太原市第五中学校2024-2025学年高二上学期11月月考数学试卷(含答案)

这是一份太原市第五中学校2024-2025学年高二上学期11月月考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．已知圆与轴相切,则( )
A.2B.C.D.1
3．已知抛物线上一点到焦点的距离是6,则其准线方程为( )
A.B.C.D.
4．已知空间向量,,,,若,则实数( )
A.B.C.D.
5．在平面直角坐标系内,若直线绕原点O逆时针旋转后与圆有公共点,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．已知数列满足,若,则( )
A.2B.C.D.
7．已知,是椭圆C的两个焦点,点M在C上,且的最大值是它的最小值的2倍,则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
8．如图,已知正方体的棱长为2,E,F分别是棱,的中点,点P为底面内（包括边界）的一动点,若直线与平面无公共点,则点P的轨迹长度为( )
A.B.C.2D.
二、多项选择题
9．已知直线,圆为圆C上任意一点,则下列说法正确的是( )
A.的最大值为5B.的最大值为
C.圆心C到直线l的距离最大为4D.直线l与圆C相切时,
10．已知圆O的半径为定长r,A是圆O所在平面内一个定点,P是圆上任意一点,线段的垂直平分线l和直线相交于点Q.当点P在圆上运动时,下列判断正确的是( )
A.当点A在圆O内（不与圆心重合）时,点Q的轨迹是椭圆
B.点Q的轨迹可能是一个定点
C.点Q的轨迹不可能是圆
D.当点A在圆O外时,点Q的轨迹是双曲线
11．已知，分别是等轴双曲线的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，W的焦距为直径的圆与W交于A，B，C，D四点，则( )
A.W的渐近线方程为B.
C.D.四边形的面积为
三、填空题
12．在等差数列中,若,则的值为________.
13．如图,空间四边形中,,,,点M,N分别是、的中点,则________.(,,作为基底表示)
14．已知曲线与直线有3个公共点,点A,B是曲线C上关于y轴对称的两动点（点A在第一象限）,点M,N是x轴上关于原点对称的两定点（点M在x轴正半轴上）,若为定值,则该定值为________.
四、解答题
15．已知数列满足.
（1）求,和;
（2）证明:数列为单调递增数列.
16．如图,四边形ABCD是正方形,AE,DF,BG都垂直于平面ABCD,且,,,M,N分别是EG,BC的中点.
(1)证明：平面ABCD.
(2)若,求点N到平面AMF的距离.
17．已知平面内的动点M与两个定点,的距离的比为,记动点M的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程,并说明其形状;
（2）已知,过直线上的动点分别作曲线的两条切线,（Q,R为切点）,证明:直线过定点,并求该定点坐标;
18．在梯形中,,,,P为的中点,线段与交于O点（如图1）.将沿折起到位置,使得（如图2）.
（1）求证:平面平面;
（2）线段上是否存在点Q,使得与平面所成角的正弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
19．17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规,其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接,构成菱形.带槽杆长为4,点,间的距离2,转动杆一周的过程中始终有.点M在线段的延长线上,且.
（1）以线段中点O为坐标原点,建立如图2所示的平面直角坐标系,求出点E的轨迹的方程;
（2）过点的直线与交于A,B两点.记直线,的斜率分别为,,
（i）证明:为定值;
（ii）若直线的斜率为k,点N是轨迹上异于A,B的点,且平分,求的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：因为直线的斜率为,故该直线的倾斜角为.
故选:A.
2．答案：C
解析：由圆的方程整理可得圆,需满足,
则圆心,半径,
由圆与x轴相切,则,解得:.
故选:C
3．答案：A
解析：由题可得,解得:,所以抛物线的准线方程为
故选:A
4．答案：D
解析：因为,,
因为,
所以,解得:.
故选:D
5．答案：D
解析：直线的斜率为,过点,绕原点O逆时针旋转后,斜率为1,过点,得到直线,
若该直线与圆C存在公共点,
则圆心到直线的距离,
解得,
故选:D.
6．答案：C
解析：因为,,所以,,,所以数列的周期为3,所以.故选C.
7．答案：A
解析：因为,
所以,
所以当时,取得最大值,
因为,所以的最小值为,
因为的最大值是它的最小值的2倍,
所以,
所以,所以,
所以椭圆的离心率为.
故选:A
8．答案：B
解析：以点D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,设点,
则,,.
设平面的法向量为,由,
取,可得,,
所以为平面的一个法向量.
由题意可知,平面,则,
令,可得,令,可得,
所以点P的轨迹为线段,且交于点,交于点,
所以点P的轨迹长度为.
故选:B.
