江苏省宿迁市四校2025届九年级上学期12月联考数学试卷(含答案)

这是一份江苏省宿迁市四校2025届九年级上学期12月联考数学试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列函数中是二次函数的是( )
A.B.C.D.
2．设a,b是一元二次方程的两个实数根,则的值为( )
A.2B.C.D.
3．已知抛物线过,,三点,则,,大小关系是( )
A.B.C.D.
4．如图,在等腰三角形中,,点D是的中点,若以为直径作圆,则下列判断正确的是( )
A.点C一定在外B.点C一定在上
C.点D一定在外D.点D一定在上
5．如果两个三角形相似,且相似比为,则它们的周长比为( )
A.B.C.D.
6．下列说法正确的是( )
A.弦一定是直径,直径一定是弦B.优弧一定比劣弧长
C.平分弦的直径垂直于这条弦D.90度的圆周角所对的弦是直径
7．如图为直径,,则为( )
A.B.C.D.
8．若(,),则的值为( )
A.B.C.1D.
9．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离( )
A.3.2C.2.5D.1.6
10．已知二次函数的图象如图所示,直线是它的对称轴,下列结论：①；②；③；④；⑤方程有两个相等的实数根.⑥,其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题
11．若一元二次方程有实数根的话,则______0.
12．标准大气压下,质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数,则当温度为时,水的体积为______.
13．二次函数的开口方向是______.
14．将抛物线向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为______.
15．已知抛物线与x轴有且只有一个交点,则______.
16．如图,已知抛物线与直线交于,两点,则关于x的不等式的解集是______.
17．如图,是的外接圆,点D是半圆弧的中点,交延长线于点E,连结,.若与的面积比为,则______.
18．我们知道方程的解是,,现给出另一个方程,它的解是______.
三、解答题
19．解方程：
(1)；
(2).
20．如图,在中,,以,为边作,交与点F,
​
(1)若,求的度数.
(2)若,,求.
21．如图：在中,,,,点P从O开始沿OA边向点A以(厘米/秒)的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以的速度移动,如果P、Q同时出发,用x(秒)表示时间,那么：
(1)点Q运动多少秒时,的面积为；
(2)当x为何值时,以P、O、Q为顶点的三角形与相似？
22．两千多年前古希腊数学家欧多克索斯发现黄金分割,如图,点P是线段上一点,若满足,即,则称点P是的黄金分割点.黄金分割在生活中处处可见,例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处,观众观感最好.若舞台长20米,主持人从舞台一侧进入,设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上.问题：则x满足的方程是______.
23．某校初三年级的一场篮球比赛中,如图队员甲正在投篮,已知球出手时离地面高,当球出手后水平距离为时到达最大高度,设篮球运行的轨迹为抛物线,建立如图的平面直角坐标系.
(1)求出抛物线的解析式；
(2)若队员与篮圈中心的水平距离为,篮圈距地面,问此球能否准确投中？
24．如图,某校劳动实践基地用总长为的栅栏,围成一块一边靠墙的矩形实验田,墙长为,栅栏在安装过程中不重叠、无损耗,设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m),与墙平行的一边长为y(单位：m),面积为S(单位：).
如图,某校劳动实践基地用总长为的栅栏,围成一块一边靠墙的矩形实验田,墙长为
(1)直接写出y与x,S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)；
(2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能,求x的值；如果不能,请说明理由；
(3)矩形实验田的面积S能达到吗？如果不能,请说明理由；你能求出矩形实验田的面积S的最大值吗？若能,求出S的最大值并求出此时的x的值.
25．综合与实践
素材：一张边长为4的正方形纸片
步骤1：对折正方形纸片,使与重合,得到折痕,把纸片展平.
步骤2：再一次折叠纸片,点A落在点G处,并使折痕经过点E,得到折痕,点P在边上,过点P作的垂线交射线于点H.
(1)如图1,若点H落在边上,直接写出的度数；
(2)如图2,设,,试求y关于x的函数表达式；
(3)如图3,为的外接圆,若与边相切,求的长.
26．综合与实践.
【实践背景】夜间在高速公路上行车时,对向来车的灯光易引发眩光现象,进而导致交通事故,因此高速公路设置了防眩板遮挡对向车辆灯光.
【数学建模】如图是一条高速公路的俯视示意图,中央隔离带的中轴线垂直平分每块防眩板,防眩板宽度是米(米).一辆汽车车灯位于点A时,车灯发出的光线分别经过防眩板,的点Q和点M,光线经过防眩板的点P,,道路米,光线和行驶路线的夹角.(参考数据：,)
【解决问题】
(1)的长度是多少米？
(2)防眩板,间的距离是多少米？
27．为推进青少年近视的防控工作,教育部等十五部门发布了《儿童青少年近视防控光明行动工作方案(2021—2025年)》.方案中明确强调了校园视力筛查的重要性.视力筛查使用的视力表中蕴含着很多数学知识,如：每个“E”形图都是正方形结构,同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值,不同的检测距离需要不同的视力表等.
