河北省“五个一”名校联盟2025届高三上学期12月联考数学试卷(含答案)

这是一份河北省“五个一”名校联盟2025届高三上学期12月联考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．( )
A.B.C.D.
2．若椭圆的上顶点、下顶点、上焦点分别为A，B，F，且，则C的离心率为( )
A.B.C.D.
3．已知集合，，则( )
A.B.
C.D.
4．已知是偶函数，当时，，则( )
A.B.C.D.
5．在体积为的四面体中，平面平面，，，则( )
A.4B.C.D.
6．若直线与圆的两个交点A，B恰好关于直线对称，则( )
A.B.C.4D.
7．关于的展开式，下列判断正确的是( )
A.该展开式各项的系数之和为
B.该展开式各项系数的绝对值之和为720
C.该展开式中含的各项系数之和为
D.该展开式中不含字母y的各项系数之和为64
8．已知m，n均为正数，则的最小值为( )
A.14B.16C.10D.12
二、多项选择题
9．若直线与曲线相切，则m的值可以为( )
A.B.2C.4D.5
10．已知，，函数，，若，，且函数的最大值为，则( )
A.B.
C.当时，D.曲线关于点对称
11．已知数列满足，，，则( )
A.的个位数为3
B.的个位数为1
C.对任意实数，数列都不是等比数列
D.的前100项和大于数列的前200项和
三、填空题
12．已知函数（且）的图象过定点A，则点A的坐标为________.
13．已知抛物线的焦点为，直线与C交于A，B两点，点，则的面积的最大值为________.
四、双空题
14．如图，一个半球容器(有盖)的半径为10分米，忽略容器的厚度，则该容器的表面积为________平方分米，若在该容器内放人两个半径均为r分米的球，则r的最大值为________.
五、解答题
15．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，.
(1)求；
(2)延长至点，使得，延长至点，使得，……，依此规律得到点列，且，记的面积为，证明数列是等差数列，并求的前n项和.
16．在四棱锥中，平面.
(1)证明：平面；
(2)若底面，底面为矩形，，，E为棱的中点，F为平面内的动点，当取得最小值时，求直线与底面所成角的正弦值.
17．山海关，位于河北省秦皇岛市，素有"两京锁钥无双地，万里长城第一关"之称.野三坡，位于河北省保定市涞水县，享有"世外桃源"之称.已知某地居民中青少年、中年人、老年人的人数比例为，且他们寒假去山海关、野三坡旅游的概率如下表所示：
(1)若从该地居民(仅指青少年、中年人、老年人)中任选一人，求此人寒假去山海关旅游的概率；
（2）若甲、乙、丙分别是该地居民中的一位青年人、中年人、老年人，假设该地居民选择寒假旅游地相互独立，记这3人中寒假去野三坡旅游的人数为X，求X的分布列与数学期望.
18．若函数与的图象没有公共点，则称与互为绝缘函数.
(1)已知函数，.试问函数与，这两个函数中的哪个函数互为绝缘函数？说明你的理由.
(2)证明：函数与互为绝缘函数.
(3)若函数与互为绝缘函数，求a的取值范围.
19．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，右顶点到点的距离是.动圆P(点P为圆心)与交于四个不同的点A，B，C，D，且直线，的斜率分别为，.
(1)求的方程.
(2)设直线.
①判断点是否在双曲线上，并说明理由.
②若，求直线的一般式方程.
③试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：.
2．答案：A
解析：设C的焦距为，因为，所以，则.
3．答案：C
解析：因为.所以.
又，，
易知，所以.
4．答案：A
解析：由是偶函数，得.
令，得.
所以.
5．答案：B
解析：如图，取的中点E，连接，.因为，所以，又平面平面，平面平面，所以平面.因为四面体的体积为，所以，解得，易知，所以.
6．答案：B
解析：圆C的标准方程为，圆心的坐标为.由题意得直线经过圆心，且与直线l垂直，则且.因为，所以，，则圆心到直线l的距离.故.
7．答案：C
解析：令，得该展开式各项的系数之和为1，A错误.
