初中冀教版（2024）5.4 一元一次方程的应用第3课时教学设计及反思

这是一份初中冀教版（2024）5.4 一元一次方程的应用第3课时教学设计及反思，共7页。教案主要包含了教材分析，学情分析，学习目标，教学重难点，教学过程，板书设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
5.4 一元一次方程的应用
第3课时

一、教材分析
本节课是冀教版初中数学七年级上册第五章第四节第3课时的内容,主要揭示依据“同一个量的不同表示”列方程解决实际问题.两个示例都是求两个未知量,一般会有两个等量关系,需要注意的是只需设出一个未知量,然后根据一个等量关系表示出另一个未知量,根据另一个等量关系列出方程即可,体现方程模型在解决实际问题时的灵活性和应用价值.引例通过“观察与思考”,为学生提供了探究的内容,教学中应先指导学生自主观察、思考,再进行比较、分析,最后归纳、总结,注意设的未知量不同,列出的方程也不同.例题的教学应重点强调了根据题中的不变量列方程,分析过程可由教师示范,解答过程可由学生自己完成.

二、学情分析
七年级学生正处于数学思维的快速发展阶段，他们已经具备了一定的代数基础，包括变量、常数、运算符以及一元一次方程的基本解法.然而，在将实际问题转化为数学模型的过程中，学生普遍面临以下挑战：抽象能力不足；难以从实际情境中抽象出数学问题；逻辑推理不严；在列方程时容易遗漏关键条件或关系；解题技巧欠缺；对如何灵活运用方程解决实际问题缺乏经验；学习风格差异；不同学生对知识的理解和接受方式存在差异，需要个性化教学.

三、学习目标
1.能根据题意找到“同一个量的不同表示”，并以此来列方程，解决实际问题.
2. 经历分析追及、盈余不足问题中的数量关系、列方程的过程，提高学生运用新知识解决实际问题的能力，体会“建模”思想.
3.经历不同的生活情境，体会数学与生活的紧密联系，培养学生分析和解决实际问题的能力.

四、教学重难点
重点：掌握用“同一个量的不同表示”来列方程，根据实际问题中等量关系列出方程进而解决实际问题.
难点：经历分析追及、盈余不足问题中的数量关系、列方程的过程，提高学生运用新知识解决实际问题的能力，体会“建模”思想.

