2022-2023学年河南省洛阳市栾川县八年级上学期期末数学试题及答案

这是一份2022-2023学年河南省洛阳市栾川县八年级上学期期末数学试题及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣27的立方根是（ ）
A．﹣3B．3C．±3D．±9
2．（3分）下列式子变形是因式分解的是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3B．x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4
C．（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3D．x2﹣2x﹣3＝（x+1）（x﹣3）
3．（3分）若m+n＝3，则2m2+4mn+2n2﹣6的值为（ ）
A．12B．6C．3D．0
4．（3分）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形．（a＞0）剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙）则矩形的面积为（ ）
A．（2a2+5a）cm2B．（3a+15）cm2
C．（6a+9）cm2D．（6a+15）cm2
5．（3分）若a2+（m﹣3）a+4是一个完全平方式，则m的值应是（ ）
A．1或5B．1C．7或﹣1D．﹣1
6．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为4cm、8cm，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12cmB．16cm
C．16cm或20cmD．20cm
7．（3分）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）若要清楚地反映住院部某病人的体温变化情况，则应选用的统计图是（ ）
A．条形统计图B．折线统计图
C．扇形统计图D．以上都可以
9．（3分）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．（3分）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A．4B．5C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知一个等腰三角形的一个内角为40°，则它的顶角等于 ．
12．（3分）一个样本的50个数据分别落在5个小组内，第1、2、3、4组的数据的个数分别为4、9、12、11，则第5组的频率为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AC＝4，线段AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，若△BCN的周长为7，则BC＝ ．
14．（3分）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为17，AH＝4，则正方形EFGH的面积为 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
三、解答题（8道大题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值？并求出这个最小值．
17．（8分）已知a、b、c分别是△ABC的三边．
（1）分别将多项式ac﹣bc，﹣a2+2ab﹣b2进行因式分解；
（2）若ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2，试判断△ABC的形状，并说明理由．
18．（9分）某市准备面向全市中学生举办“建设绿色生态家园”主题知识竞赛，某校为筛选参赛选手，举办了“建设绿色生态家园”主题知识答题活动，随机抽取了部分学生的成绩进行统计，并将成绩分为A，B，C，D四个等级，制作了下列两个不完整的统计图．
根据以上信息，完成下列问题：
（1）这次调查一共抽取了多少名学生？
（2）计算成绩为B等级的学生数，并把条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中m的值．
（4）扇形统计图中，C对应的圆心角度数是多少？
19．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．
①分别以点A、B为圆心，以大于AB的长度为半径作弧，分别交于两点，连接这两点的直线与BC交于点D，与AB交于点F，连结AD；
②以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别与AD、AC交于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点间距离的一半的长度为半径作弧，两弧交于一点，连结点A与这一点交BC于点E．
（1）通过以上作图，可以发现直线DF是 ，射线AE是 ；（在横线上填上合适的选项）
A．线段AB的垂直平分线 B．∠ADB的角平分线
C．△ACD的中线 D．∠DAC的角平分线
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
20．（9分）如图，AB∥CE，∠1＝∠2，AD＝CE，求证：BD＝AE．
21．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为△ABC内一点，且DC＝2．
（Ⅰ）将△ACD绕点C顺时针旋转90°，画出旋转后的△BCE；
（Ⅱ）在（I）图中连接DE，求∠DEC的度数及DE的长．
