数学九年级下册28.2 解直角三角形及其应用优秀课件ppt

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1. 熟练掌握解直角三角形的方法；2. 能灵活运用解直角三角形相关知识解决与直角三角形有关的图形计算问题，在解题过程中进一步体会数形结合、转化、方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路。
解直角三角形的依据：(1) 三边之间的关系： ；(2) 锐角之间的关系： ；(3) 边角之间的关系：sinA= ，csA= ，tanA= .
a2 + b2 = c2
∠A+ ∠B = 90°
例3 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面 343 km 的圆形轨道上运行，如图 ，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6 400 km，π取 3.142，结果取整数)？
一.圆和解直角三角形的综合运用
分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点。
由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2 051km.
(2) 如图，过C作CF⊥OB，CM垂直于地面，则CM=DF，在Rt△COF中，∠COF=55°，OC=OB=3m，∴ OF=OC·cs55° ≈ 3×0.57= 1.71(m)，∴ CM=DF=OB+0.6－OF=3+0.6－1.71 ≈ 1.9(m).∵1.9 ＜2，∴此人安全.
2.如图是一个匀速旋转的摩天轮示意图，O为圆心，AB为水平地面，假设摩天轮的直径为80m，最低点C离地面6m，旋转一周所用的时间为6min，小明从点C乘坐摩天轮(身高忽略不计)，请问：经过2min后，小明离地面的高度是多少米?
解：如图，从点C乘坐摩天轮，经过2min后到达点E，则∠COE=120°，延长CO与与圆交于点F，作EG⊥OF于点G，则∠GOE=60°.在Rt△EOG中，OG=40cs60°=20，∴小明2min后离开地面高度DG=DC+CO+OG=66(m).
在视线与水平线所成的角中：视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角；视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角.
【练习】如图，∠BCA=∠DEB=90°，FB∥ AC∥ DE.
从A看B： .
从B看A： .
从B看D： .
从D看B： .
例4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°，看这栋楼底部的俯角为 60°，热气球与楼的水平距离为 120 m，这栋楼有多高(结果取整数)？分析：根据仰角和俯角的定义，在图中，α= ，β= .
你能将本题转化为数学问题并求解吗？
在Rt△ABD 中， α =30°，AD=120，所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出 CD，进而求出 BC.
1.如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为 30°，已知地面上的这点与楼的水平距离 BC 为 30m，那么楼的高度AC为 m(结果保留根号).
1.如图，建筑物 BC 上有一旗杆AB，从与 BC 相距 40 m的D处观测旗杆顶部A的仰角为 50°，观测旗杆底部 B的仰角为 45°，求旗杆的高度(结果保留小数点后一位).
2.如图，沿 AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从 AC 上的一点B取∠ABD=140°，BD=520m，∠D=50°.那么另一边开挖点E离D 多远正好使A，C，E三点在一直线上(结果保留小数点后一位)?
方位角：以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角.
你知道图中点A、点B在方位角的位置吗？点A在点O的北偏东30°方向.点B在点O的南偏西30°方向.
例5 如图 ，一艘海轮位于灯塔P的北偏东 65°方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东 34°方向上的 B 处.这时，B 处距离灯塔P 有多远(结果取整数)？
【解析】分析：根据题意求出 BC 的长和∠ABC=45°，根据等腰直角三角形的性质解答即可.由题意得，BC=25×1=25 海里，∠DBC=30°，∠DBA=75°，则∠ABC=45°，∠BCE=30°，∴∠ACB=90°，∴CA=CB=25 海里.故选：C.
【解析】分析：如图，直角△ACD 和直角△ ABD 有公共边 AD，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用 AD表示出 CD 与 BD，根据 CB=BD-CD 即可列方程，从而求得 AD 的长，与 170 海里比较，确定轮船继续向前行驶，有无触礁危险。
我们经常说某某山的坡度很陡，那么坡度究竟是指什么呢？
你能根据图示给出坡度的定义吗?
坡度：坡度是地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度h和水平距离l的比叫做坡度(或叫做坡比)用字母i表示.
1. 坡度不是角的度数，它是坡角的正切值； 2. 坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
例6 如图，一山坡的坡度为 i=1:2，小刚从山脚 A出发，沿山坡向上走了 240 m 到达点 C.这座山坡的坡角约是多少度？小刚上升了约多少米？(角度精确到 0.01，长度精确到0.1 m)
1.如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度 CD=6米，坡面 BC 的倾斜角∠CBD=45°，距B点8米处有一建筑物NM，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面 BC 的坡度，把倾斜角由45°减至 30°，即使得新坡面 AC 的倾斜角为∠CAD=30°.(1)求新坡面 AC 的长度；(2)试求新坡面底部点A到建筑物MN 的距离.