五、教学过程
情境导入
某学校七年级师生进行了一次徒步活动.带队教师和学生以4 km/h的速度从学校出发,20 min后,小王骑自行车前往追赶.如果小王以12 km/h的速度骑行,那么小王要用多少时间才能追上队伍?此时,队伍已行走了多远?
分析：追及问题：路程差= 速度差×追及时间 .
追问：如果用算式要怎么求呢？
答案：
20min=13h.4×13÷(12-4)= 16(h).
12×16=2(km)
答：小王用16 h可追上队伍,此时,队伍已行走了2 km.
追问：如果用方程解，要怎么做呢？
师生活动：师引导学生复习追及问题常用的公式，学生独立用算式来求，进而导入本节课，如何利用一元一次方程求追及问题.
设计意图：通过复习追及问题，为后面学习一元一次方程求追及问题作好铺垫，感悟方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.
一起探究
问题：某学校七年级师生进行了一次徒步活动.带队教师和学生以4 km/h的速度从学校出发,20 min后,小王骑自行车前往追赶.如果小王以12 km/h的速度骑行,那么小王要用多少时间才能追上队伍?此时,队伍已行走了多远?
分析：
问题1：题中的等量关系是什么？
小王骑车行驶的路程=师生行走的路程.
小王骑车行驶的时间＋20min=教师和学生行走的时间。
问题2：如何设未知数呢? 设小王要用x h才能追上队伍; 设此时队伍行走的路程为y km，
问题3：1. 设小王要用x h才能追上队伍,如何列方程呢？
12x=413+x
问题4：2.如果设此时队伍行走的路程为y km，如何列方程呢？
y12=y4－ 13.
答案：解法1：
解:设小王要用x h才能追上队伍,此时队伍行走的时间为(13+x)h.
由题意,得12x=413+x,解得 x=16.
所以 12×16=2（km）
答:小王用16 h可追上队伍,此时,队伍已行走了2 km.
解法2：
解:设此时队伍行走的路程为y km.
由题意，得y12=y4－ 13，解得y=2. y12= 16.
答:小王用16 h可追上队伍,此时,队伍已行走了2 km.
问题：在列方程解决这类问题时应注意什么？
根据设的未知数寻找等量关系.
求两个未知量，一般会有两个等量关系,需要注意的是只需设出一个未知量,然后根据一个等量关系表示出另一个未知量,根据另一个等量关系列出方程即可.
总结：追及问题中的等量关系:快者走的路程-慢者走的路程=追及路程；
若同时出发，快者追上慢者时，快者用的时间=慢着的时间.
师生活动：学生独立思考后小组讨论以上问题，以小组汇报形式进行展示.
设计意图：尝试两种不同解题过程，让学生体会同一个问题因所设未知数不同，找出不同的等量关系，列出不同方程，并解决问题，开阔学生的解题思路.
应用举例
例：某农场要对一块麦田施底肥，现有化肥若干千克.若每公顷施肥400kg，则余下化肥800kg；若每公顷施肥500 kg，则缺少化肥300kg.那么，这块麦田的面积是多少公顷？现有化肥多少千克？
对上述情景进行探究：
问题1：设这块麦田为x公顷，如何用含x的式子表示化肥质量呢？
由“若每公顷施肥400kg，那么余下化肥800 kg”，可得表示化肥质量的式子：
（400x+800） kg
由“若每公顷施肥500kg，那么缺少化肥300kg”，可得表示化肥质量的式子：（500x－300）kg
问题3：这两个代数式应有怎样的关系？
答：化肥质量是相同的，所以有400x+800=500x－300.
解：设这块麦田的面积是x公顷.
由题意,得400x+800=500x－300.
解得x=11.
现有化肥为400x+800=5200.
答:这块麦田的面积是11公顷,现有化肥5200千克.
方法二：此题是否还有其他解法？
问题1.设现有化肥y千克，如何用含y的式子表示麦田的面积呢？
由“若每公顷施肥400kg,那么余下化肥800kg”，则表示麦田面积的式子：y−800400 kg.
由“若每公顷施肥500 kg，则缺少化肥300kg”，则表示麦田面积的式子： y+300500 kg.
问题3.两个代数式有什么样的关系呢?
答：y−800400 =y+300500
解：设现有化肥数为y千克，
由题意，得y−800400=y+300500.解得y=5200.
y−800400=11.
答：这块麦田的面积是11公顷，现有化肥5200千克.
总结：利用方程解决盈亏问题的思路:
1.找到不变的量；
2.从不同的角度用代数式表示这个量；
3.用同一个量的不同表示形式，得到方程.
师生活动：老师提问学生举手回答问题.
设计意图：通过设计阶梯式问题，激发学生参与课堂教学的热情，使学生进入问题情境，找出等量关系，列出方程，并解决问题.
课堂练习
1.小李家和小刚家相距 900 m，两人同时从家出发，相向而行.
(1)如果小李每分钟走60m，小刚每分钟走90m，那么两人几分钟后相遇?
(2)如果小李每分钟走60m，5min后两人相遇，那么小刚每分钟走多少米?
2.一块长为200cm、宽为100cm、厚为1cm的钢板经锻压后宽度不变，长度增加到320cm.那么，锻压后的钢板厚度是多少厘米?
分析：题中的等量关系是什么？
锻压前钢板的体积=锻压后钢板的体积
3.甲、乙两名同学从学校出发去县城.甲步行，每小时走4km，甲出发1.5h后，乙骑自行车追赶，半小时后追上了甲，求乙的速度.
答案:
1.解:(1)设两人x分钟后相遇.
由题意,得（60+90）x=900
解得x=6.
答:两人6分钟后相遇.
(2)设小刚每分钟走x米.
由题意,得 5（60+x）=900,
解得x=120.
答:小刚每分钟走120米.
2.解:设锻压后的钢板厚度是x厘米
由题意,得 100×320×x=200×100×1
解得x=0.625.
答:锻压后的钢板厚度是0.625厘米.
3.解:设乙的速度是x km/h.
由题意,得4×(1.5+0.5)=0.5x .
解得x=16.
答:乙的速度是16 km/h.
师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生展示过程并解答.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
课堂检测
1.甲、乙两人相距6 km，二人同时出发.同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时后相遇.二人的速度各是多少？
2.我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里 . 驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”
3.一艘客船从A地出发到B地顺流行驶,用了2.5时;从B地返回A地逆流行驶,用了3.5时,已知水流的速度是4千米/时,求客船在静水中的速度.
答案：
1.解：设甲的速度是xkm/h，则乙的速度是(6－x)km/h.
由题意，得3x=3(6－x)+6，解得x=4. 6－x=2.
答：甲、乙的速度分别是4km/h，2km/h.
2.解：设快马x天可以追上慢马.
由题意，可得150(x+12)=240x，解得x=20.
答：快马20天可以追上慢马.
3.解：设客船在静水中的速度为x千米/时,
根据题意，列方程得2.5(x+4)=3.5(x-4)，解得x=24.
答:客船在静水中的速度为24千米/时.
师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生展示过程并解答.
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，找到等量关系列出方程并解决实际问题.
课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
本节课你学到了什么？
如何利用方程解盈亏问题的关键是什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

六、板书设计
追及问题
盈亏问题

七、教学反思
本节课主要利用分析追击、盈余不足问题中的数量关系，根据题意设取不同的未知数列方程解决实际问题，提高学生运用新知识解决实际问题的能力，体会“建模”思想.本节问题的背景和表达都比较贴近实际，因为其中的有些数量关系比较隐蔽，所以在探究过程中正确建立方程是难点，教师要恰当的引导，让学生弄清问题背景，分析清楚有关数量关系，找出可作为方程依据的主要相等关系，但教师不要代替学生的思考，要鼓励学生自主探究，根据设的未知数不同，寻找等量关系，体现一题多解的灵活性．