22．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝4，BD＝2，CD＝8．
（1）求证：∠BAC＝90°；
（2）P为BC边上一点，连接AP，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请求出BP的长．
23．（11分）已知△ABC中，AC＝BC，点D是边AB上一点，点P为BC边上一点．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，连接CD，以CD为一边作等腰直角△DCE，∠DCE＝90°，连接BE，求证：BE＝AD．
（2）如图2，若∠ACB＝90°，以PD为一边作等腰直角△PDE，∠DPE＝90°，连接BE，求∠EBD的度数．
（3）如图3，若把（1）中的条件改为：∠ACB＝60°，以PD为一边作等边△PDE，连接BE．求∠EBD的度数．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣27的立方根是（ ）
A．﹣3B．3C．±3D．±9
【分析】利用立方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：﹣27的立方根是﹣3，
故选：A．
【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
2．（3分）下列式子变形是因式分解的是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3B．x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4
C．（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3D．x2﹣2x﹣3＝（x+1）（x﹣3）
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B错误；
C、是整式的乘法，故C次错误；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
3．（3分）若m+n＝3，则2m2+4mn+2n2﹣6的值为（ ）
A．12B．6C．3D．0
【分析】根据完全平方公式的逆用，先整理出完全平方公式的形式，再代入数据计算即可．
【解答】解：原式＝2（m2+2mn+n2）﹣6，
＝2（m+n）2﹣6，
＝2×9﹣6，
＝12．
故选：A．
【点评】本题利用了完全平方公式求解：（a±b）2＝a2±2ab+b2，要注意把m+n看成一个整体．
4．（3分）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形．（a＞0）剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙）则矩形的面积为（ ）
A．（2a2+5a）cm2B．（3a+15）cm2
C．（6a+9）cm2D．（6a+15）cm2
【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，解题时注意平方差公式的运用．
【解答】解：长方形的面积为：
（a+4）2﹣（a+1）2
＝（a+4+a+1）（a+4﹣a﹣1）
＝3（2a+5）
＝6a+15（cm2）．
答：矩形的面积是（6a+15）cm2．
故选：D．
【点评】此题考查了平方差公式的几何背景，图形的剪拼，关键是根据题意列出式子，运用平方差公式进行计算，要熟记公式．
5．（3分）若a2+（m﹣3）a+4是一个完全平方式，则m的值应是（ ）
A．1或5B．1C．7或﹣1D．﹣1
【分析】根据完全平方式的结构a2±2ab+b2，即可列方程求解．
【解答】解：根据题意得：（m﹣3）a＝±2•a•2，
则m﹣3＝±4，
解得：m＝7或﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式．熟练掌握完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2是解题的关键．
6．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为4cm、8cm，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12cmB．16cm
C．16cm或20cmD．20cm
【分析】题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．
【解答】解：当腰长为4cm时，4+4＝8cm，不符合三角形三边关系，故舍去；
当腰长为8cm时，符合三边关系，其周长为8+8+4＝20cm．
故该三角形的周长为20cm．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
7．（3分）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用线段垂直平分线的性质以及圆的性质分别分得出即可．
【解答】解：A、如图所示：此时BA＝BP，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此选项错误；
B、如图所示：此时PA＝PC，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此选项错误；
C、如图所示：此时CA＝CP，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此选项错误；
