安徽省太湖中学2025届高三上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份安徽省太湖中学2025届高三上学期12月月考数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,，则( )
A.B.C.D.
2．若（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根,则( )
A.0B.2C.3D.4
3．函数的图像大致是( )
A.
B.
C.
D.
4．荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步.假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%，而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了( )
（参考数据：，）
A.60天B.65天C.70天D.75天
5．已知,，向量,，若，则的最小值为( )
A.7B.8C.9D.10
6．已知数列满足,，则数列的前8项和为( )
A.B.C.D.
7．已知函数在有且仅有2个极小值点，且在上单调递增，则的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．如图，在中，，，，若为圆心为A的单位圆的一条动直径，则的最大值是( )
A.2B.4C.D.
二、多项选择题
9．函数的图像如图所示，则下列说法中正确的是( )
A.
B.函数的图像关于点对称
C.将向左平移个单位长度，得到函数
D.若方程在上有2个不相等的实数根，则m的取值范围是
10．在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，，D是中点，则下面正确的是( )
A.面积的最大值为B.周长的最大值为
C.中线长度的最大值为D.若A为锐角，则
11．如图,已知正方体的棱长为2,M,N分别为,的中点,点P为上一动点,则( )
A.存在点P使得
B.的最小值为
C.以为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12
D.已知球O为正方体的内切球,若在正方体内部与球O外部之间的空隙处放入一个小球,则放入的小球体积最大值为
三、填空题
12．在中，，P是直线上一点，若，则实数m的值为____.
13．若,，且,，则____.
四、双空题
14．已知函数,，则的对称中心为；若，则数列的通项公式为____.
五、解答题
15．如图，在四棱锥中，平面分别是棱的中点
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值
16．已知数列的前n项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前n项和为，若关于n的不等式恒成立，求实数λ的取值范围.
17．行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用.将形如的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：，设函数.
(1)求的对称轴方程及单调递增区间；
(2)在锐角中，已知,,，求和.
18．若函数对其定义域内任意满足：当时，恒有，其中m为常数，则称函数具有性质.
(1)函数具有性质，求m；
(2)设函数,，
(i)判断函数是否具有性质，若有，求出m；若没有，说明理由；
(ii)证明：.
19．第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率（其中，分别表示在点A处的一阶､二阶导数）
(1)已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？
(2)若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围；
(3)若动点A的切线沿曲线运动至点处的切线，点B的切线与轴的交点为.若，，是数列的前n项和，证明.
参考答案
1．答案：C
解析：由，则，所以，
所以，，
故选：C
2．答案：B
解析：解:因为（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根
所以,也是关于x的方程的一个根,
所以,由韦达定理得:,
所以,.
故选:B
3．答案：D
解析：由题意函数定义域是，
又，是奇函数，排除AB，
又在时，，，即，排除C，
故选：D.
4．答案：C
解析：设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”为a，
设当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了x天，
由题意得，即，
由于，故，
则，（天），
故选：C
5．答案：B
解析：根据题意，向量，，，
则，即，
变形可得，
则
又由，，则，
当且仅当时等号成立，
则，
则的最小值为8
故选：B.
6．答案：A
解析：依题意，，
由两边同时除以，
得到，
则数列是以为首项，2为公差的等差数列，
，即，
因此，
所以数列的前8项和
.
故选：A
7．答案：D
解析：对于函数，
极小值点为.
，令，
.
因为有且仅有2个极小值点.
当时，；
当时，；当时，.
所以，解不等式得.
因为的单调递增区间为.
对于，令，
则.
因为在上单调递增，
所以.
当时，，
则且.
解不等式得.
综合以上两个条件，的取值范围是.
故选：D
8．答案：A
解析：以A为坐标原点，,的方向分别为x轴、y轴，
如图所示：
则,,，
设,，则，
所以,，
所以
，
其中(为第二象限角)，
所以当时，取最大值，为2.
即的最大值为2.
故选：A.
9．答案：AC
解析：观察可得函数的图像过点，
所以，
所以，，
所以，，
又，所以，A正确；
所以，
因为时，，
所以点不是函数的图像的对称中心，B错误；
函数向左平移个单位长度，
可得函数的图像，
又，所以C正确；
因为，
由可得，，
令，由已知可得在上有2个不相等的实数根，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
且时，，时，，
时，，
所以，D错误.
故选：AC.
