湖北省荆州市沙市中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题及答案

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1．C 2．D 3．B 4． D 5．D 6．C 7．A 8．C 9．ACD 10．BD 11．BC
12． 13. 14．/1：8
15. (1) (2)
(1)由正弦定理及可得，又，
则，即，
则，因为，所以，，因为，所以．
(2)由余弦定理得，因为，，所以，当且仅当时取等号．又因为，所以．综上所述，，b的取值范围是．
16.(1) (2)
（1），因为在处取得极值，故，解得.当时，，，故在处导函数为0，且在左右导函数异号，满足极值点条件，故
（2），构造函数，即，因为任意，，当时，不等式恒成立，所以函数在上单调递减，即在上恒成立，由，
设，因为，所以，所以函数单调递减，
故，因此，故实数m的取值范围为
17.（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）证明：正方体中， ，分别为棱，的中点，所以， 平面，平面，所以，所以，正方形中，为的中点，为的中点，所以，所以，设、交点为，则，所以，即；又、平面，，所以平面.
（2）如图，以点为原点，分别以、、为，，轴建立空间直角坐标系.因为正方体棱长为2，，，分别为棱，，的中点. 所以，，，，.
所以，.由（1）知平面.
所以是平面的一个法向量，设是平面的法向量，则取，得，
所以，所以二面角的余弦值为，
18. （1）； （2）（i）证明见解析；（ii）面积的最大值为.
【小问1详解】由题意可得椭圆焦点在x轴上，且，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】（i）证明：由题意可知直线斜率存在，当直线斜率为0时，显然，所以；当直线斜率不为0时，设直线方程为，
联立，
则，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则，
所以，
因为，
所以.综上，为定值0.
（ii）由（i）可得，
所以，
所以，当且仅当即时等号成立，
所以面积的最大值为.
19. （1）， （2）证明见解析；
（3）当为偶数时，的最小值为；当为奇数时，的最小值为；
【小问1详解】以为首项的最长递增子列是，所以，因为后面的项都比小，所以，以为首项的最长递增子列是，所以，因为后面没有项，所以；
因为后面的项都比大，所以，以为首项的最长递减子列是或者，所以；
因为后面的项都比大，所以，因为后面没有项，所以；
所以，即，
【小问2详解】对于，由于数列是的一个排列，故，
若，则每个以为首项的递增子列都可以在前面加一个，得到一个以为首项的更长的递增子列，所以，而每个以为首项的递减子列都不包含，且，
故可将替换为，得到一个长度相同的递减子列，所以，这意味着；
若，同理有，，故，
总之，且和不能同时为零，
故.
【小问3详解】由（2）可知和不能同时为零，故，
当为偶数时，设，一方面有；
另一方面，考虑这样一个数列：，，
则对有，
故此时；
结合以上两方面可得，当为偶数时，的最小值为；当为奇数时，设，
一方面有；
另一方面，考虑这样一个数列：，，
则对有，
故此时；
结合以上两方面可得，当为奇数时，的最小值为；
综上可得，当为偶数时，最小值为；
当为奇数时，的最小值为；