D、如图所示：此时BP＝AP，故能得出PA+PC＝BC，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了复杂作图，根据线段垂直平分线的性质得出是解题关键．
8．（3分）若要清楚地反映住院部某病人的体温变化情况，则应选用的统计图是（ ）
A．条形统计图B．折线统计图
C．扇形统计图D．以上都可以
【分析】根据条形统计图、扇形统计图以及折线统计图的特征进行选择即可．
【解答】解：若要清楚地反映住院部某病人的体温变化情况，应选择的统计图是折线统计图．
故选：B．
【点评】本题考查了统计量的选择，掌握条形统计图、扇形统计图以及折线统计图的特征是解题的关键．
9．（3分）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据垂线段最短可知当PM⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．
【解答】解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，
当PM⊥OC时，
又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD＝3，
∴PM＝PD＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
10．（3分）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A．4B．5C．D．
【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，根据中点的定义可得BD＝3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
【解答】解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD＝3，
在Rt△NBD中，x2+32＝（9﹣x）2，
解得x＝4．
即BN＝4．
故选：A．
【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知一个等腰三角形的一个内角为40°，则它的顶角等于 40°或100° ．
【分析】分两种情况：当40°的内角为顶角时；当40°的角为底角时，利用三角形的内角和结合等腰三角形的性质可计算求解．
【解答】解：当40° 的内角为顶角时，这个等腰三角形的顶角为40°；
当40°的角为底角时，则该等腰三角形的另一底角为40°，
∴顶角为：180°﹣40°﹣40°＝100°，
故答案为40°或100°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，注意分类讨论．
12．（3分）一个样本的50个数据分别落在5个小组内，第1、2、3、4组的数据的个数分别为4、9、12、11，则第5组的频率为 0.28 ．
【分析】根据已知先求出第五组的频数，然后利用频率＝频数÷总次数，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
50﹣（4+9+12+11）
＝50﹣36
＝14，
∴14÷50＝0.28，
∴第5组的频率为0.28，
故答案为：0.28．
【点评】本题考查了频数与频率，熟练掌握频率＝频数÷总次数是解题的关键．
13．（3分）如图，在△ABC中，AC＝4，线段AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，若△BCN的周长为7，则BC＝ 3 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到NA＝NB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴NA＝NB，
∵△BCN的周长为7，
∴BC+CN+BN＝7，
∴BC+CN+AN＝BC+AC＝7，
∴BC＝7﹣AC＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．（3分）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为17，AH＝4，则正方形EFGH的面积为 9 ．
【分析】用整体的面积减空白的面积即可解决本题．
【解答】解：由题意知：
可知正方形ABCD的边长为，
在Rt△ADH中，根据勾股定理可得：，
∴，
∵△ADH≌△BAE≌△CBF≌△DCG，
∴正方形EFGH的面积为：正方形ABCD的面积﹣四个全等三角形的面积，
即：正方形EFGH的面积＝17﹣4×2＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了特殊图形中求阴影部分面积的知识，勾股定理，全等三角形的性质，把握整体减空白的思想是解决本题的关键．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
【分析】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC＝AB•CM＝AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，
∵S△ABC＝AB•CM＝AC•BC，
∴CM＝，
即PC+PQ的最小值为．
故答案为．
【点评】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．
三、解答题（8道大题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值？并求出这个最小值．
