精品解析：福建省部分优质高中2025届高三上学期11月联考数学试题

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（完卷时间：120分钟；试题满分：150分）
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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法法则计算可得复数，进而可判断在复平面的对应点所在的象限.
【详解】因为，
所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限.
故选：A.
2. 已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用投影向量公式进行求解.
【详解】在上的投影向量为.
故选：A
3. 已知向量，的夹角为，，，则（ ）
A. 2B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的模的计算公式计算可得结论.
【详解】.
故选：C.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对齐次式分子分母同除得到关于的等式，解得的值，用正切的和差角公式即可得出结果.
详解】∵，
∴，
∴，
∴.
故选：D.
5. 某三棱锥的体积为，表面积为，则该三棱锥的内切球的直径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用棱锥内切球半径与棱锥的面积、体积的关系列式即可得解.
【详解】设该三棱锥的体积为，表面积为，该三棱锥的内切球的半径为，
则，所以，
故该三棱锥的内切球的直径为.
故选：B.
6. 设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，.则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D. 的最大项为
【答案】C
【解析】
【分析】结合等比数列的通项和题中不等式，分析可得进而得到A正确；由，，得到，可得B正确，C错误；由等比数列结合B的分析可得D正确；
【详解】对于A，若，因为，则，，不满足，
若，因为，则，，不满足，
显然，
所以，故A正确；
对于B、C，因为，，且，所以，故B正确，C错误；
对于D，由等比数列可得当时，，当时，，所以的最大项为，故D正确；
故选：C.
7. 已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用直线过定点及两直线位置关系先确定的轨迹，令，可求出点坐标，根据两点之间线段最短可求解.
【详解】直线过定点，
直线过定点，
且直线与直线垂直，所以点的轨迹是以为直径的圆，
故圆心是，半径为则点的方程是
令，因为，
所以，
则
所以，可得点
则.

8. 已知双曲线的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，则，分别用表示，，在根据勾股定理可求得与关系，可求出值，在中根据余弦定理可求解.
【详解】设，，则，
根据双曲线性质可知，所以 ，
，又因
所以为直角三角形，可得，
所以可得，
解之可得或（舍），
可求出，
在中根据余弦定理
，
解之可得，所以.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1
B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
C. 已知数据，，，的极差为6，方差为2，则数据，，，的极差和方差分别为12，8
D. 数据，，，的平均数为90，方差为3；数据，，，的平均数为85，方差为5，则，，，，，，，的平均数为87，方差为10.2
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用简单随机抽样的概率可判断A，根据百分位数的定义可判断B，利用数据的极差和方差的性质可判断C，利用分层抽样的平均数与方差公式可判断D.
【详解】选项A：依题意，得个体m被抽到的概率为，故A正确；
选项B：这组数据从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，
因为，第七个数为23，第八个数为24，
则第70百分位数为，故B错误；
选项C：因为已知数据，，，的极差为6，方差为2，
则数据，，，的极差为，方差为，故C正确；
选项D：因为数据，，，的平均数为90，方差为3；
数据，，，的平均数为85，方差为5，
所以，，，，，，，的平均数为，
方差为，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 点是图象的一个对称中心
B. 的单调递增区间为，
C. 在上的值域为
D. 将的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则
【答案】AC
【解析】
【分析】已知函数fx=Asinωx+φ的解析式，根据函数图像及其形式即可得到ABC选项的判断，D选项由函数的变换诱导公式即可判断.
【详解】因为，所以点是图象一个对称中心，A正确；
令（），则（），
故的单调递增区间为（），B错误；
因为，所以，故在上的值域为，C正确；
将的图象先向右平移个单位长度，可得函数的图象，
再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得的图象，D错误.
故选：AC
11. 如图，棱长为的正方体的内切球为球，，分别是棱，的中点，在棱上移动，则下列选项正确的是（ ）
A. 该内切球的球面面积为
B. 存在点，使得平面
C. 平面被球截得的截面圆的面积为
D. 当为的中点时，过，，的平面截该正方体所得截面的面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据内切球半径计算表面积判断A；以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设点，其中，
利用空间向量法可判断B，应用空间向量法计算点到平面距离计算求出截面面积判断C，确定当为的中点时，
过的平面截该正方体所得截面为边长为的正六边形，利用面积公式求面积判断D.