该展开式各项系数的绝对值之和等于的展开式各项的系数之和，即，B错误.
该展开式中含的各项之和为，则该展开式中含的各项系数之和为，C正确.
该展开式中不含字母y的各项之和为，令，得该展开式中不含字母y的各项系数之和为0，D错误.
8．答案：D
解析：
，
当且仅当且，即，时，等号成立，所以所求的最小值为12.
9．答案：AD
解析：由，得，
设切点为，则得，
即，解得，所以或5.
10．答案：BCD
解析：，的最大值为，因为，所以，A错误.
因为，，，所以，B正确.
，
当时，，，
则，所以，C正确.
因为，所以曲线关于点对称，D正确.
11．答案：AB
解析：因为，所以，又，所以数列是首项为12，公比为4的等比数列，则，
所以由累加法可得，
所以，所以的个位数为，，因为，所以的个位数为，A，B均正确.
数列是等比数列，C错误.
的前100项和，数列的前200项和，，，D错误.
12．答案：
解析：因为，所以可令，得，故点A的坐标为.
13．答案：
解析：由抛物线的焦点为，得，拋物线.
由消去y得.因为，所以.
设，，则，.
设直线与y轴交于点，
则的面积
.
设函数，则.
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的最大值为，
所以的面积的最大值为.
14．答案：；
解析：该容器的表面积为平方分米.根据对称性可知，当两个球外切且均与半球相切(与球面相切，且与半球的盖所在平面相切)时，r取得最大值，这也相当于求半径为10分米的四分之一个球的内切球，如图，由，得.
15．答案：(1)；
(2)
解析：(1)由，得.
因为，所以，
所以，
所以.
(2)由(1)知，，
所以.
因为，所以是首项与公差均为的等差数列，
所以.
16．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：(1)证明：因为平面，平面，平面平面，所以，
又平面，平面，所以平面.
(2)以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，.
依题意可设，则，，
所以，
当且时，取得最小值，此时.
易知平面的一个法向量为，
故当取得最小值时，直线与底面所成角的正弦值为.
17．答案：（1）0.32；
（2）分布列见解析，
解析：（1）由表可知该地居民中青少年寒假去山海关旅游的概率为，
该地居民中中年人寒假去山海关旅游的概率为，
该地居民中老年人寒假去山海关旅游的概率为
所以根据全概率公式可得，此人寒假去山海关旅游的概率为
.
(2)由表可知该地居民中青年人、中年人、老年人寒假去野三坡旅游的概率分别为0.2，0.4，0.6.X的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，则X的分布列为
故.
18．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：(1)因为，所以函数与的图象有公共点.又，且，所以恒成立，则函数与的图象没有公共点，故函数与互为绝缘函数.
(2)证明：令，
则.
当时，；
当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
则在处取得极大值，且极大值为，
在处取得极小值，且极小值为，
所以无实数解，即与的图象没有公共点，故与互为绝缘函数.
(3)由题意得函数没有零点，
当时，，则恒成立，
即恒成立.
记函数，，
易证，则.
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，则，即a的取值范围为.
19．答案：(1)；
(2)①所以点不在双曲线上，理由见解析；
②；
③为定值，且该定值为
解析：(1)设的一个焦点为，的渐近线方程为，即，点到渐近线的距离.右顶点到点的距离为，解得(舍去)或，所以的方程为.
(2)点不在双曲线上.理由如下：设，.
由得.
①，即，
所以点不在双曲线上.
②由韦达定理得，
则，则的中点M的坐标为.
依题意可得，则，整理得.
当时，，，
此时，满足，
所以当时，直线的一般式方程为
③因为，所以.
因为直线和也过点，
所以同理可得，，
即k，，都是关于x的三次方程的三个不同的实根.又方程可化为，对比常数项可得，即，所以为定值，且该定值为.
青少年
中年人
老年人
只去山海关旅游
0.2
0.2
0.1
只去野三坡旅游
0.1
0.3
0.3
既去山海关旅游，又去野三坡旅游
0.1
0.1
0.3
X
0
1
2
3
P
0.192
0.464
0.296
0.048