安徽省江淮名校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份安徽省江淮名校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知椭圆的方程为，则该椭圆的( )
A.长轴长为2B.短轴长为C.焦距为1D.离心率为
2．纵截距为1且倾斜角为的直线方程为( )
A.B.C.D.
3．方程的化简结果是( )
A.B.
C.D.
4．在空间直角坐标系中，已知,，则是与夹角为锐角的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．已知直线与直线，在上任取一点A，在上任取一点B，连接，取的靠近点A三等分点C，过点C作的平行线，则与之间的距离为( )
A.B.C.D.
6．已知直线，圆，以下说法不正确的是( )
A.l与圆C不一定存在公共点
B.圆心C到l的最大距离为
C.当l与圆C相交时，
D.当时，圆C上有三个点到l的距离为
7．已知O为坐标原点，是椭圆的左焦点.若椭圆C上存在两点A,B满足，且A,B关于原点O对称，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．在平行六面体中，,,，，则点到平面的距离为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B.“”是“直线与直线互相平行”的充要条件
C.直线的倾斜角的取值范围是
D.若点,,直线l过点且与线段相交,则l的斜率k的取值范围是
10．空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，根据上面的材料，以下选项说法正确的是( )
A.若直线l的方程为，则点在直线l上
B.已知平面的方程，平面的方程为，则这两平面所成角的余弦值为
C.已知平面的方程为，则点到平面的距离为
D.已知平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为,，则直线l与平面的夹角的正弦值为
11．已知椭圆左右焦点分别为,，点P是椭圆上任意一点，,，则下列结论正确的是( )
A.的内切圆半径的最大值为
B.
C.
D.的内心在一定圆上
三、填空题
12．设直线和的方向向量分别为,，且，则____.
13．当直线被圆截得的弦长最短时,实数___________．
14．已知定直线,，点A,B分别是,上的动点，且，则的中点M的轨迹方程为____.
四、解答题
15．已知圆C经过点和，且圆心在直线上.
(1)求圆C的方程；
(2)过点作圆C的切线，切点分别为E,F点，求四边形的面积.
16．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的“阳马”中，四棱锥的底面为矩形，底面.其中,，点E,F分别在棱,上，且，点G为棱的中点.
(1)证明：；
(2)已知，求平面与平面夹角的余弦值.
17．已知椭圆的离心率为，点是椭圆上一点，过点作斜率之积为-1的两条直线,,,与椭圆的另一交点分别为A,B.
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：直线恒过定点N.
18．如图，已知直三棱柱中，,,E,F分别为棱,的中点.
(1)求三棱锥的体积.
(2)设直线与平面的交点为G，求直线与平面夹角的正弦值.
19．如图，过椭圆的左､右焦点,分别作长轴的垂线,交椭圆于,,,，将,两侧的椭圆弧删除再分别以,为圆心，,线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”.夹在,之间的部分称为椭圆帽的“帽体段”， ,两侧的部分称为椭圆帽的“帽檐段”.已知左右两个帽檐段所在的圆方程分别为.
(1)求“帽体段”的方程；
(2)过的直线交“帽体段”于点A，交“帽檐段”于点B，点A在x轴的上方.设与的面积分别为,：
①求的最大值；
②求使得取得最小值时的弦长.
参考答案
1．答案：D
解析：由椭圆的方程可知：焦点在x轴上，
即,,，
则,,.
所以长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为.
故选：D
2．答案：B
解析：倾斜角为，斜率为，
纵截距为1，所以直线方程为.
故选：B
3．答案：C
解析：方程的几何意义为动点到定点和的距离和为10,并且,
所以动点的轨迹为以两个定点为焦点,定值为的椭圆,所以,,
根据,所以椭圆方程为.
故选：C.
4．答案：B
解析：与的夹角为锐角，则要满足,，
即且不等于1，
解得：且，
因为是的真子集，
所以是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件.
故选：B
5．答案：A
解析：如图：
过A作与点D，交直线与点E，
则为所求直线与的距离.
因为，.
所以.
故选：A
6．答案：C
解析：如图：
直线即，
所以直线l过定点.
圆C的圆心为，半径为：1.
对A：如图所示，直线l与圆C不一定有公共点，故A选项内容正确；
对B：当直线l变化时，圆心C到直线的最大距离为，
且，故B选项内容正确；
对C：若直线l与圆C相交，
则，故C选项内容错误；
对D：当时，直线l：，
此时圆心到直线的距离为：，
又圆C的半径为，
所以圆C上到直线l的距离等于的点有三个，
故D选项内容正确.
故选：C
7．答案：C
解析：设椭圆C的右焦点为，连接.
由椭圆的性质得，，，
即椭圆上存在点A，满足，
即以为直径的圆与椭圆有公共点.