【分析】（1）根据整式的乘法法则进行运算即可；
（2）多项式配方变形后，利用非负数的性质求出最小值，以及此时a与b的值即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣9a2+b4﹣＝﹣9a2+b4．
（2）原式＝（a2﹣4a+4）+（b2+6b+9）+5
＝（a﹣2）2+（b+3）2+5．
∵（a﹣2）2≥0，（b+3）2≥0，
∴当 a﹣2＝0 且 b+3＝0，即 a＝2，b＝﹣3 时，原式有最小值，最小值为5．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
17．（8分）已知a、b、c分别是△ABC的三边．
（1）分别将多项式ac﹣bc，﹣a2+2ab﹣b2进行因式分解；
（2）若ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】（1）ac﹣bc提出公因式c得c（a﹣b）；﹣a2+2ab﹣b2提出负号得﹣（a2﹣2ab+b2）再利用完全公式法得﹣（a﹣b）2；
（2）利用上面因式分解的结果，写出等式c（a﹣b）＝﹣（a﹣b）2，移项后得到 c（a﹣b）+（a﹣b）2＝0，再利用提公因式法得到（a﹣b）（c+a﹣b）＝0，得到a﹣b＝0，c+a﹣b≠0，得出△ABC的形状是等腰三角形．
【解答】解：
（1）ac﹣bc＝c（a﹣b）
﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a2﹣2ab+b2）＝﹣（a﹣b）2
（2）∵ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2
∴c（a﹣b）＝﹣（a﹣b）2
c（a﹣b）+（a﹣b）2＝0
（a﹣b）（c+a﹣b）＝0
∵a、b、c分别是△ABC的三边，满足两边之和大于第三边，即c+a﹣b＞0
∴a﹣b＝0
即a＝b
故△ABC的形状是等腰三角形．
【点评】本题考查因式分解以及应用．熟练掌握因式分解的几种常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等）是解决这种题型的关键．
18．（9分）某市准备面向全市中学生举办“建设绿色生态家园”主题知识竞赛，某校为筛选参赛选手，举办了“建设绿色生态家园”主题知识答题活动，随机抽取了部分学生的成绩进行统计，并将成绩分为A，B，C，D四个等级，制作了下列两个不完整的统计图．
根据以上信息，完成下列问题：
（1）这次调查一共抽取了多少名学生？
（2）计算成绩为B等级的学生数，并把条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中m的值．
（4）扇形统计图中，C对应的圆心角度数是多少？
【分析】（1）利用成绩为D等级人数除以所占百分数求出抽取的学生总数；
（2）抽取的学生总数乘以成绩为B等级人数所占的百分数即可求出成绩为B等级的学生数；
（3）用成绩为A等级的人数除以抽取的学生总数，再乘以100即可求出m的值；
（4）用成绩为C等级的人数除以抽取的学生总数，再乘以360°即为C部分的圆心角的度数．
【解答】解：（1）∵成绩为D等级的人数为12，所占百分比为30%，
∴抽取的学生总数为：12÷30%＝40（名），
即这次调查一共抽取了40名学生；
（2）∵抽取的学生总数为40人，
∴成绩为B等级的学生数为：40×20%＝8（人），
补全后的条形图如下所示：
（3）由题意知，成绩为A等级的人数为4，抽取的学生总数为40，
∴m＝4÷40×100＝10．
（4）由题意知，成绩为C等级的人数为16，抽取的学生总数为40，
∴C部分的圆心角的度数＝16÷40×360°＝144°．
【点评】本题考查条形统计图与扇形统计图，解题的关键是熟练掌握条形统计图与扇形统计图中的信息的互补性，将条形统计图与扇形统计图中表示的信息进行关联．
19．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．
①分别以点A、B为圆心，以大于AB的长度为半径作弧，分别交于两点，连接这两点的直线与BC交于点D，与AB交于点F，连结AD；
②以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别与AD、AC交于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点间距离的一半的长度为半径作弧，两弧交于一点，连结点A与这一点交BC于点E．
（1）通过以上作图，可以发现直线DF是 A ，射线AE是 D ；（在横线上填上合适的选项）
A．线段AB的垂直平分线 B．∠ADB的角平分线
C．△ACD的中线 D．∠DAC的角平分线
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
【分析】（1）直接根据题意及尺规作图可进行求解；
（2）由线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，则有∠BAD＝∠B＝40°，然后可得∠ADC＝80°，进而根据三角形内角和及角平分线的定义可求解．
【解答】解：（1）通过以上作图，可以发现直线DF是线段AB的垂直平分线，射线AE是∠DAC的角平分线；
故选A，D；
（2）解：∵DF是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝∠B＝40°，
∴∠ADC＝2∠B＝80°，
∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝50°，
∵AE是∠DAC的角平分线，
