北京市延庆区2023-2024学年高一（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份北京市延庆区2023-2024学年高一（上）期末数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意.
故选：C．
2. 当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，函数为指数函数，为对数函数，
故指数函数与对数函数均为定义域内的增函数.
故选：B.
3. 下列函数中是奇函数且在上单调递增是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】A选项，为奇函数且在R上单调递增，满足要求，A正确；
B选项，的定义域为R，且，
故为奇函数，
又，故在0,+∞单调递增，B正确；
C选项，为指数函数，结合图象可知其不是奇函数，C错误；
D选项，，故当时，单调递减，D错误.
故选：AB.
4. 向量，，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由于向量，且，则，解得
故选：D.
5. 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，即，，
所以.
故选：D.
6. 已知函数，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】因为，故.
故选：C.
7. 甲，乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（ ）
A. 在这5天中，甲加工零件数的极差小于乙加工零件数的极差
B. 在这5天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同
C. 在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数
D. 在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差
【答案】C
【解析】甲在5天中每天加工零件的个数为：，
乙在5天中每天加工零件的个数为：，
对于A，甲加工零件数的极差为，乙加工零件数的极差为，
故A错误；
对于B，甲加工零件数的中位数为，乙加工零件数的中位数为，故B错误；
对于C，甲加工零件数的平均数为，
乙加工零件数的平均数为，故C正确；
对于D，甲加工零件数的方差为
，
乙加工零件数的方差为，故D错误.
故选：C.
8. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球 其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机揽出2个球，每次摸出一个球，设事件"第一次摸到红球"， "第二次摸到红球"，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（ ）
A. B. R与G互斥但不对立
C. D. S与T相互独立
【答案】D
【解析】对于A，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”是对立事件，
所以，故A正确；
对于B，"两次都摸到红球"和"两次都摸到绿球”，不能同时发生，但能同时不发生，
所以R与G互斥但不对立，故B正确；
对于C，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，
所以，故C正确；
对于D，从袋中不放回地依次随机揽出2个球，不同的结果有：
，
共12种结果，
事件S包含这6种结果，，
事件T包含这6种结果，，
事件ST包含这2种结果，，
，所以S与T不是相互独立事件，故D错误.
故选：D.
9. 已知等边的边长为6，D在上且，E为线段上的动点，求的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设，则，，
设，又，
则，，，
，
所以时，取得最小值12，时，取得最大值28，
所以的取值范围是.
故选：B．
10. 假设有机体生存时碳14的含量为，那么有机体死亡x年后体内碳14的含量满足的关系为（其中m₀，a都是非零实数）.若测得死亡5730年后的古生物样品，体内碳14的含量为0.5，又测得死亡11460年后这类古生物样品.体内碳14的含量为0.25.如果测得某古生物样品碳14的含量为0.3，推测此古生物的死亡时间为（取）（ ）
A. 10550年 B. 7550年 C. 8550年 D. 9550年
【答案】D
【解析】由已知，解得，即，
推测此古生物的死亡时间为年，则，，
所以，．
故选：D．
二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数 的定义域为_________.
【答案】
【解析】函数有意义，则有，解得，
所以函数的定义域为.
12. _______.
【答案】15
【解析】
.
13. 已知，则=________.
【答案】10
【解析】由题意，所以.
14. 甲同学进行投篮练习，每次投中的概率都是，连续投3次.每次投篮互不影响.则该同学恰好只有第3次投中的概率为________；该同学至少两次投中的概率为_________.
【答案】
【解析】因为甲同学每次投中的概率都是，连续投3次，则投不中的概率为，
所以甲同学恰好只有第3次投中的概率为，
至少两次投中的概率为.
15. 设，函数给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当存在最大值时，；
③存在，，使得；
④若存在两个不同的x，使得，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】②④
【解析】作出函数的图象，如图，可见函数在上是减函数，若，
则，①错误；
在时，没有最大值，在时，有最大值，
因此有最大值，则，，②正确；
由题意知点在图象中间一段抛物线上，点在右下曲线上，取，，
则，③错；
若存在两个不同的x，使得，则直线与的图象有两个交点，
因此，解得，④正确．
三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 如图，在中，，D为中点，E为上一点，且，的延长线与的交点为F.