【素材1】国际通用的视力表以5米为检测距离.如图1,任选视力表中7个视力值n,测得对应行的“E”形图边长,在平面直角坐标系中描点.
【素材2】图2为视网膜成像示意图,在检测视力时,眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角.视力值n与分辨视角(分)的对应关系近似满足.
【素材3】如图3,当确定时,在A处用边长为的Ⅰ号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同.
【探究活动】
(1)当检测距离为5米时,
①猜想n与b满足______函数关系(填：一次或二次或反比例)；
②直接写出n与b的函数关系式为______；
③求视力值1.2所对应行的“E”形图边长.
(2)当时,属于正常视力,根据函数增减性求出对应的分辨视角的范围.
(3)在某次视力检测中,小何同学发现视力值1.2所对应行的“E”形图边长为,设置的检测距离为3.5米.请问,设置的检测距离与该视力表是否匹配？若匹配,请说明理由；若不匹配,小何同学该如何调整自己的位置？
28．【情景认识】
托勒密是一位古希腊的天文学家、地理学家和数学家,他的数学成就是在三角学方面,被誉为三角学的创建者,图一所示.
【问题导入】
托勒密定律：圆的内接四边形中,两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.
翻译：在四边形中,若A、B、C、D四点共圆,则.
【简单应用】
如图三,四边形内接于,是的直径,如果,,求的长.
【加深理解】
如图四,在中,,D为的中点,过点D作,交的延长线于点E,交的延长线于点F.若,,.则______；
参考答案
1．答案：B
解析：A、不是二次函数,故该选项不符合题意,
B、是二次函数,故该选项符合题意,
C、不是二次函数,故该选项不符合题意,
D、不是二次函数,故该选项不符合题意,
故选：B.
2．答案：D
解析：∵a,b是一元二次方程的两个实数根,
∴,
故选：D.
3．答案：C
解析：∵函数的对称轴为y轴,开口向上,
∴距离对称轴越远函数值越大.
∵,,到y轴的距离依次为：2,0,1,
∴.
故选C.
4．答案：A
解析：如图,以为直径的圆O,与,分别交于点E,H,连接,,
由图可得,,,
又∵,
∴H为中点,
∴点C一定在外,
而点D通过现有条件无法判断其位置,
故选A.
5．答案：B
解析：∵两个相似三角形相似比为,
∴两个相似三角形的周长之比为.
故选：B.
6．答案：D
解析：A、弦不一定是直径,直径一定是弦,故该选项不符合题意；
B、在同圆或等圆中,优弧一定比劣弧长,故该选项不符合题意；
C、平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦,故该选项不符合题意；
D、90度的圆周角所对的弦是直径,故该选项符合题意；
故选：D.
7．答案：C
解析：∵,
∴,
∵为直径,
∴,
则,
故选：C.
8．答案：A
解析：∵(,),
∴设,则,
∴.
故选：A.
9．答案：A
解析：如图所示，以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
方法一：，
点B与点D关于对称轴对称，
；
方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为，
设抛物线的解析式为，
将点代入得，
解得，
抛物线的解析式为，
当时，，
解得（舍）或，
所以茶几到灯柱的距离为3.2米，
故选：A.
10．答案：C
解析：①抛物线的开口向下：,对称轴为直线,∴,
∵抛物线与y轴交于正半轴：；
∴,故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点：,故②正确；
③∵对称轴为直线,
∴与时y的值相等,
∵时,,
∴时,,
∵,
∴,
∴,故③错误；
④对称轴为直线,∴,故④错误；
⑤∵顶点坐标：,
∴当且仅当时,,
∴有两个相等的实数根.故⑤正确；
⑥由图可知：,,
∴,
∴；故⑥正确；
综上：正确的是②⑤⑥,共3个.
故选C.
11．答案：
解析：一元二次方程有实数根,
.
故答案为：.
12．答案：106
解析：,
当时,,
水的体积为.
故答案为：106.
13．答案：向上
解析：∵,
∴图象开口方向是向上,
故答案为：向上.
14．答案：
解析：将抛物线向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后可得：,
故答案为：.
15．答案：
解析：∵抛物线与x轴有且只有一个交点,
∴,
解得,
故答案为：.
16．答案：
解析：由图象可知,当时,抛物线位于直线上方,
∴不等式的解集是：,
故答案为：.