10．答案：BCD
解析：由成等差数列，可得
因为，所以，
又由余弦定理得
可得，
对于A中，由
所以，
所以面积的最大值为，
当且仅当时，等号成立，所以A不正确；
对于B中，由，
可得，所以
所以周长的最大值为，
当且仅当时，等号成立，所以B正确；
对于C中，因为，可得
又因为D是中点，可得，
则
所以
即中线长度的最大值为，
当且仅当时等号成立，所以C正确；
对于D中，设的外接圆的半径为R
可得，
由正弦定理
可得，
因为，可得
则，
所以，当A为锐角时，可得，所以D正确
故选：BCD
11．答案：BCD
解析：对于A:
由题意可知:,取中点G,所以,因为为直角三角形,同时为等腰直角三角形,,,
所以当P在运动中时,,,所以,,故A错;
对于B:
由对称性得,即求,在面中,
,故B对;
对于C:因为以为直径的球的球心为正方体中心,半径为,而正方体中心到各棱距离均为,
所以该球与正方体12条棱均相切,所以有12个交点,故C对;
对于D:因为体积最大的小球为小球与正方体和球O均相切时取到.研究截面
,分别过O和小球球心作的垂线,垂足分别为K,H,则,
因为球O与小球相切,球O半径为1,设小球的半径为r,则,
所以,所以小球体积最大值为,故D对.
故选:BCD.
12．答案：/
解析：因为P是直线上一点，故可设，
所以,，
又，所以，
所以，
又，,不共线，
所以,，
所以，.
故答案为：.
13．答案：
解析：因，所以，
又，所以.
根据，
得，
同时也能确定.
因为,,，
所以.
.
所以
因为,，所以.
在这个区间内，时，.
故答案为：.
14．答案：;
解析：函数的定义域为R，
，
由，得，
则，
因此函数图像的对称中心是；
由，得，
当时，，
，
，
于是，即，，
所以数列的通项公式为.
故答案为：；.
15．答案：(1)证明见解析；
(2)；
解析：(1)连接，如图所示，
因为分别为棱的中点
所以且，
又因为
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以,
因为平面,平面,
所以平面
(2)以A为坐标原点，如图所示构建空间直角坐标系，
则
设面的法向量为
则
令则
设面的法向量为
则
令则
设平面与平面的夹角为，
故平面与平面的夹角的余弦值.
16．答案：(1);
(2)
解析：(1)由，可得，
两式相减可得：，所以，
令，可得，所以，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
其通项公式为.
(2),.
可得，
则，
两式相减得：
，
所以，
因为，则，
原题意等价于关于n的不等式恒成立，
可得，记，
令，则，解得或3，
则，即当或时，取到最大值，
可得，所以实数λ的取值范围.
17．答案：(1)，
(2)，
解析：(1)
，
由,，得,，
所以的对称轴为.
由，，
所以单调递增区间为；
(2)由(1)知，，则，
由，得，则，解得，
因为中，，则B为锐角，
所以，
因为，，所以，
所以，
设，则，
在和中，由正弦定理得
，，
因为，所以，
所以，上面两个等式相除可得，
得，即，
所以.
18．答案：(1)
(2)(i)不具有，理由见解析；
(ii)证明见解析
解析：(1)定义域为，
对任意的，且，
有，
即，
因为，所以，故，
故，故；
(2)不具有性质，理由如下：
的定义域为，
，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
因为，，所以，
假设函数具有性质，即，所以，
因为，所以，
故对于任意的恒成立，
恒为0，显然不可能，故假设不成立，
故不具有性质；
()因为，
所以,，
下面证明，
即证，
令，则，
令,，
则，
故在上单调递增，
故，
所以，即，所以，
当时，，
当，令
，
令,，
，
故在上单调递增，
又，其中，故，
所以，故，
，其中,，而在上单调递减，
故,，
综上，.
19．答案：(1)
(2)
(3)证明见解析
解析：(1)抛物线的焦点到准线的距离为3，
，
即抛物线方程为
即
则，，
又抛物线在点处的曲率
则，
即在该抛物线上点处的曲率为；
(2)，
在R上为奇函数
又在R上为减函数
对于恒成立等价于
对于恒成立
又因为两个函数都是偶函数，
记，
则曲线恒在曲线上方，
，
又因为，
所以在处三角函数的曲率不大于曲线的曲率，
即，
又因为，，
，
所以，解得：，
因此，的取值范围为；
(3)由题可得，
所以曲线在点处的切线方程是，
即，
令，得
即，
显然，，
由
知
同理，
故
从而，
设，即
所以数列是等比数列，
故
即，从而，
所以
，
，
当时，显然；
当时，，
，
综上，.