连接OD，如图②所示，∵CD⊥AB，∴∠CPB＝90°，∴∠PCB＝90°－∠ABC＝90°－63°＝27°，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∴∠ODE＝90°，∵∠BOD＝2∠PCB＝54°，∴∠E＝90°－∠BOD＝90°－54°＝36°20．(9分)(2020·天水)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F.(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若BD＝2 eq \r(3) ，AB＝6，求阴影部分的面积(结果保留π).解：(1)直线BC与⊙O相切．理由：连接OD，如图，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴AC∥OD，∴∠ODB＝∠C＝90°，即BC⊥OD，又∵OD为⊙O的半径，∴直线BC是⊙O的切线　(2)设OA＝OD＝r，则OB＝6－r，在Rt△ODB中，由勾股定理得：OD2＋BD2＝OB2，∴r2＋(2 eq \r(3) )2＝(6－r)2，解得r＝2，∴OD＝2，OB＝4，∴OD＝ eq \f(1,2) OB，∴∠B＝30°，∴∠DOB＝180°－∠B－∠ODB＝60°，∴S阴影部分＝S△ODB－S扇形DOF＝ eq \f(1,2) ×2 eq \r(3) ×2－ eq \f(60π×22,360) ＝2 eq \r(3) － eq \f(2π,3) 21．(10分)(2020·宿迁)如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD＝∠ABC.(1)请判断直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由；(2)若CD＝2，CA＝4，求弦AB的长．解：(1)直线AC是⊙O的切线，理由如下：如图，连接OA，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°＝∠OAB＋∠OAD，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABC，又∵∠CAD＝∠ABC，∴∠OAB＝∠CAD＝∠ABC，∴∠OAD＋∠CAD＝90°＝∠OAC，∴AC⊥OA，又∵OA是半径，∴直线AC是⊙O的切线　(2)过点A作AE⊥BD于点E，∵OC2＝AC2＋AO2，∴(OA＋2)2＝16＋OA2，∴OA＝3，∴OC＝5，BC＝8，∵S△OAC＝ eq \f(1,2) OA×AC＝ eq \f(1,2) OC×AE，∴AE＝ eq \f(OA×AC,OC) ＝ eq \f(3×4,5) ＝ eq \f(12,5) ，∴OE＝ eq \r(AO2－AE2) ＝ eq \r(9－\f(144,25)) ＝ eq \f(9,5) ，∴BE＝BO＋OE＝ eq \f(24,5) ，∴AB＝ eq \r(BE2＋AE2) ＝ eq \r(\f(576,25)＋\f(144,25)) ＝ eq \f(12\r(5),5) 22．(10分)(河南中考)如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上任一点．(1)若∠BAC＝30°，过点C作半圆O的切线交直线AB于点P.求证：△PBC≌△AOC；(2)若AB＝6，过点C作AB的平行线交半圆O于点D.当以点A，O，C，D为顶点的四边形为菱形时，求 eq \x\to(BC) 的长．解：(1)∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OC＝BC，∠OBC＝∠BOC＝60°，∴∠AOC＝∠PBC＝120°，∵CP是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝90°，∴∠ACO＝∠PCB，在△AOC和△PBC中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACO＝∠PCB，,OC＝BC，,∠AOC＝∠PBC，)) ∴△AOC≌△PBC(ASA)　(2)如图①，连接OD，AD，CD，∵四边形AOCD是菱形，∴OA＝AD＝CD＝OC，∴OA＝OD＝OC，∴△AOD与△COD是等边三角形，∴∠AOD＝∠COD＝60°，∴∠BOC＝60°，∴ eq \x\to(BC) 的长＝ eq \f(60π×3,180) ＝π；如图②，同理∠BOC＝120°，∴ eq \x\to(BC) 的长＝ eq \f(120π×3,180) ＝2π，综上所述， eq \x\to(BC) 的长为π或2π23．(11分)(淮安中考)问题背景：如图①，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处(如图②)，易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE＝ eq \r(2) CD，从而得出结论：AC＋BC＝ eq \r(2) CD.简单应用：(1)在图①中，若AC＝ eq \r(2) ，BC＝2 eq \r(2) ，则CD＝3；(2)如图③，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙上， eq \o(AD,\s\up8(︵)) ＝ eq \o(BD,\s\up8(︵)) ，若AB＝13，BC＝12，求CD的长；拓展规律：(3)如图④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝m，BC＝n(m＜n)，求CD的长．(用含m，n的代数式表示)解：(1)由题意知：AC＋BC＝ eq \r(2) CD，∴ eq \r(2) ＋2 eq \r(2) ＝ eq \r(2) CD，∴CD＝3，故答案为3　(2)连接AC，BD，AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵ eq \x\to(AD) ＝ eq \x\to(BD) ，∴AD＝BD，将△BCD绕点D顺时针旋转90°到△AED处，如图1，∴∠EAD＝∠DBC，∵∠DBC＋∠DAC＝180°，∴∠EAD＋∠DAC＝180°，∴E，A，C三点共线，∵AB＝13，BC＝12，∴由勾股定理可求得AC＝5，∵BC＝AE，∴CE＝AE＋AC＝17，∵∠EDA＝∠CDB，∴∠EDA＋∠ADC＝∠CDB＋∠ADC，即∠EDC＝∠ADB＝90°，∵CD＝ED，∴△EDC是等腰直角三角形，∴CE＝ eq \r(2) CD，∴CD＝ eq \f(17\r(2),2) 　(3)以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1，连接D1A，D1B，D1C，如图2，由(2)的证明过程可知：AC＋BC＝ eq \r(2) D1C，∴D1C＝ eq \f(\r(2)（m＋n）,2) ，又∵D1D是⊙O的直径，∴∠DCD1＝90°，∵AC＝m，BC＝n，∴由勾股定理可求得：AB2＝m2＋n2，∴D1D2＝AB2＝m2＋n2，∵D1C2＋CD2＝D1D2，∴CD2＝m2＋n2－ eq \f(（m＋n）2,2) ＝ eq \f(（m－n）2,2) ，∵m＜n，∴CD＝ eq \f(\r(2)（n－m）,2)