解：分别作 AM⊥BC 于点 M，DN⊥BC 于点 N，根据题意，可知AM=DN=18米，AD∥MN，∴∠AMN=∠MND=∠MAD=90°，∴四边形AMND是矩形，∴MN=AD=6米，
1.如图，海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A 在北偏东 60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛 A 在北偏东 30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
如图所示，过D作DM//BN，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离.由图可知BN//DM//AC，∠ABN=60°，∠ADM=30°，AD=12，∴∠CAD=∠ADM=30°，∠CAB= ∠ ABN =60°， ∴ ∠BAD =60°-30°= 30°， ∠ABD =90°-60°= 30°， ∴ ∠ABD=∠BAD， ∴ BD=AD =12(海里)，
2.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AF=DE=6 m.斜面坡度i=1:1.5是指坡面的铅直高度 AF 与水平宽度 BF 的比，斜面坡度i=1∶3 是指 DE 与 CE的比，根据图中数据，求：(1)坡角α和β的度数； (2)斜坡AB的长(结果保留小数点后一位).
1.如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图.已知自动扶梯 AB 的坡度为 1: 2.4，AB的长度是 13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN 上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC ⊥ MN，在自动扶梯底端A处测得 C点的仰角为 42°，则二楼的层高 BC 约为(精确到 0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90)( )A.10.8米 B.8.9米 C.8.0米 D.5.8米【解析】分析：延长 CB 交PQ于点 D，根据坡度的定义即可求得 BD 的长，然后在直角△CDA 中利用三角函数即可求得 CD 的长，则即可得到BC.
【解析】如图，以点 A为圆心，取 AB=AD=200 米为半径，过点A作AC⊥MN， ∵ ∠QON=30°，OA=240米， ∴ AC=120米，当火车到 B点时开始对A处产生噪音影响，到点 D时结束影响，此时 AB=200 米， ∵ AB=200米，AC=120米， ∴由勾股定理得：BC=160米， ∴ BD=2BC=320米， ∵ 72千米/小时=20 米/秒，∴影响时间应是 320 ÷ 20=16(秒)，故选 B.
解：在Rt△BCD中，BD＝9米，∠BCD＝45°，∴BD＝CD＝9米．在Rt△ACD中，CD＝9米，∠ACD＝37°，∴AD＝CD·tan37°≈9×0.75＝6.75(米)，AB＝AD＋BD＝15.75(米)，整个过程中旗子上升高度是15.75－2.25＝13.5(米)，∴国旗上升的速度为13.5÷45=0.3(m/s).
3.如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？(参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)
4.某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N.观察员在瞭望台顶端 P处观测到渔船M的俯角α为 31°，渔船 N的俯角β为 45°，已知MN所在直线与 PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为 30米.(1)求两渔船M，N之间的距离(结果精确到1米)；(2)已知坝高 24 米，坝长 100 米，背水坡 AD 的坡度i= 1:0.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底 BA加宽后变为 BH，加固后背水坡 DH的坡度i=1:1.75，完成这项工程需填筑土石方多少立方米？(参考数据:tan31°≈ 0.60，sin31°≈ 0.52)
5. 如图，线段 EF与MN表示某一段河的两岸，EF平行MN.综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度(EF与MN之间的距离)，已知河对岸EF 上有建筑物C、D，且 CD=30米，同学们首先在河岸 MN上选取点 A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东 45°方向，再沿河岸走 10 米到达 B处，测得 D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度.(用非特殊角的三角函数或根式表示即可)
【分析】首先构造直角三角形，作CP⊥MN、DQ⊥MN，垂足为P、Q，则四边形 CPQD为矩形，CD=PQ=30，设河宽CP为x，利用∠CAP=45°，得出AP=x，则BP=x-10，根据∠BDQ的正弦列出方程，求出x即可表示出河宽. 解：如图，过 C、D分别作CP ⊥ MN、DQ ⊥ MN，垂足为 P、Q.设河宽为x米，由题可知，∠CAN=45°，∠BDQ=55°， ∴ △ACP为等腰直角三角形， ∴ AP=CP=x，BP=x-10， ∵ MN∥EF， CP⊥MN、DQ ⊥ MN， ∴ ∠CPQ=∠PQD=∠PCD=∠CDQ=90°， ∴四边形 CPQD 为矩形，
1.(2024·吉林·中考真题)图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”.某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度AB=873m，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC=37°，看塔底D的俯角∠EAD=45°，求吉塔的高度CD(结果精确到0.1m).(参考数据:sin37°=0.60，cs37°=0.80，tan 37°=0.75)
圆和解直角三角形的综合运用
俯角、仰角的解直角三角形问题
在视线与水平线所成的角中：1.视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角；2.视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角.
一般情况下，直角三角形是求解或运用三角函数值的前提条件，故当题目中提供的并非直角三角形时，需添加辅助线构造直角三角形，然后运用三角函数解决问题
方位角类型的解直角三角形问题
坡度类型的解直角三角形问题