（1）用向量与表示和；
（2）用向量与表示
（3）求出的值.
解：（1）是中点，
，
.
（2），则，
.
（3）设，则，，
又向量共线，而不共线，
所以，解得．
17. 为了了解某校高一学生一次体育健康测试的得分情况，一位老师采用分层抽样的方法选取了20名学生的成绩作为样本，来估计本校高一学生的得分情况，并以，，，，分组，作出了如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于90分为“优秀”.
（1）从该学校高一学生中随机选取一名学生，估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率；
（2）从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，记为， 中的学生为， 中的学生为，求这2人来自同一组的概率；
（3）从成绩在的学生中任取3名学生记为A组，从成绩在的学生它任取3名学生记为B组，这两组学生的得分记录如下：
A组：； B组：.
写出a为何值时，A、B两组学生得分的方差相等（结论不要求证明）.
解：（1）频率分布直方图中，成绩优秀的两组学生，频率为，
所以估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率为0.3.
（2）样本中，组中有人，组中有人，
从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，其样本空间可记为：
共包含15个样本点，
记事件A：两人来自同一组，
则，共包含7个样本点，
所以这2人来自同一组的概率.
（3）这两组学生的得分记录：A组：； B组：.
方差反映的是数据的离散程度，要使A、B两组学生得分的方差相等，
对比两组数据，可知：或.
18. 已知函数①；②.从这两个函数中选择一个、并完成以下问题.
（1）求的解：
（2）在x轴上取两点和，设线段AB的中点为C，过点A，B，C分别作x轴的垂线，与函数fx的图象交于，线段 中点为M.
（i）求
（ii）判断 与的大小.并说明理由.
解：（1）选择①，.
选择②，.
（2）选择①，线段的中点为C为，分别为，，，
线段中点M为，
；
所以，
所以，即.
选择②，线段中点为C为，分别为，，，
线段中点M为，
；
，又，
所以，即.
19. 函数的图像如图所示，定义域为，其中，，当时.图像是二次函数的一部分，其中顶点，当时，图像是指数函数的一部分.
（1）求函数的解析式；
（2）求不等式的解集；
（3）若对于，恒有恒成立.求出的取值范围（不要求计算过程）.
解：（1）当时，图像是二次函数的一部分，设解析式为，
根据题意可知：，解得：，
当时，图像是指数函数的一部分，设解析式为，
根据题意可知：，所以，
所以.
（2）由（1）可化为：，解得，
或，解得，
综上，不等式的解集为.
（3）在坐标系中再作出的图象，
如图，由图象可知不等式的解集为，
所以由题意，，所以，即的范围是．
20. 已知函数
（1）当时，若，求x的值；
（2）若是偶函数，求出m的值；
（3）时，讨论方程根的个数.并说明理由.
解：（1）当时，若.
（2）若是偶函数，所以，
即，
所以.
（3）当时，由（2）可知
，
令，设，
则，
因为，则，
所以，
即 在0,+∞上单调递增，
由复合函数的单调性可知在0,+∞上单调递减，
又是偶函数，所以在上单调递增，
易知，所以为偶函数，，
则，
当时，方程没有实数根，
当时，方程，有且仅有1个实数根，
当 时，取，
则，
所以在上，且在0,+∞上单调递减，
由零点存在性定理可知在上，有1个实数根，
所以时，方程，有2个实数根.
综上所述：当时，方程没有实数根；
当时，方程有且仅有1个实数根；
当 时，方程有2个实数根.
21. 已知集合A为非空数集.定义：.
（1）若集合，直接写出集合S，T；
（2）若集合且．求证：；
（3）若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值.
解：（1）由已知，则，.
（2）由于集合
且，
所以T中也只包含四个元素，因为
即且，即，
又，所以，
从而，
此时满足题意，所以.
（3）设满足题意，其中，
2，
，
∵，∴，
又中最小元素为0，最大的元素为，
则，
设，，
则，
因为，可得，即，
故m的最小值为675，于是当时，A中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350.