【详解】对于A，根据已知条件球为以为圆心，半径，内切球的球面面积为 ，A正确；
对于B： 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，

则由题意可得，，，，
设点，其中，
对于，，，
设平面法向量为，
，，
则，
令，则y=-1，，
为平面的一个法向量，
若存在点，使平面，
只需，因不成立，所以B错误；
对于C： 设平面法向量为m=x1,y1,z1，，
，，
则，
令，则，，
为平面的法向量，
又因为，
则到平面的距离为，则，
设平面被球截得的截面圆的半径为，
，
所以平面被球截得的截面圆的面积为，C选项正确；
对于D，当为中点时，过的平面截该正方体所得截面为正六边形，，
在中，，所以边长，
所以截面面积，D正确；
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查几何体与球的组合问题，垂直关系的转化，平面截球的问题，平面截正方体问题，关键是：（1）利用球的弦长公式计算弦长；（2）确定平面截正方体所得截面的形状.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】解不等式确定集合，再由交集的定义计算.
【详解】由已知，
所以，
故答案为：
13. 酒驾新规来了，2024年3月1日起实施，新国标将酒驾的上限从降低到了，也就是说，只要驾驶员血液中酒精含量超过了，就属于违法行为.某人饮酒后，体内血液酒精含量迅速上升到，然后血液酒精含量会以每小时的速度减少，则按照新规他至少经过__________小时后才能开车.（参考数据：）
【答案】7
【解析】
【分析】设他至少经过x小时后才能开车，由题意列出不等式，结合对数运算，即可求得答案.
【详解】设他至少经过x小时后才能开车，
则，即，
故（小时），
即他至少经过7小时后才能开车，
故答案为：7
14. 已知数列满足：，定义：表示整数除以4的余数与整数除以4的余数相同，例：.设，其中，数列的前项和为，则满足的最小值为______.
【答案】40
【解析】
【分析】由，可利用迭代法分析前面有限项，可得当为的倍数时，也是的倍数，当不为的倍数时，也不是的倍数，则得当是4的倍数时，，当不是4的倍数时，，即可得，则取，计算出后，再计算及即可得解.
【详解】由，即，
因为，所以，，
则都不是的倍数，是的倍数，
所以不是的倍数，，不是的倍数，
不是的倍数，
是的倍数，
依次可得当为的倍数时，也是的倍数，
当不为的倍数时，也不是的倍数，
由，
则有当是4的倍数时，，当不是4的倍数时，，则；
当，
，
当，即时，有，
，
故满足的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知．
（1）求；
（2）若的面积为，求的周长．
【答案】（1）
（2）10
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式即可求解；
（2）利用三角形的面积公式可求得，利用余弦定理可得出的值，即可得解.
【小问1详解】
因为，
所以
即．
因为，所以，
所以，因为，所以．
【小问2详解】
由（1）可知，则．
因为的面积为，所以，解得
由余弦定理得，
则．
故的周长为．
16. 如图，在四面体中，，，，，M是的中点，是的中点，点在线段上，且.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证平面，即可建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可证明；
（2）由二面角的向量求法，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
因为，且，
由余弦定理可得，
即，即，
所以，即，又，
且，平面，所以平面，
又，则，即，
以为原点，分别以为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
又M是的中点，则，是的中点，则，
且，则，则，
所以，因为平面，取为平面的一个法向量，
且，因为，所以，
则平面.
【小问2详解】
由（1）可知，
设平面的法向量为m=x,y,z，
则，解得，取，则，
则平面的一个法向量为，
设平面的法向量为n=a,b,c，
则，解得，取，则，
则平面的一个法向量为，
设二面角为，显然为锐角，
则.
所以二面角的余弦值为.
17. 已知函数
（1）求的图象在点处的切线方程；
（2）讨论的单调区间.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由导数的几何意义求解切线方程即可；
（2）先将整理为，只需考虑的符号即可，根据二次函数的图象性质对参数分类讨论可得结果.
【小问1详解】
.
故的图象在点处的切线方程为.
【小问2详解】
.
①当时，令，解得，有
故单调递增区间，单调递减区间为.
②当时，令，解得或.
当时，
故单调递增区间，单调递减区间为，
当时，的单调递减区间为，无单调递增区间.
当时，
单调递增区间为，单调递减区间为.
综上，
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，单调递增区间为，单调递减区间为.
18. 已知椭圆 的中心在原点 ，焦点在 轴上，离心率为 ，以 的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为 ，直线 与椭圆 交于 两点（ 不与椭圆的顶点重合）.
