陕西省安康市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份陕西省安康市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,，则( )
A.B.C.D.
2．若复数，且，则( )
A.B.-2C.-8D.8
3．已知直线与平行，且过点，则( )
A.-3B.3C.-2D.2
4．若，则的值为( )
A.B.C.D.
5．直线被圆截得的弦长为( )
A.B.C.D.
6．如图,在直三棱柱中,是等边三角形,,,则点C到直线的距离为( )
A.B.C.D.
7．已知圆与圆有4条公切线，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．如图，在棱长为2的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E,F为上两点，且的长为定值，则下面四个值中不是定值的是( )
A.点P到平面的距离
B.直线与平面所成的角
C.的面积
D.三棱锥的体积
二、多项选择题
9．已知直线与交于点，则( )
A.
B.
C.点P到直线的距离为
D.点P到直线的距离为
10．已知空间向量,,则下列说法正确的是( )
A.B.
C.D.
11．直线与曲线恰有两个交点，则实数m的值可能是( )
A.B.C.4D.5
三、填空题
12．过点且在x轴､y轴上截距相等的直线方程为____.
13．若正实数a，b满足，则的最小值是____.
14．已知圆，从点出发的光线经过x轴反射后的反射光线要想不被圆C挡住从而到达点（当光线与圆相切时也认为光线没被圆挡住），则实数m的取值范围为____.
四、解答题
15．已知的顶点坐标为,,.
（1）若点D是AC边上的中点,求直线BD的方程;
（2）求AB边上的高所在的直线方程.
16．已知圆C过点，，且圆心C在直线上
(1)求圆C的标准方程；
(2)过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程
17．如图,在直三棱柱中,,,点E,F分别为棱AB,的中点.
（1）求证:平面;
（2）求直线与直线AF的夹角的余弦值.
18．已知x，y是实数，且.
(1)求的最值；
(2)求的取值范围；
(3)求的最值.
19．如图,在四棱锥中,四边形ABCD为矩形,,平面平面ABCD,且,点E,F分别是棱AB,PC的中点.
（1）求证:平面PAC;
（2）若直线PA与平面PBD所成的角的正弦值为.
①求PA的长;
②求平面PDE与平面FDB的夹角的余弦值.
参考答案
1．答案：A
解析：由题可知，，，
所以，
故选：A.
2．答案：A
解析：因为，所以，
，，，故选A.
3．答案：D
解析：因为直线与直线平行，
所以，解得，
又直线过，则，解得，
经验证与不重合，所以.
故选：D.
4．答案：B
解析：由，
得.
故选：B
5．答案：C
解析：由题意可知：圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得的弦长为.
故选：C.
6．答案：C
解析：取AC的中点O,
则,,
以OB所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,O与中点连线所在直线为z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
所以,,,
所以,,
所以在上的投影的长度为,
故点C到直线的距离为.
故选:C.
7．答案：D
解析：根据题意可知，圆,外离，
,，
又,.
故选：D
8．答案：B
解析：对A，因为平面即平面为确定的面，
且点P为确定的点，故点P到平面的距离为定值；
对B，易得平面为平面，
且，平面，平面，故平面.
因为，故Q到平面的距离为定值，
又长度不为定值，故与平面所成的角的正弦不为定值，
即与平面所成的角不确定；
对CD，因为Q到的距离为定值，故为定值，
由A可得点P到平面的距离为定值，
故三棱锥的体积为定值，
故的面积与三棱锥的体积均为定值；
故选：B.
9．答案：ABD
解析：由题意，得：，
解得，，故A、B正确，
∴到直线的距离，
故C错误，D正确
故选：ABD.
10．答案：BCD
解析：因为向量,,可得,,
对于A中,由,设,即,
可得,此时方程组无解,所以与不平行,所以A错误;
对于B中,由,
所以,所以B正确;
对于C中,由,所以C正确;
对于D中,由,所以D正确.
故选：BCD.
11．答案：BC
解析：曲线表示圆在x轴的上半部分，
当直线与圆相切时，，解得，
当点在直线上时，，
所以由图可知实数m的取值范围为，
故选：BC
12．答案：或
解析：设直线在x轴､y轴上的截距均为a，
①若，即直线过原点，设直线方程为，
代入，可得，
故直线方程为，即；
②若，则直线方程为，
代入可得，
解得，故直线方程为.
综上所述：所求直线方程为或.
故答案为：或.
13．答案：16
解析：因为,，由基本不等式得，
即，解得，
当且仅当，即,时，等号成立.
故答案为：16
14．答案：
解析：令从点出发的光线射到x轴上的入射点为B，
反射光线的反向延长线必过点，
设直线的方程为，
当直线与圆相交时，
反射光线被圆C挡住不能到达点，
则不被挡住时，，解得或（舍去），
直线与直线的交点，因此，
所以实数m的取值范围为.
故答案为：
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为点D是AC边上的中点,则,
所以,
所以直线BD的方程为,
即;
（2）因为,
所以AB边上的高所在的直线的斜率为,
所以AB边上的高所在的直线方程为,即.
16．答案：(1)
(2)或
解析：(1)直线的斜率为，
线段的中点坐标为，
直线的垂直平分线的方程为，
整理为，联立方程
解得，
由圆C的性质可知，圆心C的坐标为，
可得圆C的半径为，
故圆C的标准方程为
(2)①当直线l的斜率不存在时，直线正好与圆C相切，
故此时直线l的方程为；
②当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为，
整理为，由直线l与圆C相切，
有，解得，
可得直线l的方程为，
整理为，
故直线l的方程为或
17．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）因是直三棱柱,则,,
又因点E,F分别为棱的中点,所以,,
则四边形是平行四边形,所以,
又因平面,平面,故平面;
（2）如图,因直三棱柱中,故可以A为原点,以AB,AC,
所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
不妨设,则,,,于是,,
设直线与直线AF的夹角为,则,
故直线与直线AF的夹角的余弦值为.
18．答案：(1)21;
(2)
(3)最小值为，最大值为
解析：(1)设，化为，
可知直线与圆有交点，
圆心，半径为2，有，解得，
可得的最小值为1，最大值为21；
(2)设，化为，
可知直线与圆有交点，
有，解得或，
故的取值范围为；
（3）的几何意义为坐标原点
到圆上任意一点的距离，
圆的圆心到坐标原点的距离为，
故的最小值为，最大值为.
19．答案：（1）答案见解析
（2）①2;
②
解析：（1）在矩形ABCD中,,且E是AB的中点,
,故,
又,则,即,
如图,记,连接PO,
因ABCD是矩形,故O是AC的中点,又,所以,
又平面平面ABCD,平面平面,平面PAC,故平面ABCD,
又平面ABCD,所以,
又,AC,平面PAC,所以平面PAC;
（2）①如图,以O为坐标原点,OE,OP所在的直线分别为x轴,z轴,
过点O且与AB平行的直线为y轴,建立空间直角坐标系.
设,所以,,,,
故,
设平面PDB的法向量为,又,,
所以由,故可取,
因为直线PA与平面PBD所成的角的正弦值为,
所以,
解得,所以;
②如图,因为,,
设平面PDE的一个法向量为,又,,
所以,故可取,
设平面FDB的一个法向量为,又,,
所以,故可取,
设平面PDE与平面FDB的夹角为,
所以.
即平面PDE与平面FDB的夹角的余弦值为.