高中数学6.2 平面向量的运算第3课时同步训练题

这是一份高中数学6.2 平面向量的运算第3课时同步训练题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(本题共７小题,其中１~６小题为单选题,第７小题为多选题)
1.下列结论中，一定正确的是( )
A．|a·b|＝|a||b| B．若a⊥(b－c)，则a·b＝a·c C．a2≥|a| D．a(b·c)＝(a·b)c
2.【2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题】已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．1
3.已知|a|＝3，|b|＝2，(a＋2b)·(a－3b)＝－18，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
4.设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝eq \r(3)，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝( )
A．2 B．2eq \r(3) C．4 D．4eq \r(3)
5.平面四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝0，(eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→)))·eq \(AC,\s\up7(―→))＝0，则四边形ABCD是( )
A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．梯形
6.如图，在▱ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(FG,\s\up6(→))＋eq \(GH,\s\up6(→))·eq \(HE,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(3,2) B．－eq \f(3,2) C．eq \f(3,4) D．－eq \f(3,4)
7.已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为eq \f(π,3)，则实数λ＝( )
A．－8B．－1 C．5D．3
二、填空题
8.已知a是单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．
9.△ABC中，∠BAC＝eq \f(2π,3)，AB＝2，AC＝1，eq \(DC,\s\up7(―→))＝2eq \(BD,\s\up7(―→))，则eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝________．
10.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))的值为________，eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))的最大值为________．
三、解答题
11.已知e1、e2是夹角为120°的两个单位向量，a＝3e1－2e2，b＝2e1－3e2.
(1)求a·b的值；
(2)求a＋b与a－b的夹角的大小．
12.已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°.
(1)求|a＋b|的值；
(2)当实数x为何值时，x a－b与a＋3b垂直？
答案解析
一、选择题
1.【答案】B
解析 a⊥(b－c)⇒a·(b－c)＝0⇒a·b－a·c＝0，所以a·b＝a·c，故选B.
2.【答案】 B
解析 因为，所以，即，又因为，所以，从而.故选：B.
3.【答案】B
解析 (a＋2b)·(a－3b)＝－18，∴a2－6b2－a·b＝－18，∵|a|＝3，|b|＝2，∴9－24－a·b＝－18，∴a·b＝3，∴cs＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，∴＝60°．
4.【答案】B
解析 由a·(a－b)＝0，可得a·b＝a2＝1，由|a－b|＝eq \r(3)，可得(a－b)2＝3，即a2－2a·b＋b2＝3，解得b2＝4.所以(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝12，所以|2a＋b|＝2eq \r(3).
5.【答案】C
解析 因为eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝0，所以eq \(AB,\s\up7(―→))＝－eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))，所以四边形ABCD是平行四边形．又(eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→)))·eq \(AC,\s\up7(―→))＝·eq \(AC,\s\up7(―→))＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．
6.【答案】A
解析 易知EFGH为平行四边形，连接HF，取HF的中点为O，则eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(FG,\s\up6(→))＝eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(EH,\s\up6(→))＝(eq \(EO,\s\up6(→))－eq \(OH,\s\up6(→)))·(eq \(EO,\s\up6(→))＋eq \(OH,\s\up6(→)))＝eq \(EO,\s\up6(→))2－eq \(OH,\s\up6(→))2＝1－＝eq \f(3,4)，eq \(GH,\s\up6(→))·eq \(HE,\s\up6(→))＝eq \(GH,\s\up6(→))·eq \(GF,\s\up6(→))＝eq \(GO,\s\up6(→))2－eq \(OH,\s\up6(→))2＝1－＝eq \f(3,4)，因此eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(FG,\s\up6(→))＋eq \(GH,\s\up6(→))·eq \(HE,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)，故选A．
7.【答案】 A C
解析 由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcs eq \f(π,3)，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.
二、填空题
8.答案：[0,1]
解析：∵b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cs θ－|b|2＝0，∴|b|＝|a|cs θ＝cs θ(θ为a与b的夹角)，θ∈[0，π]，∴0≤|b|≤1.
9.答案：－eq \f(8,3)
解析：由eq \(DC,\s\up7(―→))＝2eq \(BD,\s\up7(―→))，得eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up7(―→))＋2eq \(AB,\s\up7(―→)))．∴eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up7(―→))＋2eq \(AB,\s\up7(―→)))·(eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up7(―→))2＋eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))－2eq \(AB,\s\up7(―→))2)＝eq \f(1,3)＝－eq \f(8,3)．
10.答案 1 1
解析
如图所示，根据平面向量的数量积的定义可得eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→))＝|eq \(DE,\s\up6(→))||eq \(DA,\s\up6(→))|cs θ.由图可知，|eq \(DE,\s\up6(→))|cs θ＝|eq \(DA,\s\up6(→))|，因此eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝|eq \(DA,\s\up6(→))|2＝1.eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝|eq \(DE,\s\up6(→))||eq \(DC,\s\up6(→))|cs α＝|eq \(DE,\s\up6(→))|cs α，而|eq \(DE,\s\up6(→))|cs α就是向量eq \(DE,\s\up6(→))在eq \(DC,\s\up6(→))上的投影，当eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))最大，即投影最大时，E点与B点重合，此时投影为|eq \(DC,\s\up6(→))|，所以eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))的最大值为1.
三、解答题
11.解析：(1)a·b＝(3e1－2e2)·(2e1－3e2)
＝6eeq \\al(2,1)－13e1·e2＋6eeq \\al(2,2)＝6－13cs 120°＋6＝eq \f(37,2).
(2)设a＋b与a－b的夹角为θ，
则cs θ＝eq \f(a＋b·a－b,|a＋b||a－b|)＝eq \f(a2－b2,|a＋b||a－b|)＝eq \f(3e1－2e22－2e1－3e22,|a＋b||a－b|)＝0，
∴a＋b与a－b的夹角为90°.
12.解析：(1)由已知得a·b＝|a||b|cs 60°＝3，
所以|a＋b|＝eq \r(a＋b2)＝ eq \r(a2＋b2＋2a·b)＝eq \r(19).
(2)因为x a－b与a＋3b垂直，
所以(x a－b)·(a＋3b)＝0，
即x a2＋(3x－1)a·b－3b2＝13x－30＝0，所以x＝eq \f(30,13).