河北省承德市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份河北省承德市2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共15页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 已知正实数满足，则的最小值为， 下列判断正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第五章5.3
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式，化简集合，再求交集.
【详解】，所以.
故选：C
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由诱导公式一求解即可.
【详解】.
故选：A
3. 函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用抽象函数和分式函数的定义域求解.
【详解】解：由题意得
解得且.
故选：D
4. 若幂函数在上单调递增，则（ ）
A. 3B. 1或3C. 4D. 4或6
【答案】A
【解析】
【分析】依题意可得，解得即可.
【详解】解：因为幂函数在上单调递增，
所以，解得.
故选：A
5. 下列函数为偶函数且在上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由奇偶性的定义结合对数、二次函数、幂函数的单调性逐一判断即可.
【详解】对于A：定义域为，，则是偶函数.
当时，，在上单调递减，故A正确；
对于B：，则不是偶函数，故B错误；
对于C：的对称轴为，即在上单调递增，故C错误；
对于D：的定义域为，不关于原点对称，即不是偶函数，故D错误；
故选：A
6. 从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满,；连续进行次，容器中的纯酒精少于，则的最小值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】由题得连续进行了次后，容器中的纯酒精的剩余量组成等比数列，求出数列的通项公式，解出的值，即可得答案.
【详解】由题意得连接进行了次后，容器中的纯酒精的剩余量组成数列，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
由题意可得，
因为，
所以.
故选：C.
7. 已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A. 6B. 5C. 12D. 10
【答案】B
【解析】
分析】利用得出，结合基本不等式求解.
【详解】因为，所以，而，
，当且仅当，即时，等号成立.
故选：B
8. 已知函数满足，若与图象的交点为，则（ ）
A. B. 0C. 4D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】由和的图象都关于直线对称，利用对称性求解.
【详解】由可知的图象关于直线对称，的图象关于直线对称，
所以.
故选：D
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
则一定包含的零点的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由零点存在性定理判断即可.
【详解】因为的图像是一条连续不断的曲线，且，
所以一定包含的零点的区间是.
故选：ACD
10. 下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. “正方形是菱形”是全称量词命题D. “”是存在量词命题
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义和真假的判断依据即可求解.
【详解】对于A，当时，成立，故A正确；
对于B，当时，不成立，故B错误；
对于C，“正方形是菱形”等价于“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题，故C 正确；
对于D ，“，”是存在量词命题，故D正确.
故答案为：ACD.
11. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由函数的单调性结合得出，由得出.
【详解】由题意得，所以，设函数，则是增函数.
由，得，所以.
由，得，所以.
故选：BC
12. 函数满足，，，则（ ）
A. B.
C. 为奇函数D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用赋值法可判断AB选项；令，利用函数奇偶性的定义可判断C选项；根据已知条件推导出，再结合以及等式的可加性可判断D选项.
【详解】在等式中，令，可得，
在等式中，令，可得，A错；
在等式中，令，可得，①
在等式中，令，可得，②
①②可得，B对；
令，其中，则，
即，故函数为奇函数，C对；
因为，则，
又因为，
上述两个等式相加可得，D对.
故选：BCD.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数则______.
【答案】2
【解析】
【分析】先求内层函数值，再求外层函数值即可
【详解】因为，所以，所以.
故答案为：2
14. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图，这是折扇的示意图，已知为的中点，，，则此扇面（扇环）部分的面积是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用扇形的面积公式可求得扇环的面积.
【详解】.
故答案为：.
15. 已知函数，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】对于函数，则定义域为，
且，所以是偶函数，
当时，又函数、、在上单调递增，
所以上单调递增，则在上单调递减.
又，所以不等式，即，
即，即，所以，解得，
故不等式的解集为.
故答案为：
16. 已知函数的最大值为0，关于的不等式的解集为，则______，的值为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由题知，根据二次函数在对称轴处取得最大值即可化简求出；根据不等式的解集为，可得的解集为，然后利用韦达定理表示出，再利用即可出结果.