设椭圆C的半焦距为，所以只需，
所以，即，所以椭圆C的离心率的取值范围为.
故选：C
8．答案：C
解析：以点A为坐标原点，方向为x轴非负方向，方向为y轴非负方向建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
设，则，，，
由，得，
由，得，
，由，可得，解得，
，
取平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为.
故选：C.
9．答案：BCD
解析：对于选项A：当时,直线与直线斜率分别为1,-1,
斜率之积为-1,故两直线相互垂直,即充分性成立;
若“直线与直线互相垂直”,
则,故或,
所以得不到,即必要性不成立,故A错误;
对于选项B：由直线平行得,解得,
所以“”是“直线与直线互相平行”的充要条件,故B正确;
对于选项C：直线的倾斜角为,则,
因为,所以,故C正确;
对于选项D：如图所示：
可得,,结合图象知,故D正确;
故选：BCD.
10．答案：ABD
解析：对于A，将点代入直线l的方程，
则有，
所以点在直线l上，故正确；
对于B，因为平面的方程，即为，
所以平面的法向量为，
同理，因为平面的方程为，即为，
所以平面的法向量为，
所以，
所以平面与平面所成角的余弦值为，故正确；
对于C，因为平面的方程为，即为，
所以平面的法向量，且点在平面内，
所以，
设点到平面的距离为，
则，故错误；
对于D，因为平面的方程为，即，
所以平面的法向量；
又因为平面的方程为，
所以平面的法向量；
设直线l的方向向量为，
则有，
所以，取，
则有，
又因为平面的方程为
所以平面的法向量为，
设直线l与平面的夹角为，
则，故正确.
故选：ABD.
11．答案：ABC
解析：椭圆，，，
则，，.
分析选项A，设，，.
根据椭圆的定义.
设的内切圆半径为r，
根据三角形面积（为P点纵坐标）.
，因为P在椭圆上，，
所以，故选项A正确.
分析选项B，在中，根据正弦定理.
，故选项B正确.
分析选项C，设离心率为e，则，
由正弦定理可得，
即,，
又，而，即，
因为，
，
所以，即，
化简得，即，
所以，故选项C正确.
分析选项D，令，则.
的面积，
其中r为内切圆的半径，解得.
另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得：
从而有.消去得到点I的轨迹方程为：.
本题中：,，代入上式可得轨迹方程为：.
所以I的轨迹是以为长轴的椭圆去掉点，选项D错误.
故选：ABC.
12．答案：/0.5
解析：由题意得，因为，所以，
即，
解得.
故答案为：.
13．答案：-1
解析：将直线,化为,
令,解得,所以直线l过定点,
又圆C的标准方程为,则圆心为,
由,则点P在圆C内,
故当时,圆心C到直线l的距离取得最大值,此时直线l被圆C截得的弦长最短,
则,解得．
故答案为：-1．
14．答案：
解析：由题：,，
设,，设线段中点，
则，即，
而
，
所以，化简为.
故答案为：
15．答案：(1);
(2)5
解析：(1)的中点坐标为，所以圆心在直线上，
又知圆心在直线上，所以圆心坐标是，圆的半径是，
所以圆C的方程是.
(2)四边形的面积
.
16．答案：(1)证明见解析；
(2).
解析：(1)如图所示，连接,,
因为且，所以四边形为平行四边形.
所以，
由勾股定理得,,，
所以，所以，即，
又因为底面,平面，
所以，且,,平面，
所以平面，又因为平面，所以；
(2)如图，以D为原点，,,所在的直线分别为x,y,z轴
建立空间直角坐标系，
则,,,,，
所以,,，，
设平面的法向量为，
所以，令，得,，
所以，
设平面的法向量为，
所以，令，得,，
所以，
设平面与平面的夹角为，
则.
17．答案：(1);
(2)证明见解析
解析：(1)由题意知：，
故椭圆的标准方程为：.
(2)由题意可知，直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：
,,.联立：
所以,
由
即（舍去）或
所以直线的恒过一定点.
18．答案：(1)；
(2).
解析：(1)因为,，且，
平面，平面，所以平面，
所以点到平面的距离为，
所以:；
(2)如图，以A为坐标原点，,,分别为x,y,z轴，
建立空间直角坐标系，
则有：,,,,，
所以：,，
设平面的法向量为，则
即：，解之得：，所以，
因为直线，不妨设,，
即，
即，，
又因为，所以，
所以，所以，
设直线与平面夹角为，
所以
.
19．答案：(1)
(2)①；
②
解析：(1)由帽檐段所在的圆的方程可得,，
即,,，
所以“帽体段”的方程为；
(2)①在中，设,，
则，
若设，
且,，
，
，
所以
，
因为，当且仅当时，“”成立，
所以，
即；
②由①可得：
，令，
则
令，由,
所以，
当时，Z最小，
此时.