17．答案：
解析：过D作于M,交直线于N,连接,则,
∵点D是半圆弧的中点,
∴,,
∴平分,
∴,
∴四边形是正方形,
∴,
设,,则,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∵与的面积比为,
∴,即,
解得,
∵,
∴,
∴,
∴,即,
整理得,
,
∴,
∴,,
∴,
故答案为：.
18．答案：,
解析：令,则方程化为,
解得：或,即或
解得：,.
19．答案：(1),
(2),
解析：(1)移项得,
,
因式分解得,
,
∴或,
解得：,,
∴原方程的解是：,；
(2)
,
∴或,
解得：,,
∴原方程的解是：,.
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)在中,,,
∴,
∵四边形是平行四边形,
∴；
(2)∵,
∴.
∵四边形是平行四边形,
∴,,
∴,
∴,
∴.
∵,
∴.
∴.
21．答案：(1)1秒或5秒
(2)秒或3秒
解析：(1)∵
∴
∴.
在中,,,
,
可求得,.
(2)当时,,即,解得秒；
当,,即,解得秒.
综上所述,当秒或秒时,以P、O、Q为顶点的三角形与相似
22．答案：
解析：由题意知,点P是的黄金分割点,且,设,则,
∴,
∴,
化简得：,
故答案为：.
23．答案：(1)
(2)此球一定能投中
解析：(1)根据题意,球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为：
,,
设二次函数解析式为,
将点代入可得：,
解得：,
抛物线解析式为：；
(2)将点坐标代入抛物线解析式得：
,
左边右边,
即C点在抛物线上,
此球一定能投中.
24．答案：(1)
(2)矩形实验田的面积S能达到；
(3)矩形实验田的面积S不能达到,理由见解析,矩形实验田的面积S的最大值为,此时的x的值为
解析：(1),
,
,
；
(2)矩形实验田的面积S能达到；理由如下：
,
,
,
,
当时,,
,
,
,
当时,矩形实验田的面积S能达到.
(3)当时,则,
即,
∵,
∴方程无解,
∴矩形实验田的面积S不能达到.
,
又∵,
∴当时,S有最大值,最大值为800,
∴S的最大值为,此时的x的值为.
25．答案：(1)
(2)y关于x的函数表达式为
(3)
解析：(1),理由如下,
∵,四边形是正方形,
∴,
∴四边形是矩形,
∴,
由折叠的性质得,,,,
∴,,,
∴,
∴,,
∴,
∵,即,
∴,
由对称性可知：
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∴；
(2)过点H作于点,如图,
同理四边形是矩形,
由折叠的性质知,,
同理,
∴,
∴,
在中,由勾股定理得,
∴,整理得,
∴y关于x的函数表达式为；
(3)设与边相切于点M,连接并延长,交边于点N,如图,
设,,由(2)知,
∵与边相切于点M,,
∴,即,
∴,
∵,
∴是的直径,
∴,
∴是的中位线,
∴,
∴,
在中,,
解得,
∴.
26．答案：(1)的长度约是米
(2)防眩板,间的距离是米
解析：(1)依题意,在中,
∵,,,米,
∴,
∴(米).
答：的长度约是米.
(2)如图,分别过点M,Q作于点H,于点G,
依题意得(米),
∵,
∴,
∴,
∴,
∴(米).
设米,
∵,
∴,
∴,
∴,
解得,
经检验是原方程的解.
∴防眩板,间的距离是米.
27．答案：(1)①反比例；②；③
(2)
(3)不匹配,检测距离应调整为
解析：(1)由图象中点的坐标规律得到n与b成反比例关系,
设,将其中的点代入,得到,
∴,
将其余点一一代入,都符合关系式,
故答案为：①反比例；②；
③将代入得：；
答：检测距离为5米时,视力值1.2所对应行的“E”形图边长为；
(2),
在自变量的取值范围内,n随着的增大而减小,
当时,,
又,；
(3)由素材可知,当某人的视力确定时,其分辨视角也是确定的,
由相似三角形性质得,
由(1)知,,
解得检测距离应为,,
答：不匹配,检测距离应调整为.(或者小何同学应当向视力表方向前进)
28．答案：[简单应用]：
[加深理解]：10
解析：[简单应用]：解：∵是的直径,,
∴,,
又∵,
∴,
根据托勒密定律得,
∴
解得：；
[加深理解]：∵
∴,
又∵,
∴A,D,F,E四点共圆,
∵,,,
∴,,
∴,
如图所示,过点D作于点G,则,
∵D为的中点,
∴,
∴,
∴
∴
∵A,D,F,E四点共圆,,
∴,则
∴,,
根据托勒密定律得,,
∴,
解得：.