【详解】因为函数的最大值为0，
所以当时，函数有最大值，即，
化简得出.
不等式的解集为，
即的解集为，
设方程两根为，
则，所以，
即，
即，
所以.
故答案为：；.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知角终边上一点的坐标为，其中.
（1）若，求的值；
（2）求的值.
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，角终边上一点的坐标为，利用三角函数的定义求解；
（2）利用由原式，再分子分母同除以求解.
【小问1详解】
解：由，
可知.
由题意可得，
则，又，
所以，
故，.
小问2详解】
原式，
因为，
所以原式.
18. 设全集，集合.
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由对数函数的单调性、一元二次不等式的解法化简集合，再由集合的运算求解即可；
（2）讨论、两种情况，根据包含关系求得的取值范围.
【小问1详解】
由，得，
由，得，所以.
由得或，
所以.
【小问2详解】
当时，，即，符合题意，
当时，，解得，符合题意.
综上，的取值范围为.
19. 已知函数.
（1）当时，求在上的最小值；
（2）若，求的取值范围，并求的最大值.
【答案】（1）8 （2）的取值范围为，的最大值为
【解析】
【分析】（1）根据基本不等式可求出结果；
（2）解不等式得，再根据基本不等式可求出结果.
【小问1详解】
当时，，
当时，.
当且仅当，即时，等号成立.
所以在上的最小值为8.
【小问2详解】
因为，所以，解得，
所以，所以.
当且仅当，即时，等号成立.
所以最大值为.
综上所述：的取值范围为，的最大值为.
20. 已知是定义在上的偶函数，且.
（1）求的值．
（2）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）解不等式．
【答案】（1）
（2）是，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数定义可得，解得；
（2）由得，，然后求和即可；
（3）由题意可得在上单调递增，则从而求解结果．
【小问1详解】
由题意知，则
，
即，
所以．
【小问2详解】
为定值，理由如下：
因为，则，
，
所以．
【小问3详解】
由题意可得，则在上单调递增，
则不等式可转化为，解得（舍去）或，即．
所以不等式的解集为．
21. 已知函数.
（1）若，求的值；
（2）若有零点，求的取值范围.
【答案】（1）或3
（2）
【解析】
【分析】（1）令，利用换元法得到求解；
（2）令，转化为函数在上有零点求解.
【小问1详解】
令，则，
得，即，
所以，得或3.
【小问2详解】
令，则，所以有零点等价于函数在上有零点.
①由，解得；
②由，解得，
综上：，
所以实数的取值范围为.
22. 某地在曲线C的右上角区域规划一个科技新城，该地外围有两条相互垂直的直线形国道，为交通便利，计划修建一条连接两条国道和曲线C的直线形公路．记两条相互垂直的国道分别为，，计划修建的公路为．如图所示，为C的两个端点，测得点A到，的距离分别为5千米和20千米，点B到，的距离分别为25千米和4千米．以，所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系．假设曲线C符合函数（其中m，n为常数）模型．
（1）求m，n的值．
（2）设公路与曲线C只有一个公共点P，点P的横坐标为．
①请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域．
②当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度．
【答案】（1）；
（2）①，；
当时，公路的长度最短，最短长度为千米.②
【解析】
【分析】(1)由题意得函数过点，点，列方程组就可解出m，n的值；
(2)①求公路长度的函数解析式，就是求出直线与轴交点，再利用两点间距离公式计算即可，关键是利用导数几何意义求出直线方程，再根据为的两个端点的限制条件得定义域为；
②对函数解析式解析式根式内部分利用基本不等式求最小值，即可得的最小值及此时t的值.
【小问1详解】
解：由题意知，点，点，
将其分别代入，
得，解得.
【小问2详解】
解：①由（1）知，，
则点的坐标为，
设在点处的切线交轴分别于点，
因为，
∴的方程为，
由此得.
故，；
②因为，
又因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，当时，等号成立，
所以当时，公路的长度最短，最短长度为千米.1
3
5
7
7
2
8