（1）求 的标准方程；
（2）若以 AB 为直径的圆经过原点，求证： 直线 与圆 相切；
（3）若动直线 过点 ，点 关于 轴的对称点为 ，直线 AD 与 轴的交点为 ，求 面积的最大值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据面积和离心率得和，即可求解，
（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，根据 ，得，代入化简可得 ，根据点到直线距离公式即可求证，
（3）联立直线与椭圆方程得到韦达定理，根据三点共线可得 ，即 ，化简可得 为定点，即可利用三角形面积关系得表达式，结合基本不等式求解最值.
【小问1详解】
设椭圆 的长半轴长为 ，短半轴长为 ，半焦距为 .
由已知， ，即 ，又 ，
由 可得: ，
因为 的焦点在 轴上，所以 的标准方程是
【小问2详解】
当直线有斜率时，设直线 的方程为 ，
以 AB 为直径的圆经过原点，即 ，
设 Ax1,y1,Bx2,y2 ，所以 ，
联立方程 ，得 ，即 ，
，
化简得 ，
设 到直线 距离为 ，则 ，
所以直线 与圆 相切.
当直线无斜率时，设直线方程为，与椭圆方程联立可得，，
由于AB 为直径的圆经过原点，故，
故圆 的圆心到直线的距离，故直线与圆相切.
综上，直线 与圆 相切.
【小问3详解】
设直线 的方程为 ，代入椭圆方程，得 ，
即 . 设点 Ax1,y1,Bx2,y2 ，
则 .
因为点 关于 轴对称，则 . 设点 ，
因为 三点共线，则 ，即 ，
即 ，即 ，得
所以点 为定点， ，
.
令 ，则 .
当且仅当 时取等号，所以 的面积的最大值为 .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
19. 生命的诞生与流逝是一个永恒的话题，就某种细胞而言，由该种细胞的一个个体进行分裂，分裂后成为新细胞而原细胞不复存在，多次分裂后，由该个细胞繁殖而来的全部细胞均死亡，我们称该细胞“灭绝”.现已知某种细胞有的概率分裂为个细胞（即死亡），...，有的概率分裂为个细胞.记事件：细胞最终灭绝，：细胞第一次分裂为个细胞.记该细胞第一次分裂后有个个体（分裂后的细胞互不影响），在概率论中，我们用的数学期望作为衡量生物灭绝可能性的依据，如果，则在理论上细胞就不会灭绝；相反，如果，则理论上我们认为细胞在足够多代的繁殖后会灭绝，而这两种情况在生物界中都是普遍存在的.
（1）直接写出的数学期望.
（2）用只含和的概率式表示并证明该细胞灭绝的概率为关于方程：的最小正实根.
（3）若某种细胞发生基因突变，当时.
（ⅰ）若当其分裂为两个细胞后，有一个细胞具有与原细胞相同的活力，而另一细胞则在此后丧失分裂为两个的能力（即只有可能分裂成个或个），求证：该细胞的灭绝是必然事件.
（ⅱ）受某种辐射污染，若当其分裂为两个细胞后分裂生成的两个细胞此后均丧失分裂为个的能力，并等可能分裂为个或个细胞.我们称为“泛滥型细胞”，已知：，求出一个该种泛滥型细胞经过次分裂，得到个细胞的概率.
【答案】（1）
（2），，证明见解析
（3）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）对于求随机变量的数学期望，根据数学期望的定义，是各个取值与其对应概率乘积的和.
（2）在求事件A的概率表示时，需要用到全概率公式.对于证明灭绝概率是方程的根，要根据条件逐步推导.
（3）对于证明细胞灭绝是必然事件，要根据新的分裂规则求出新的数学期望并判断.求经过n次分裂得到3个细胞的概率，需要根据分裂规则建立递推关系求解.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
，
则：，
，由于分裂后细胞相互独立，
. ，
所以：.
若能取到中的所有数，则令：，有：，
为该方程的一个实根，.，
由于的每一项在上均单调递增，故单调递增，.
由于，则：①当时，单调递减，，，故在，只有唯一零点，
这是原方程的最小正实根，符合的实际意义；
②当时，，故唯一使，
此时在单调递减，在单调递增且.
所以在有两个零点与，其中：.由于，
故，故，此时也取到原方程的最小正实根，符合的实际意义.
综上：该细胞灭绝的概率为关于方程：的最小正实根.
【小问3详解】
（ⅰ）由（2）可知：若一个细胞失去分裂为两个的能力，则灭绝概率，
故对该细胞母体：，
，解得：，该细胞的灭绝是必然事件.
（ⅱ）由条件：，
，
.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个，一是求解时，读懂题目，利用全概率的知识求解；二是求解的最值时，根据解析式的特点，利用导数和数列知识来求解.
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