人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算第4课时练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算第4课时练习题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(本题共７小题,其中１~６小题为单选题,第７小题为多选题)
1.下列说法正确的是( )
A．2a与a不能相等 B．|2a|＞|a| C．2a∥a D．|2a|≠1
2.给出下面四个结论：
①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；
②对于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na；
③若ma＝mb(m∈R)，有a＝b；
④若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，有m＝n.
其中正确的结论个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3.给出下列命题：
①向量eq \(AB,\s\up6(→))与向量eq \(BA,\s\up6(→))的长度相等，方向相反；
②eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝；
③两个相等向量的起点相同，则其终点必相同；
④eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A、B、C、D四点共线．
其中不正确的命题的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
4.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))＝λeq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))，则λ＝( )
A． B． C． D．
5.（易错题）已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件是( )
A．λ＝0 B．e2＝0 C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
6.在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－4a－8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝－5a－10b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为( )
A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形
7.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)，则点P( )
A．一定是AB边中线的中点 B．一定是AB边中线的三等分点
C．BC边中线的中点 D．不可能是△ABC的重心
第II卷（非选择题 共35分）
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在题中横线上.）
8.已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
9.设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________.
10.在△ABC中，点M，N满足eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(MC,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(NC,\s\up6(→)).若eq \(MN,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，则x＝________；y＝________.
三、解答题（本大题共两小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
11.已知△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b.对于平面ABC上任意一点O，动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λa＋λb，λ∈[0，＋∞)．试问动点P的轨迹是否过△ABC内的某一个定点？说明理由．
12.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b.
(1)用a，b表示eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))；
(2)求证：B，E，F三点共线．
答案解析
一、选择题
1.【答案】C
解析：对A，当a＝0时，有2a＝a；对B，当|a|＝0时，有2|a|＝|a|；对C，当然正确；对D，当|a|＝eq \f(1,2)时有|2a|＝1.综上可知C正确．
2.【答案】：C
解析：①正确．因为实数与向量的积满足分配律．
②正确．因为实数与向量的积满足结合律．
③错误．因为若m＝0，则a，b可以是任意向量．
④正确．因为由ma＝na，得(m－n)a＝0，又a≠0，所以m－n＝0，即m＝n.故选C．
3.【答案】：A
解析：①正确；②中eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝，而不等于0；③正确；④中eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))所在直线还可能平行，综上可知②④不正确．故选A．
4.【答案】A
解析：由图知eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))， ①
eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))， ②
且eq \(AD,\s\up6(→))＋2eq \(BD,\s\up6(→))＝. 由①＋②×2得：3eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋2eq \(CB,\s\up6(→))，∴eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→))，∴λ＝.
5.【答案】：D
解析：当e1∥e2时，易知a与b共线；若e1与e2不共线，设a＝kb，则有 e1＋λe2＝k·2e1，即(1－2k)e1＋λe2＝0，于是，所以，因此若a∥b，则e1∥e2或λ＝0.故选D．
6.【答案】B
解析：eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq \(CD,\s\up6(→))＝－5a－10b=－5(a＋2b)=－5eq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线．所以AB与CD平行．又eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝－8a－16b，显然eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(BC,\s\up6(→)).所以AD∥BC.所以四边形ABCD为平行四边形．故应选B．
7.答案BD
解析：∵O是△ABC的重心，∴eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，∴eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)＝eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))，∴点P是线段OC的中点，即AB边中线的三等分点，不可能是△ABC的重心，故选BD.
二、填空题
8.【答案】：3
解析：由＋＋＝0知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则＝eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(＋)＝eq \f(1,3)(＋)，所以＋＝3，故m＝3.
9.【答案】－4
解析：由题意知，ka＋2b＝λ(8a＋kb)(λ＜0)．
∴(k－8λ)a＋(2－λk)b＝0.又a，b不共线，∴，解得λ＝－eq \f(1,2)，k＝－4.
10.答案：eq \f(1,2) －eq \f(1,6)
解析：由题意得eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，所以x＝eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,6).
三、解答题
11.解析：以AB，AC为邻边作▱ABDC，设对角线AD、BC交于点E，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)．由eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λa＋λb得到
eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))＝2λ·eq \f(1,2)(a＋b)＝2λeq \(AE,\s\up6(→))，λ∈[0，＋∞)，
∴eq \(AP,\s\up6(→))与eq \(AE,\s\up6(→))共线．由λ∈[0，＋∞)知道动点P的轨迹是射线AE，
∴必过△ABC的重心．
12.解析：(1)如图，延长AD到点G，使eq \(AG,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))，连接BG，CG，得到▱ABGC．
则eq \(AG,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(a＋b)，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b，
eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(a＋b)－a＝eq \f(1,3)(b－2a)，
eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b－a.
(2)证明：由(1)，知eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BF,\s\up6(→))，∴eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))共线．
又eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))有公共点B，∴B，E，F三点共线．