长春市第二实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份长春市第二实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．命题“,”的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
2．已知集合,则M的子集的个数是( )
A.15B.8C.7D.16
3．若函数的定义域为,则函数的定义域为( )
A.B.C.D.
4．设,,则( )
A.B.C.D.
5．函数的图象大致为( )
A.B.
C.D.
6．声强级（单位：dB）由公式给出,其中为声强（单位：）.某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪,开展了“不敢高声语,恐惊读书人”主题活动,要求课下同学之间交流时,每人的声强级不超过40dB.现已知3位同学课间交流时,每人的声强分别为,,,则这3人中达到班级要求的人数为( )
A.0B.1C.2D.3
7．已知是上的增函数,那么a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．“高斯函数”为,其中表示不超过x的最大整数,例如：,.已知函数,,则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知命题,那么命题p成立的一个充分不必要条件是( )
A.B.C.D.
10．下列说法正确的有( )
A.若,则的最小值是3
B.若,,则
C.若,,则
D.若,,,则的最小值是4
11．已知函数（且）在定义域内存在最大值,且最大值为2,,若对任意,存在,使得,则实数m的取值可以是( )
A.B.0C.D.3
三、填空题
12．函数的图象恒过定点P,则点P坐标为___________.
13．若幂函数的图象过点,则它在上的最小值为_______________.
14．若集合中恰有k个元素,则称函数是“k阶准偶函数”.已知函数是“2阶准偶函数”,则a的取值范围是______________.
四、解答题
15．(1)若,求的值;
(2)求值：.
16．已知集合,.
(1)若,求;
(2)若“”是“”的必要条件,求实数m的取值范围.
17．已知是偶函数,
(1)求a的值;
(2)若不等式在上恒成立,求实数m的取值范围.
18．2024年8月16日,商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知,对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定,报废旧车并购买新车的个人消费者,补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元,分别提高至2万元和1.5万元,某新能源汽车配件公司为扩大生产,计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为2000万元,每生产百件,需另投入成本万元,且时,;当时,,由市场调研知,该产品每件的售价为5万元,且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)分别写出与时,年利润y（万元）与年产量x（百件）的关系式（利润=销售收入-成本）;
(2)当该产品的年产量为多少百件时,公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
19．已知函数满足如下条件：①对任意,;②;③对任意,,总有.
(1)写出一个符合上述条件的函数（写出即可,无需证明）;
(2)证明：满足题干条件的函数在上单调递增;
(3)①证明：对任意的,,其中;
②证明：对任意的,都有.
参考答案
1．答案：C
解析：全称量词命题的否定是存在量词命题,故命题“,”的否定是“,”.
故选：C.
2．答案：D
解析：因为,所以由,
所以M的子集的个数是,
故选：D.
3．答案：A
解析：令,则,
则,解得,即定义域为.
故选：A.
4．答案：B
解析：,,
,.
故选：B.
5．答案：A
解析：因为的定义域为R,关于原点对称.,
所以函数是奇函数,即的图象关于原点对称,故B错误;
当时,因为,,
所以,故C错误;
因为,,
所以在上并不单调递增,故D错误.
故选：A.
6．答案：C
解析：依题意,,
,
故声强为,的两人达到要求,
故选：C.
7．答案：D
解析：要使函数是R上的增函数,
需,解得,
故选：D.
8．答案：D
解析：当时,,,此时,
当时,,,此时,
若,
当时,,得,故,
当时,,得,故,
所以得解集为,
故选：D.
9．答案：BD
解析：,解得,设
则命题p成立的充分不必要条件是集合A的真子集,则BD选项符合题意.
故选：BD.
10．答案：BCD
解析：对于A,由题设,
则,
当且仅当,即时等号成立,A错误;
对于B,因为,,所以,则,,
所以,B正确;
对于C,,, ,,
,,,故C正确;
对于D,由题设,而,
又,当且仅当时等号成立,
所以,D正确.
故选：BCD.
11．答案：ABC
解析：定义域为.
由题意知时,,即，.
此时,
时,
，时,,由得.
对照四个选项,可以选:ABC.
故答案为：ABC.
12．答案：
解析：令,则,故,因此,
故答案为：.
13．答案：
解析：设幂函数.
因为幂函数的图像过点,所以,解得：.
所以.
所以在上单调递减,
所以在上的最小值为.
故答案为：.
14．答案：
解析：根据题意,函数是“2阶准偶函数”,
则集合中恰有2个元素,
当时,函数一段部分为,，
注意到函数本身具有偶函数性质,
故集合中不止有两个元素;
当时,根据“2阶准偶函数”的定义得的可能取值为或,
为,,故,方程无解,
当 ,解得或,
故要使得集合中恰有2个元素,
则需要满足,即,
当时,函数的取值为,为,
根据题意得：,
解得或,满足恰有两个元素,故满足条件.
综上,实数a的取值范围是.
故答案为：.
15．答案：(1)5;
(2)
解析：(1)因为,所以,,,
则;
(2)
.
16．答案：(1)
(2)或
解析：(1)当时,,
或,
则.
(2)因为“”是“”的必要条件,则,
当时,则,即;
当时,,解得,
综上所述,m的取值范围为或.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)的定义域是R,因为是偶函数,所以恒成立,
所以,
即,
所以恒成立,
所以;
(2),,
因为是增函数,是减函数,所以是增函数,
所以不等式等价于,
所以在上恒成立,
设,,
因为是增函数,是增函数,
所以是增函数,
所以当时,,
所以.
18．答案：(1)答案见解析;
(2)年产量为50百件时,该企业所获年利润最大,最大年利润是2830万元
解析：(1)由题意可得当时,,
当时,,
(2)由(1)得时,,
此时（百件）时,（万元）,
当时,,
当且仅当,即时等号成立,（万元）,
而,故（百件）时,利润最大,
综上所述,年产量为50百件时,该企业所获年利润最大,最大年利润是2830万元.
19．答案：(1)（答案不唯一）
(2)证明见解析
(3)①证明见解析;②证明见解析
解析：(1),,等,即形如均可;
(2)任取,.
因为,故且.
故.
故在上单调递增.
(3) ①由题意可知：对任意正数s,都有,且,
在③中令,可得,即;
故对任意正整数k与正数s,都有;
②由①可知：对任意正整数k与正数s,都有,
故对任意正整数k与正数s,都有,
令,则;
对任意,可得,并且 ,
又因为,所以由(2)中已经证明的单调性可知：
,,
所以.