∴．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线与角平分线的尺规作图，等边对等角，熟练掌握线段垂直平分线的性质与角平分线的尺规作图是解题的关键．
20．（9分）如图，AB∥CE，∠1＝∠2，AD＝CE，求证：BD＝AE．
【分析】要证明两条线段相等，可证明这两条线段所在的两个三角形全等；分析已知给出的三个条件，不能直接证明两个三角形全等，可结合图形将条件转化，根据∠1＝∠2可得 AB＝AC，根据AB∥CE可得∠BAD＝∠ACE；接下来利用SAS即可证明△ABD与△CAE全等，继而根据全等三角形的性质即可得到对应边相等．
【解答】证明：∵AB∥CE，
∴∠BAD＝∠ACE．
∵∠1＝∠2，
∴AB＝AC．
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴BD＝AE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定定理并正确推理论证是解题的关键．
21．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为△ABC内一点，且DC＝2．
（Ⅰ）将△ACD绕点C顺时针旋转90°，画出旋转后的△BCE；
（Ⅱ）在（I）图中连接DE，求∠DEC的度数及DE的长．
【分析】（Ⅰ）根据要求作出图形即可；
（Ⅱ）利用等腰三角形的判定和性质解决问题．
【解答】解：（Ⅰ）图形如图所示：
（Ⅱ）∵CD＝CE，∠DCE＝90°，
∴∠DEC＝∠CDE＝45°，
∵CD＝CE＝2，
∴DE＝＝2．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
22．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝4，BD＝2，CD＝8．
（1）求证：∠BAC＝90°；
（2）P为BC边上一点，连接AP，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请求出BP的长．
【分析】（1）在Rt△ABD中利用勾股定理可求AB2，同理在Rt△ACD中利用勾股定理可求AC2，而BC＝CD+BD＝10，易求AC2+AB2＝100＝BC2，从而可知△ABC是直角三角形．
（2）分两种情况：①当BP＝AB时；②当AP＝AB时；分别求出BP的长即可．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，AD＝4，BD＝2，
∴AB2＝AD2+BD2＝20，
又∵AD⊥BC，CD＝8，AD＝4，
∴AC2＝CD2+AD2＝80，
∵BC＝CD+BD＝10，
∴BC2＝100，
∴AC2+AB2＝100＝BC2，
∴∠BAC＝90°，△ABC是直角三角形．
（2）解：分两种情况：
①当BP＝AB时，
∵AD⊥BC，
∴AB＝＝2，
∴BP＝AB＝2；
②当AP＝AB时，BP＝2BD＝4．
综上所述：BP的长为2或4．
【点评】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用以及等腰三角形的性质．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
23．（11分）已知△ABC中，AC＝BC，点D是边AB上一点，点P为BC边上一点．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，连接CD，以CD为一边作等腰直角△DCE，∠DCE＝90°，连接BE，求证：BE＝AD．
（2）如图2，若∠ACB＝90°，以PD为一边作等腰直角△PDE，∠DPE＝90°，连接BE，求∠EBD的度数．
（3）如图3，若把（1）中的条件改为：∠ACB＝60°，以PD为一边作等边△PDE，连接BE．求∠EBD的度数．
【分析】（1）先判断出∠ACD＝∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；
（2）过点P作PF∥AC交AB于F，同（1）的方法判断出△DPF≌△EPB，对称∠EBP＝∠DFP＝45°，即可得出结论；
（3）过点P作PG∥AC交AB于G，同（1）的方法判断出△DPG≌△EPB，对称∠EBP＝∠DFP＝60°，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD；
（2）如图2，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
过点P作PF∥AC交AB于F，
∴∠BFP＝∠A＝45°，∠BPF＝∠ACB＝90°，
∴∠PBF＝45°，
∴PF＝PB，
∵∠DPE＝90°＝∠BPF，
∴∠BPF﹣∠BPD＝∠DPE﹣∠BPD，
∴∠DPF＝∠EPB，
∵DP＝EP，
∴△DPF≌△EPB（SAS），
∴∠EBP＝∠DFP＝45°，
∴∠EBD＝∠EBP+∠ABC＝90°；
（3）如图3，
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝BC，
∴∠ABC＝∠A＝60°，
过点P作PG∥AC交AB于G，
∴∠BGP＝∠A＝60°，∠BPG＝∠ACB＝60°，
∴∠PBG＝60°，
∴PG＝PB，
∵∠DPE＝90°＝∠BPG，
∴∠BPG﹣∠BPD＝∠DPE﹣∠BPD，
∴∠DPG＝∠EPB，
∵DP＝EP，
∴△DPG≌△EPB（SAS），
∴∠EBP＝∠DGP＝60°，
∴∠EBD＝∠EBP+∠ABC＝120°．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
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