9．答案：BD
解析：A:圆C的方程可化为,则圆心为,半径.是圆上的点,
所以的最大值,故A错误;
B:如图所示,当直线的斜率大于零且与圆相切时,最大,
此时,,,且,故B正确;
C:圆心到直线l的距离,
当时,,
当时,,故C错误;
D:直线,即,过定点,
代入圆的方程得,则定点在圆外.
若直线l与圆C相切,则圆心到直线l的距离为2,
即,解得,故D正确.
故选:BD
10．答案：ABD
解析：对A,如图1,连接,
由已知得,所以.
又因为点A在圆内,所以,
根据椭圆的定义,点Q的轨迹是以O、A为焦点,r为长轴长的椭圆,A对;
对B,如图2,
当点A在圆上时,点Q与圆心重合,轨迹为定点,B对;
对D,如图3,连接,
由已知得,所以.
又因为点A在圆外,所以,
根据双曲线的定义,点Q的轨迹是以O、A为焦点,r为实轴长的双曲线,D对;
对C,当点A与点O重合时,如图4,
则线段的中垂线l与直线的交点即为线段的中点,
此时,,即点Q的轨迹是以点O为圆心,半径为的圆,C错.
故选:ABD.
11．答案：ABD
解析：由题意得，则W的渐近线方程为，A正确.
设A在第一象限，易得，
将两边平方，
得，
则，，B正确，C错误.
设，由，得，
则矩形的面积为，D正确.
故选：ABD.
12．答案：40
解析：由题设,
所以.
故答案为:40
13．答案：
解析：如图所示,连接,,
则,
所以.
故答案为:
14．答案：
解析：曲线表示抛物线与,
由得,
因为,所以,
可得抛物线与直线有两个交点,
曲线与直线有3公共点,
则直线与抛物线相切,
把代入得,
则,解得,
由对称性可知,设与y轴的交点为E,
则,
若为定值,则为定值,
则点M,N分别为抛物线与的焦点,
此时为抛物线上一点到y轴距离
与其焦点距离差的2倍,即.
故答案为:.
15．答案：（1）,,,
（2）证明见解析
解析：（1）因为①,
当时,.
当时,②,
由①-②得,所以,
当时,,所以也满足,
当时,,
故,,,.
（2）由（1）知,,易知,
则,
又对一切恒成立,所以,
得到对一切恒成立,
所以数列为单调递增数列.
16．答案：(1)证明见详解
(2)
解析：(1)因为,,都垂直于平面,则.
取的中点H,连接,,
则,且,
所以且,所以四边形为平行四边形,
可得,
且平面,平面,所以平面.
(2)连接.
以D为坐标原点,,,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
可得,,.
设平面的法向量为,则,
取,得,,可得.
故点N到平面的距离.
17．答案：（1）,曲线是以为圆心,半径为2的圆;
（2）证明见解析,
解析：（1）设,
由,得,
化简得,即
故曲线是以为圆心,半径为2的圆;
（2）由题意知,,与圆相切,Q,R为切点,
则,,则D,R,P,Q四点共圆
R,Q在以为直径的圆上,
,又,
则的中点为,,
以线段为直径的圆的方程为,
整理得,①,
又Q,R在上,②,
由两圆方程作差即②-①得:.
所以,切点弦所在直线的方程为.
则恒过坐标点.
18．答案：（1）证明见解析
（2）存在,
解析：（1）证明:在梯形中,,
,,P为的中点,
,,,
是正三角形,四边形为菱形,
,,
,,
又,,平面ABC,
平面ABC,
平面,
平面⊥平面ABC.
（2）存在,,理由如下:
平面,,
,,两两互相垂直,
如图,以点O为坐标原点,,,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
则,,,,
,,
设平面的一个法向量为,则
,即,令,则,,
,
设,
,,
,
设与平面所成角为,则,
即,,解得,
线段上存在点,且,使得与平面所成角的正弦值为.
19．答案：（1）
（2）（i）证明见解析;
（ii）
解析：（1）,,
点E的轨迹是以,为焦点的椭圆,
设椭圆的方程为,
,,,,
,
点E的轨迹的方程为;
（2）（i）证明:设直线与椭圆的交点坐标为,,
①当直线斜率存在时,如图,
设,
联立直线与椭圆的标准方程,
可得:,
显然:恒成立,则,,
,,,
,
,
,即为定值;
②当直线斜率不存在时,直线垂直于x轴,如图,
显然,可得:即0,
综上所述:为定值.
（ii）,
,由（i）可知:,
设,即,
,可得,
又,,,则,
又直线的斜率存在,,
,
综上:.